DS 09 TITEC2 Fonction exp : le corrigé

Exercice 1 (3 points)

Simplifier les expressions suivantes :
\[\begin{array}{ccc} A=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{3x}}& B=\left(\mathrm{e}^{x}\right)^3& C=\left(\mathrm{e}^{2}\right)^3\times \mathrm{e} \end{array}\]

\[\begin{array}{lll} A&=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{3x}}&\\ &= \mathrm{e}^{x-3x}& \text { car } \dfrac{\mathrm{e}^{a}}{\mathrm{e}^{b}}=\mathrm{e}^{a-b} \\ &= \mathrm{e}^{-2x}& \end{array}\]
\[\begin{array}{lll} B& =\left(\mathrm{e}^{x}\right)^3&\\ &= \mathrm{e}^{3x}& \text { car } \left(\mathrm{e}^{a}\right)^n =\mathrm{e}^{n a } \\ \end{array}\]
\[\begin{array}{lll} C & =\left(\mathrm{e}^{2}\right)^3\times \mathrm{e}&\\ &= \mathrm{e}^{6} \times \mathrm{e ^1 }& \text { car } \left(\mathrm{e}^{a}\right)^n =\mathrm{e}^{n a } \\ &= \mathrm{e}^{6+1 } & \text { car } \mathrm{e}^{a}\times \mathrm{e}^{b} =\mathrm{e}^{ a +b} \\ &= \mathrm{e}^{7 }& \end{array}\]
Exercice 2 (5 points)
Résoudre les équations suivantes :

 

  1. \(\mathrm{e}^{x}=3\)
  2. \[\begin{array}{ll} \mathrm{e}^{x}=3&\iff \ln \left(\mathrm{e}^{x}\right) =\ln 3\\ &\iff x=\ln 3 \end{array}\]
    \(\mathcal{S}=\{ \ln 3\}\)
  3. \(\mathrm{e}^{x}=-2\)
  4. La fonction exponentielle est strictement positive sur \(\mathbb R\) donc l'équation \(\mathrm{e}^{x}=-2\) n'a pas de solution.
    \(\mathcal{S}=\emptyset\)
  5. \(\mathrm{e}^{2x}+3\mathrm{e}^{x}-4=0\)
  6. On pose \(X=e^x\) ; \(\mathrm{e}^{2x}+3\mathrm{e}^{x}-4=0 \iff X^2 +3X-4=0 \)
    \(X_1=1\) est racine évidente, le produit des racines donne \(X_1 \times X_2 =\dfrac{c}{a}\)
    Ainsi \(1 \times X_2 =-4 \iff X_2= -4 \) \[\begin{array}{ll} \mathrm{e}^{2x}+3\mathrm{e}^{x}-4 &\iff X^2 +3X-4=0 \\ &\iff X= 1 \text { ou } X = -4 \\ &\iff e^x = 1 \text { ou } e^x = -4 \\ &\iff \ln (e^x) = \ln 1 \\ &\iff x = 0 \\ \end{array}\]

    La fonction exponentielle est strictement positive sur \(\mathbb R\) donc l'équation \(\mathrm{e}^{x}=-4\) n'a pas de solution.
    \( \mathcal{S} =\{ 0 \}\)

Exercice 3 (2 points)
Calculer, en justifiant, la dérivée des fonctions suivantes :

  1. \(f(x)=x^3-2 \mathrm{e}^{-x}\)
  2. Comme \((eû)'=u'e^u \), on déduit \(f(x)=3x^2-2 \left(-\mathrm{e}^{-x}\right)\)
    \(f'(x)=3x^2 +2\mathrm{e}^{-x} \)
  3. \(f(x)=(3x-2) \mathrm{e}^{-x}\)
  4. \[f=uv \text{ donc } f'=u'v+v'u\]Pour tout réel \(x\) \[\begin{array}{ll} u(x)=3x-2 &u'(x)=3\\ v(x)= \mathrm{e}^{-x}& v'(x)=-\mathrm{e}^{-x} \\ \end{array}\]\[\begin{array}{ll}f'(x)&=3\times\mathrm{e}^{-x}+ \left(-\mathrm{e}^{-x}\right)(3x-2) \\ &= \mathrm{e}^{-x}\left[3-(3x-2) \right]\\ &= \mathrm{e}^{-x}\left(3-3x+2 \right)\\ \end{array} \]
    \(f'(x)=(5-3x)\mathrm{e}^{-x} \)

Exercice 4 (2 points)
Déterminer, en justifiant, les limites suivantes :

  1. \(\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\mathrm{e}^{-x}\)
  2. Comme \(\mathrm{e}^{-x}=\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}}\), on a \(\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\mathrm{e}^{x}=+\infty\), donc \(\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}}=0\)
    \(\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\mathrm{e}^{-x}=0\)
  3. \(\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}(x+1)\mathrm{e}^{x}+x^2\)
  4. On écrit \(f(x)= (x+1)\mathrm{e}^{x}+x^2= x \mathrm{e}^{x}++ \mathrm{e}^{x}+ x^2 \)

Exercice 5 (8 points)
On considère la fonction \(f\), définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)= x\mathrm{e}^{x}\).

  1. Calculer limites en \(-\infty\) et en \(+\infty\) de \(f\).
  2. D'après une limite du cours, on a \(\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}x\mathrm{e}^{x}=0\)
    \(\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}f(x)=0\); donc la droite d'équation \(y=0\) est asymptote horizontale à \(\mathcal{C}_f\) au voisinage de \(-\infty\).
    \(\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to +\infty}~e^x=+\infty\\ \lim\limits_{x \to +\infty}~x=+\infty \end{array}\right\}\) par produit on obtient: \(\lim\limits_{x \to +\infty}~f(x)=+\infty\)
    \(\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty\)
  3. Calculer \(f'(x)\) puis étudier les variations de \(f\).
  4. \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme produit de fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\).
    \[f=uv \text{ donc } f'=u'v+v'u\]Pour tout réel \(x\) de \([0~;~ +\infty[\) \[\begin{array}{ll} u(x)=x &u'(x)=1\\ v(x)= e^x& v'(x)=e^x \\ \end{array}\]\[f'(x)=1\times e^x+e^x \times x = e^x\left(1+x \right)= (x+1)e^x\]
    La fonction exponentielle étant strictement positive sur \(\mathbb R\),
    \(f'(x)\) a donc le signe de \(x+1\).

    \(f'(x)>0\) sur \(]-1~;~ +\infty[\).
    La fonction \(f\) est strictement croissante sur \(]-1~;~ +\infty[\).
  5. Dresser alors le tableau de variations.
  6. Tracer la courbe \(\mathscr{C}_f\).
  7. Démontrer que la fonction \(F\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(F(x)= (x-1) \mathrm{e}^{x}\) est une primitive de \(f\).
  8. Pour établir que \(F\) est une primitive de \(f\); on montre que \(F'=f\). \(F\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme produit de fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\).
    \[F=uv \text{ donc } F'=u'v+v'u\]Pour tout réel \(x\) \[\begin{array}{ll} u(x)=x-1 &u'(x)=1\\ v(x)= e^x& v'(x)=e^x \\ \end{array}\]\[F'(x)=1\times e^x+e^x \times (x-1) = e^x\left(1+x \right)= (x-1+1)e^x=xe^x\]
    Pour tout réel \(x\) : \(F'(x)=f(x)\), donc \(F\) est bien une primitive de \(f\) sur \(\mathbb R\)
  9. Calculer la valeur moyenne de \(f\) sur \([0; 2]\)
  10. La valeur moyenne d'une fonction \(f\) sur un intervalle \([a;b]\) est \[\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)dx\]
    Ici \[\begin{array}{ll} \mu&=\dfrac{1}{2-0}\displaystyle\int_0^2 f(x)dx\\ &=\dfrac{1}{2-0}\displaystyle\int_0^2 f(x)dx\\ &= \dfrac{1}{2}\left(F(2)-F(0)\right)\\ &= \dfrac{1}{2}\left((2-1)e^2-(0-1)e^0\right)\\ &= \dfrac{e^2+1}{2} \end{array}\]
    la valeur moyenne de \(f\) sur \([0; 2]\) est \(\mu=\dfrac{e^2+1}{2}\).

 

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