Bac Blanc TSTI2D n°2, le corrigé

 

Exercice 1 : etude du bruit émis par une éolienne.
On souhaite étudier le bruit émis par une éolienne en dB (décibels).
Au niveau du moteur, le volume sonore est d'environ 80 dB et plus on s'éloigne du moteur de niveau sonore diminue.
MODÈLE n°1 : En utilisant une suite …
On a mesuré qu'en s'éloignant à 100 m de l'éolienne, le volume sonore est de 70 dB. On note \(n\) le nombre de centaines de mètres entre le moteur de l' éolienne et l'endroit où on mesure le niveau sonore et on note \(u_n\) le niveau sonore du bruit émis par le moteur en dB entendu à \(n\) centaines de mètres du moteur.
On a donc \(u_0=80\) et \(u_1=70\). On suppose que le pourcentage perdu par le niveau sonore est constant pour chaque centaine de mètres parcourus.

  1. Démontrer qu ' à 100 m de l ' éolienne , on perd 12,5% de volume sonore.
  2. A 100 m de l ' éolienne , on perd 10 dB sur 80; la baisse en pourcentage est donc de \(\dfrac{10}{80}= \dfrac{1}{8}=0,125= 12,5\%\)
    à 100 m de l ' éolienne , on perd 12,5% de volume sonore.
  3. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a \(u_{n+1} = 0,875u_n\)
  4. On a \[\begin{array}{ll}u_{n+1} &= u_n-12,5\%u_n\\ &= u_n-0,125u_n\\ &= (1-0,125)u_n\\ &=0,875u_n\end{array}\]
  5. En déduire, pour tout entier naturel \(n\), l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).
  6. Ayant pour tout entier \(n\), \(u_{n+1} = 0,875u_n\) ; on déduit que la suite \((u_n)\) est géométrique de raison \(q=0,875\) et de premier terme \(u_0=80\).
    Comme \((u_n)\) est géométrique, \(u_n =q^n\times u_0= 80\times 0,875^n\)
    \(u_n=80\times 0,875^n\)
    1. Déterminer le plus petit nombre entier positif \(n\) solution de l’inéquation \[ 0,875^n \leq 0,25.\]
    2. \[\begin{array}{lll} 0,875^n \leq 0,25&\iff \ln\left(\left(0,875\right)^n\right)\leq \ln (0,25)& \text{ en appliquant la fonction } \ln \\ && \text{ qui est strictement croissante sur } ]0;+\infty[.\\ & \iff n\times \ln \left(0,875\right)\leq \ln (0,25)& \\ & \iff n \geq \dfrac{\ln (0,25)}{\ln \left(0,875\right)} & \text{ car ayant } 0 < 0,875 < 1 \text{ on déduit} \\ & & \ln \left(0,875\right)< \ln (1) \text { soit } \ln \left(0,875\right) < 0 \end{array}\]
      Comme \(\dfrac{\ln (0,25)}{\ln \left(0,875\right)} \approx 10,38\) ; le plus petit nombre entier positif \(n\) solution de l’inéquation \( 0,875^n \leq 0,25\) est 11 .
  7. On donne l’échelle des sons suivante :

    Echelle de sons
    Déterminer à partir de quelle distance le niveau sonore du bruit du moteur correspond à un murmure.
  8. Le niveau sonore du bruit du moteur correspond à un murmure dès que \(u_n \leq 20\) \[\begin{array}{lll}u_n \leq 20 &\iff 80\times 0,875^n \leq 20&\\ & \iff 0,875^n \leq \dfrac{20}{80}&\\ & \iff 0,875^n \leq 0,25&\\ &\iff n\geq 11&\text{d'après la question précédente} \end{array}\]
    Le niveau sonore du bruit du moteur correspond à un murmure dès que \(n\geq 11\), c'est à dire lorque qu'on est à 1100 m de l ' éolienne .

MODÈLE n°2 : En utilisant une fonction …
La variable \(x\) représente une distance en centaines de mètres .
Pour \(x\) variant entre \(0\) et \(30\) mètres on appelle \(f(x)\) le niveau sonore du bruit émis par le moteur de l' éolienne , entendu à \(x\) centaines de mètres .

On suppose que, pour tout \(x\) variant entre \(0\) et \(30\) on a : \[ f(x)= a +b \ln(x+1)\]où \(a\) et \(b\)   sont deux constantes réelles.
On donne, en annexe1, la courbe \(\mathcal{C}\) de la fonction \(f\) ainsi que la tangente au point d'abscisse 0 de \(\mathcal{C}\) qui passe par le point \(A(1;57)\).

  1. Lire sur la courbe de  \(f\) la valeur de \(f(0)\), en déduire la valeur de \(a\).
  2. Comme \(B(0,80)\in \mathcal{C}\), on déduit \(f(0)=80\)
    \[\begin{array}{ll}f(0)= 80 &\iff a+b\ln 1 =80&\\ & \iff a =80&\\ \end{array}\]
    \(a=80\).
    1. Pour tout \(x\) entre \(0\) et \(30\), calculer  \(f’(x)\).
    2. \( f(x)= a +b \ln(x+1)\) , on déduit donc \(f'(x) =b\times \dfrac{1}{x+1} =\dfrac{b}{x+1}\).
      On a utilisé la formule de dérivation \(\left(\ln u\right)'= \dfrac{u'}{u}\)
    3. Justifier, en utilisant le graphique,  \(f’(0)= −23\).
    4. Le coefficient directeur de la tangente à \(\mathcal{C}\) en \(B(0 ; 80)\) passant par le point \(A(1;57)\) est : \[\begin{array}{ll} f'(1)&=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\\ &=\dfrac{80-57}{0-1}\\ &=-23 \end{array}\]
      \(f'(0)=-23\)
    5. En déduire la valeur de \(b\).
    6. \(f'(0)=-23 \iff \dfrac{b}{0+1}=-23 \iff b=-23 \)
  3. On suppose que, pour tout \(x\) positif, on a  \(f(x)= 80 − 23 \ln(x + 1)\).
    Sur l'annexe 1, déterminer graphiquement à partir de quelle distance le bruit du moteur est de 20 dB.

  4. On résout donc graphiquement \(f(x) =20\), on lit que ceete équation a une unique solution \(x_0\approx 12,58\)
    A une distance approximative de 1250 m le bruit du moteur est de 20 dB .
  5. On souhaite déterminer une valeur approchée à 0,1 près de \(x_0\) tel que \(f(x_0) < 10\).
    Parmi les trois algorithmes proposés ci-dessous, choisissez, en justifiant, lequel permet de déterminer une valeur approchée de \(x_0\) à 0,1 près, (la valeur de \(x_0\) n'est pas demandée) :

Algorithme n°1 \[\begin{array}{|l |l |} \hline\text{ Variables :}& P \text{ est un réel}\\ & A \text{ est un réel}\\ \text{ Initialisation:}&&\\& \text{ Affecter à } P \text{ la valeur } 0,1&\\ & \text{ Affecter à } A \text{ la valeur } 0\\ \text{ Traitement : } & \text{ Tant que } f(A) \leq 10 \\ &\hspace{1em} \text{ Affecter à } A \text{ la valeur } A+P \\ & \text{ Fin Tant que}\\ \text{ Sortie :}& \text{ Afficher } A\\ \hline \end{array} \]
Exécutons l'algorithme n°1 à la main :

\(A=0\)
\(P=0,1\)
\(f(A)=f(0)= 80\),
La condition \(f(A)\leq 10\) est fausse , donc la boucle tantque " s'arrête"
L'algorithme n°1 retourne \(A=0\); donc ne convient pas.


Algorithme n°2 \[\begin{array}{|l |l |} \hline\text{ Variables :}& P \text{ est un réel}\\ & A \text{ est un réel}\\ \text{ Initialisation:}&&\\& \text{ Affecter à } P \text{ la valeur } 0,1&\\ & \text{ Affecter à } A \text{ la valeur } 12\\ \text{ Traitement : } & \text{ Tant que } f(A) \geq 10 \\ &\hspace{1em} \text{ Affecter à } A \text{ la valeur } A-P \\ & \text{ Fin Tant que}\\ \text{ Sortie :}& \text{ Afficher } A\\ \hline \end{array} \]

\(A=12\)
\(P=0,1\)
\(f(A)=f(12)\),
La condition \(f(A)\leq 10\) est vraie ,comme la fonction \(f\) est strictement décroissante sur \(]-1; +\infty[\) ;
On aura \(\ldots\leq f(11,8)\leq f(11,9)\leq f(12)\leq 10\) donc la boucle tantque " continue" jusqu'à \(A=-1\) qui débouchera sur une valeur interdite de \(f\) !
L'algorithme n°2 retourne \(A=0\); donc ne convient pas.

Algorithme n°3 \[\begin{array}{|l |l |} \hline\text{ Variables :}& P \text{ est un réel}\\ & A \text{ est un réel}\\ \text{ Initialisation:}&&\\& \text{ Affecter à } P \text{ la valeur } 0,1&\\ & \text{ Affecter à } A \text{ la valeur } 12\\ \text{ Traitement : } & \text{ Tant que } f(A) \geq 10 \\ &\hspace{1em} \text{ Affecter à } A \text{ la valeur } A+P \\ & \text{ Fin Tant que}\\ \text{ Sortie :}& \text{ Afficher } A\\ \hline \end{array} \] 

 

C'est donc l'algorithme n°3 qui permet de déterminer une valeur approchée de \(x_0\) à 0,1 près .

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