DS 09 TITEC2 Fonction exp

Exercice 1 (3 points)
Simplifier les expressions suivantes :
\[\begin{array}{ccc} A=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{3x}}& B=\left(\mathrm{e}^{x}\right)^3& C=\left(\mathrm{e}^{2}\right)^3\times \mathrm{e} \end{array}\]Exercice 2 (5 points)
Résoudre les équations suivantes :

  1. \(\mathrm{e}^{x}=3\)
  2. \(\mathrm{e}^{x}=-2\)
  3. \(\mathrm{e}^{2x}+3\mathrm{e}^{x}-4=0\)

Exercice 3 (2 points)
Calculer, en justifiant, la dérivée des fonctions suivantes :

  1. \(f(x)=x^3-2 \mathrm{e}^{-x}\)
  2. \(f(x)=(3x-2) \mathrm{e}^{-x}\)

Exercice 4 (2 points)
Déterminer, en justifiant, les limites suivantes :

  1. \(\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\mathrm{e}^{-x}\)
  2. \(\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}(x+1)\mathrm{e}^{x}+x^2\)

Exercice 5 (8 points)
On considère la fonction \(f\), définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)= x\mathrm{e}^{x}\).

  1. Calculer limites en \(-\infty\) et en \(+\infty\) de \(f\).
  2. Calculer \(f'(x)\) puis étudier les variations de \(f\).
  3. Dresser alors le tableau de variations.
  4. Tracer la courbe \(\mathscr{C}_f\).
  5. Démontrer que la fonction \(F\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(F(x)= (x-1) \mathrm{e}^{x}\) est une primitive de \(f\).
  6. Calculer la valeur moyenne de \(f\) sur \([0; 2]\)

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