DS 07 TITEC2 Fonction ln : le corrigé

Exercice 1 :Propriétés algébriques .
Exprimer en fonction de \(\ln 2\) et \(\ln 5\) les réels :

  1. \( 2\ln(25) - \ln \left(\dfrac{1}{8}\right)\)
  2. \[\begin{array}{lll} 2\ln(25) - \ln \left(\dfrac{1}{8}\right)&= 2\ln\left( 5^2\right) - \left(-\ln 8\right)& \text{ car }\ln \left(\dfrac{1}{a}\right)= -\ln a\\ &= 2\times 2\ln\left( 5 \right) +\ln 8 & \text{ car }\ln \left(a^2\right)= 2\ln a\\ &= 4\ln\left( 5 \right) +\ln\left( 2^3\right) & \\ &= 4\ln\left( 5 \right) +3\ln\left( 2 \right) &\text{ car }\ln \left(a^3\right)= 3\ln a \end{array}\]
    \(2\ln(25) - \ln \left(\dfrac{1}{8}\right) = 4\ln\left( 5 \right) +3\ln\left( 2 \right)\)
  3. \(2 \ln\left( \sqrt{10}\right) - \ln(20)\)
  4. \[\begin{array}{lll} 2 \ln\left( \sqrt{10}\right) - \ln(20)&= 2\times\dfrac{1}{2} \ln10- \ln(2\times 10)& \text{ car }\ln \left(\sqrt{a}\right)= \dfrac{1}{2}\ln a\\ &=\ln 10- \left( \ln2 +\ln 10\right) & \text{ car }\ln \left(a\times b \right)= \ln a+ \ln b\\ &= \ln 10-\ln 2-\ln 10 & \\ &= - \ln 2 &\\\end{array}\]
    \(2 \ln\left( \sqrt{10}\right) - \ln(20)= -\ln 2\)

Exercice 2 : Deux équations.
Résoudre dans \(\mathbb R\) les équations suivantes :

  1. \(\ln(2 x-1) = 1\)
    • Domaine :l'équation a un sens ssi \(2x -1> 0\) ; \[2x -1> 0\iff 2x > 1 \iff x >\dfrac{1}{2}\]
      \(D= \left] \dfrac{1}{2}; +\infty\right[\)
    • On met l'équation sous la forme \(\ln a =\ln b\)
      On utilise \(\ln e= 1\)
    • \[\begin{array}{ll } \ln(2 x-1) = 1&\iff \ln(2 x-1) = \ln e\\ &\iff (2 x-1) = e\\ &\iff 2 x = 1+e\\ &\iff x = \dfrac{1+e}{2}\\ \end{array}\]
    • Conclusion :\( \dfrac{1+e}{2} > \dfrac{1 }{2}\) donc \(\dfrac{1+e}{2}\in D\) et donc est solution.
      \(\mathcal S= \left\{ \dfrac{1+e}{2}\right\}\)
  2. \(\ln\left( 4 x^2-1\right) = \ln(2 x +1)\)
    • Domaine : \[\begin{array}{ll } \text{ L'équation a un sens ssi } & \iff \begin{cases} 4 x^2-1> 0\\ 2x+1> 0 \end{cases} \end{array}\]  \[ 4 x^2-1> 0 \iff (2x-1)(2x+1)> 0\]Le trinôme \(4x^2-1\) a pour racines \(-\dfrac{1}{2}\) et \(\dfrac{1}{2}\). Il a donc le signe de \(a=4\) à l'extérieur des racines ; il est donc positif pour \( x\in \left] -\infty; -\dfrac{1}{2}\right[\cup \left] \dfrac{1}{2}; +\infty\right[\) \[\begin{array}{ll } \begin{cases} 4 x^2-1> 0\\ 2x+1> 0 \end{cases} & \iff \begin{cases} x\in \left] -\infty; -\dfrac{1}{2}\right[\cup \left] \dfrac{1}{2}; +\infty\right[\\ x > -\dfrac{1}{2} \end{cases} \\ &\iff x > \dfrac{1}{2} \end{array}\]
      \(D= \left] \dfrac{1}{2}; +\infty\right[\)
    • On met l'équation sous la forme \(\ln a =\ln b\)
    • \[\begin{array}{ll } \ln\left( 4 x^2-1\right) = \ln(2 x +1)&\iff (4 x^2-1) = 2x +1\\ &\iff 4x^2 -2x -2 = 0\\ &\iff 2x^2 -x -1= 0\\ &\iff x =1 \text{ ou } x = - \dfrac{1 }{2}\\ \end{array}\]
    • Conclusion :\( -\dfrac{1 }{2} \notin D \) et \(1\in D\) donc \(1\) est solution.
      \(\mathcal S= \left\{ 1\right\}\)

Exercice 3 :Une étude de fonction \(\ln\) .
Soit \(f\) la fonction définie sur \(I = ]0 ; + \infty[\) par \(f(x)=1+\dfrac{\ln x}{x}\) , dont le tableau de variations, incomplet est le suivant :


On désigne par \(f'\) la fonction dérivée de la fonction \(f\) et on note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère du plan.

    1. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)\)
      • En \(0^+\) : on écrit \(\dfrac{\ln x}{x}= \ln x\times \dfrac{1}{x}\)
        \(\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to 0^+}~\ln x =-\infty\\ \lim\limits_{x \to 0^+}~\dfrac{1}{x}=+\infty \end{array}\right\}\) par produit on obtient: \(\lim\limits_{x \to 0^+}~\dfrac{\ln x}{x}=-\infty\)
        Comme \(\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\ln x}{x}= -\infty\), on déduit
        \(\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)= -\infty\)
      • En \(+\infty\) : D'après une limite usuelle , on a : \(\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln x}{x}= 0\), on déduit
        \(\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)= 1\)
    2. La courbe \(\mathcal{C}_f\) a-t-elle des asymptotes ? Si oui lesquelles ?
      • \(\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)= 1\), donc la droite d'équation \(y=1\) est asymptote horizontale à \(\mathcal{C}_f\).
      • \(\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=-\infty\), donc la droite d'équation \(x=0\) est asymptote verticale à \(\mathcal{C}_f\).
  1. Montrer que pour tout réel \(x\) strictement positif, \(f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}\).
  2. On a \(f= \dfrac{u}{v}+1\) donc \(f'= \dfrac{u'v-v'u}{v^2}\)
    Ici \(\begin{cases}u(x)=\ln x\\v(x)= x\end{cases}\) on déduit \(\begin{cases}u'(x)=\dfrac{1}{x}\\v(x)= 1\end{cases}\) On a ainsi \[f'(x) =\dfrac{=\dfrac{1}{x}\times x - 1\times \ln x}{x^2}= \dfrac{1-\ln x}{x^2}\]
  3. Etudier le signe de la fonction dérivée \(f'\) sur l'intervalle \(I\).
  4. Déjà, le dénominateur étant le carré d'un réel non nul, il est strictement positif; ainsi \(f'(x)\) a le signe de \(1-\ln x \) \[\begin{array}{lll} f'(x)=0&\iff 1-\ln x =0&\\ &\iff -\ln x =-1&\\ &\iff \ln x = 1&\\ &\iff \ln x =\ln e &\\ &\iff x = e&\\ f'(x)>0&\iff 1-\ln x >0&\\ &\iff -\ln x >-1&\\ &\iff \ln x < 1 &\text{ en multipliant par } -1 > 0 \\ &\iff \ln x < \ln e &\\ &\iff x < e & \text{ car la fonction } \ln \\ && \text{ est strictement croissante sur } ]0; +\infty[ \end{array}\]
  5. Recopier et compléter le tableau des variations de \(f\) sur \(I\).
  6. Donner la valeur arrondie à \(10^{-2}\) près des solutions éventuelles de l'équation \(f(x)=0\).
    • D'après le tableau de variations, si \(x \in \left[e; +\infty\right[\), on a \(f(x) \in \left[\dfrac{1 }{e}; +\infty\right[\),
      donc l'équation \(f(x)= 0\) n'a pas de solution sur \(\left[e; +\infty\right[\)
    •  

      \[ \newcommand{\mtn}{\mathbb{N}} \newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*} \newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}} \newcommand{\mtr}{\mathbb{R}} \newcommand{\mtk}{\mathbb{K}} \newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\mch}{\mathcal{H}} \newcommand{\mcp}{\mathcal{P}} \newcommand{\mcb}{\mathcal{B}} \newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)} \newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}} \newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\ic}{\text{i}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}} \newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh} \DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect} \DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat} \DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg} \DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![} \newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)} \newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} \newcommand{\GR}{\mathbb{R}} \]

      D'après le théorème de la bijection :

      • \(f \) est une fonction dérivable (donc continue) sur l' intervalle \(I = \left]0 ; e\right]\).
      • \(f\) est strictement croissante sur l' intervalle \(I = \left]0 ; e\right]\).
      • \(\lim\limits_{x \to 0}~f(x)=-\infty\) et \(f \left(e\right)=\dfrac{1 }{e} \)

      \(f\) réalise donc une bijection de \(\left]0 ; e\right]\) sur \(\left]-\infty;\dfrac{1 }{e} \right]\)
      \(0\in \left]-\infty;\dfrac{1 }{e} \right]\),
      donc l'équation \(f(x) = 0 \) a une racine unique \(\alpha\) dans \(\left]0 ; e\right]\) .

       

    • Encadrement de \(\alpha\) à \(10^{-2}\) pès :

      Avec une calculatrice on obtient :

        \(f\left(0.36\right)\approx -0.02\)  et  \(f\left(0.37\right)\approx 0.005\)
      On a donc \(f\left(0.36\right)<0<f\left(0.37\right)\), soit \(f\left(0.36\right)<f\left(\alpha\right)<f\left(0.37\right)\)
      comme  \(f\)  est strictement croissante sur \(\left[0.3;1\right]\); on déduit \(0.36<\alpha< 0.37\)

      \[0.36<\alpha< 0.37\]

 

Exercice 4 : Détermination de fonction .
\(f\) est une fonction définie et dérivable sur l'intervalle \(]0 ; +\infty[\). \(f'\) désigne la fonction dérivée de \(f\).

  • \(\mathcal{C}\) est la représentation graphique de la fonction \(f\) dans un repère orthonormal.
  • \(T\) est la tangente à \(\mathcal{C}\) au point de coordonnées \((1 ; -1)\). \(T\) passe par le point de coordonnées \((0;1)\).

 


    1. Par lecture graphique, déterminer \(f(1)\).
    2. On lit \(f(1)=-1\)
    3. Déterminer \(f'(1)\).
    4. \(f'(1)\) est le coefficient directeur de la tangente à \(\mathcal{C}\) au point d'abscisse 1.
      On lit \(f'(1)=-2\).
      Si on note \(A(1 ; -1)\) et \(B(0;1)\). On a \(m=f'(1)=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{1+1}{-1}=-2\)
    5. Donner une équation de \(T\).
    6. Une équation de \(T\) est \(y=f'(1)(x-1)+f(1)\); soit \(y=-2(x-1)+(-1)\)
      \(T\) : \(y=-2x+1\)
  1. On sait que \(f(x)\) est de la forme \(f(x) = 2\ln x+ \dfrac{a}{x} + b\) où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels.
    1. Calculer \(f'(x)\).
    2. \(f(x) = 2\ln x+ a\times \dfrac{1}{x} + b\) ainsi \(f'(x)=2\times \dfrac{1}{x}+a\times \left (-\dfrac{1}{x^2}\right )\)
      \(f'(x)= \dfrac{2}{x}-\dfrac{a}{x^2}\)
    3. Déterminer alors les valeurs de \(a\) et \(b\).
    4. \(f(1)=-1\iff 2\ln 1 +a+b=-1 \iff a+b=-1\); en effet \(\ln 1=0\).
      \(f'(1)=-2\iff 2-a=-2 \iff a=4\)
      Comme \(a=4\) , l'équation \(a+b=-1\) nous donne \(b=-5\)
      \(a=4\) et \(b=-5\)

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