DS07 TITEC2 fonction ln

Exercice 1 :Propriétés algébriques .
Exprimer en fonction de \(\ln 2\) et \(\ln 5\) les réels :

  1. \( 2\ln(25) - \ln \left(\dfrac{1}{8}\right)\)
  2. \(2 \ln\left( \sqrt{10}\right) - \ln(20)\)

Exercice 2 : Deux équations.
Résoudre dans \(\mathbb R\) les équations suivantes :

  1. \(\ln(2 x-1) = 1\)
  2. \(\ln\left( 4 x^2-1\right) = \ln(2 x +1)\)

Exercice 3 :Une étude de fonction \(\ln\) .
Soit \(f\) la fonction définie sur \(I = ]0 ; + \infty[\) par \(f(x)=1+\dfrac{\ln x}{x}\) , dont le tableau de variations, incomplet est le suivant : 


On désigne par \(f'\) la fonction dérivée de la fonction \(f\) et on note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère du plan.

    1. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)\)
    2. La courbe \(\mathcal{C}_f\) a-t-elle des asymptotes ? Si oui lesquelles ?
  1. Montrer que pour tout réel \(x\) strictement positif, \(f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}\).
  2. Etudier le signe de la fonction dérivée \(f'\) sur l'intervalle \(I\).
  3. Recopier et compléter le tableau des variations de \(f\) sur \(I\).
  4. Donner la valeur arrondie à \(10^{-2}\) près des solutions éventuelles de l'équation \(f(x)=0\).

 

Exercice 4 : Détermination de fonction .
\(f\) est une fonction définie et dérivable sur l'intervalle \(]0 ; +\infty[\). \(f'\) désigne la fonction dérivée de \(f\). Courbe

  • \(\mathcal{C}\) est la représentation graphique de la fonction \(f\) dans un repère orthonormal.
  • \(T\) est la tangente à \(\mathcal{C}\) au point de coordonnées \((1 ; -1)\). \(T\) passe par le point de coordonnées \((0;1)\).

 

    1. Par lecture graphique, déterminer \(f(1)\).
    2. Déterminer \(f'(1)\).
    3. Donner une équation de \(T\).
  1. On sait que \(f(x)\) est de la forme \(f(x) = 2\ln x+ \dfrac{a}{x} + b\) où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels.
    1. Calculer \(f'(x)\).
    2. Déterminer alors les valeurs de \(a\) et \(b\).

 

 

 

 

 

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