DS06 TITEC 2 , calcul intégral: le corrigé

Exercice 1 :6 questions indépendantes .

  1. Calculer \(\displaystyle\int_2^1\left(2x+ x^2 \right)dx\).
  2. \[ \begin{array}{rl} \displaystyle\int_2^1\left(2x+ x^2 \right)dx& = \left[ x^2+\dfrac{x^3}{3}\right]_2^1\\ &=F(1)-F(2)\\ F(2)&= 2^2+\dfrac{2^3}{3}\\ &= 4+\dfrac{8}{3}=\dfrac{20}{3}\\ F(1)&= 1^2+\dfrac{1^3}{3}\\ &= 1+\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}\\ \displaystyle\int_2^1\left(2x+ x^2 \right)dx& =F(1)-F(2)\\ & =\dfrac{4}{3}-\dfrac{20}{3}=-\dfrac{16}{3} \end{array}\]
    \(\displaystyle\int_2^1\left(2x+ x^2 \right)dx= -\dfrac{16}{3}\)
  3. Déterminer la primitive \(F\) de \(f:]0,+\infty[\rightarrow\mathbb R,~x\mapsto 2x-\frac 1{x^2}\) qui vérifie \(F(1)=0\).
  4. Les primitives de la fonction  \(f\) définie sur \(]0,+\infty[\) par \(f(x)=2x-\dfrac{1}{x^2}\) sont définies  sur \(]0,+\infty[\)par:

    \[ F(x)=x^2 +\dfrac{1}{x}+C\]

    \[F(1)=2\iff 1+1+C=0\iff C=-2\]

    La primitive \(F\) de la fonction \(f\) définie sur \(]0,+\infty[\) par \(f(x)=2x-\dfrac{1}{x^2}\) qui vérifie \(F(1)=2\)est donc définie   sur \(]0,+\infty[\) par: \(F(x)=x^2+\dfrac{1}{x}-2\)
  5. Calculer la valeur moyenne de la fonction \(\mathbb R\rightarrow\mathbb R,~x\mapsto x^3\) sur l'intervalle \([0,1]\) .
  6. D'après la définition de la valeur moyenne; on a \( \mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^bf(x)\;dx\) \[ \begin{array}{rl} \mu = \dfrac{1}{1-0}\displaystyle\int_0^1 x^3\;dx& = \left[ \dfrac{x^4}{4}\right]_0^1\\ &=F(1)-F(0)\\ & =\dfrac{1}{4}-0= \dfrac{1 }{4} \end{array}\]
    la valeur moyenne de la fonction \(\mathbb R\rightarrow\mathbb R,~x\mapsto x^3\) sur l'intervalle \([0,1]\) est \(\dfrac{1 }{4}\)
  7. Soit \(g:\mathbb R\rightarrow\mathbb R\) une fonction continue. Calculer \(\displaystyle\int_4^4g(x)dx\).
  8. \(\displaystyle\int_4^4g(x)dx= G(4)-G(4)=0\) où \(G\) désigne une primitive de \(g\).
    \(\displaystyle\int_4^4g(x)dx=0\)
  9. Déterminer l'ensemble des primitives de \(h:\left]-\infty,\frac13\right[~x\mapsto \dfrac{1}{(1-3x)^2}\).
  10. On a \(f(x)=\dfrac{1}{(1-3x)^2}\)

    On pose \(u(x)= 1-3x\)

    Alors \(u'(x)= -3\)

    Ainsi \(h= -\dfrac{1}{3}\times \dfrac{u'}{u^2} \)

    Comme \(h=-\dfrac{1}{3}\times \dfrac{u'}{u^2}\), on déduit :\[H= -\dfrac{1}{3}  \times  -\left(\dfrac{1}{ u}\right)= \dfrac{1}{3u}  \]

     

    Les primitives de \(h:\left]-\infty,\frac13\right[ \) sont définies par \(H(x)=\dfrac{1}{3(1-3x)}\)

     

  11. Soit \(u:\mathbb R\rightarrow\mathbb R,x\mapsto 20x(x^2+1)^9\).
    1. Montrer que \(U:\mathbb R\rightarrow\mathbb R,~x\mapsto (x^2+1)^{10}\) est une primitive de \(u\).
    2. On calcule la dérivée de \(U\);
      comme \(U=v^{10}\), on déduit \(U'=10v^9v'\).
      Ici \(v(x)=x^2+1\); donc \(v'(x)=2x\).
      \(U'(x)=10(x^2+1)^9\times 2x = 20x(x^2+1)^9= u(x)\)
      Comme \(U'(x)= u(x)\), \(U:\mathbb R\rightarrow\mathbb R,~x\mapsto (x^2+1)^{10}\) est une primitive de \(u\)
    3. En déduire une primitive de \(v:\mathbb R\rightarrow\mathbb R,x\mapsto x(x^2+1)^9\).
    4. On remarque que \(v(x)= \dfrac{1}{20}\times 20x(x^2+1)^9= \dfrac{1}{20}u(x)\)
      Une primitive de \(v\) est donc \(V= \dfrac{1}{20}U\)
      une primitive de \(v:\mathbb R\rightarrow\mathbb R,x\mapsto x(x^2+1)^9\) est la fonction \(V\) définie sur \(\mathbb R\) par \(V(x)= \dfrac{1}{20}\times (x^2+1)^{10}\)

Exercice 2 :Un calcul d'aire .

Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=x^2+x+2\) et \(g(x)=x+3\). On note \(\mathcal C_f\) et \(\mathcal C_g\) leurs courbes respectives dans un repère orthonormé.

  1. Colorier la surface située entre les deux courbes et délimitée en abscisse par \(-1\leq x\leq 1\).
  2. Calculer l'aire de la surface située entre les deux courbes et délimitée en abscisse par \(-1\leq x\leq 1\).
  3. D'après le graphique la courbe \(\mathcal C_g\) est située au dessus de \(\mathcal C_f\) sur \([-1;1]\).
    Le domaine hachuré est défini par \(\begin{cases} -1\leq x\leq 1\\ f(x)\leq y\leq g(x)\end{cases}\) Son aire, exprimée en unités d'aires vaut : \[ \begin{array}{rl} \mathcal A &= \displaystyle\int_{-1}^1\left(g(x)-f(x) \right)dx\\ &= \displaystyle\int_{-1}^1\left(x+3-\left(x^2+x+2\right) \right)dx\\ &= \displaystyle\int_{-1}^1\left(x+3-x^2-x-2 \right)dx\\ &= \displaystyle\int_{-1}^1\left(1-x^2 \right)dx\\ & = \left[ x -\dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^1\\ &=F(-1)-F(1)\\ F(-1)&= -1-\dfrac{(-1)^3}{3}\\ &= -1+\dfrac{1}{3}=-\dfrac{2 }{3}\\ F(1)&= 1 -\dfrac{1^3}{3}\\ &= 1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}\\ \displaystyle\int_{-1}^1\left(g(x)-f(x) \right)dx& =F(1)-F(-1)\\ & =\dfrac{2}{3}+\dfrac{2 }{3}=\dfrac{4}{3} \end{array}\]
    \(\displaystyle\int_{-1}^1\left(g(x)-f(x) \right)dx= \dfrac{4}{3}\)

Exercice 3 :On encadre une intégrale .

La courbe ci-contre représente une fonction \(w\) définie sur \([-1,3]\).

  1. Calculer l'aire en \(cm^2\) du triangle \(OAB\).
  2. L'aire du triangle \(OAB\) est \(\mathcal A= \dfrac{\text{Base}\times \text{Hauteur}}{2}= \dfrac{ 2\times 3}{2}= 3\; u.a.\)
    Ici \(1\; u.a.= 0,5\; cm\times 0,5\; cm =0,25cm^2\)
    Ainsi \(\mathcal A= 3\times 0,25= 0,75\; cm^2\)
  3. Expliquer pourquoi \(3\leq\displaystyle\int_0^2w(x)dx\leq 6\).
  4. Comme la fonction \(w\) est continue et positive sur \([0; 2]\); on déduit que \(\displaystyle\int_0^2w(x)dx\) est l'aire sous la courbe de la fonction \(w\) associée à l'intervalle \([0; 2]\).
    D'après le graphique , cette aire est clairement comprise entre l'aire du triangle \(OAB\) et l'aire du rectangle \(OACD\).
    Ainsi \[\text{Aire }(OAB) \leq\displaystyle\int_0^2w(x)dx\leq \text{Aire }(OACD)\]Or \(\text{Aire }(OACD)=OA\times CD=2\times 3= 6\; u.a.\) Soit \(3\leq\displaystyle\int_0^2w(x)dx\leq 6\)

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