Bac Blanc TSTI2D n ° 2

 

\[ \newcommand{\mtn}{\mathbb{N}} \newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*} \newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}} \newcommand{\mtr}{\mathbb{R}} \newcommand{\mtk}{\mathbb{K}} \newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\mch}{\mathcal{H}} \newcommand{\mcp}{\mathcal{P}} \newcommand{\mcb}{\mathcal{B}} \newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)} \newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}} \newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\ic}{\text{i}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}} \newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh} \DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect} \DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat} \DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg} \DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![} \newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)} \newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} \newcommand{\GR}{\mathbb{R}} \]

Exercice 1 : etude du bruit émis par une éolienne.
On souhaite étudier le bruit émis par une éolienne en dB (décibels).
Au niveau du moteur, le volume sonore est d'environ 80 dB et plus on s'éloigne du moteur de niveau sonore diminue.
MODÈLE n°1 : En utilisant une suite …
On a mesuré qu'en s'éloignant à 100 m de l'éolienne, le volume sonore est de 70 dB. On note \(n\) le nombre de centaines de mètres entre le moteur de l' éolienne et l'endroit où on mesure le niveau sonore et on note \(u_n\) le niveau sonore du bruit émis par le moteur en dB entendu à \(n\) centaines de mètres du moteur.
On a donc \(u_0=80\) et \(u_1=70\). On suppose que le pourcentage perdu par le niveau sonore est constant pour chaque centaine de mètres parcourus.

  1. Démontrer qu’à 100 m de l' éolienne , on perd 12,5% de volume sonore.
  2. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a \(u_{n+1} = 0,875u_n\)
  3. En déduire, pour tout entier naturel \(n\), l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).
    1. Déterminer le plus petit nombre entier positif \(n\) solution de l’inéquation \[ 0,875^n \leq 0,25.\]
    2. On donne l’échelle des sons suivante :

      Echelle de sons Déterminer à partir de quelle distance le niveau sonore du bruit du moteur correspond à un murmure.

MODÈLE n°2 : En utilisant une fonction …
La variable \(x\) représente une distance en centaines de mètres .
Pour \(x\) variant entre \(0\) et \(30\) mètres on appelle \(f(x)\) le niveau sonore du bruit émis par le moteur de l' éolienne , entendu à \(x\) centaines de mètres .

On suppose que, pour tout \(x\) variant entre \(0\) et \(30\) on a : \[ f(x)= a +b \ln(x+1)\]où \(a\) et \(b\)   sont deux constantes réelles.
On donne, en annexe1, la courbe \(\mathcal{C}\) de la fonction \(f\) ainsi que la tangente au point d'abscisse 0 de \(\mathcal{C}\) qui passe par le point \(A(1;57)\).

  1. Lire sur la courbe de  \(f\) la valeur de \(f(0)\), en déduire la valeur de \(a\).
    1. Pour tout \(x\) entre \(0\) et \(30\), calculer  \(f’(x)\).
    2. Justifier, en utilisant le graphique,  \(f’(0)= −23\).
    3. En déduire la valeur de \(b\).
  2. On suppose que, pour tout \(x\) positif, on a  \(f(x)= 80 − 23 \ln(x + 1)\).
    Sur l'annexe 1, déterminer graphiquement à partir de quelle distance le bruit du moteur est de 20 dB.
  3. On souhaite déterminer une valeur approchée à 0,1 près de \(x_0\) tel que \(f(x_0) < 10\).
    Parmi les trois algorithmes proposés ci-dessous, choisissez, en justifiant, lequel permet de déterminer une valeur approchée de \(x_0\) à 0,1 près, la valeur exacte de \(x_0\) n'est pas demandée :

Algorithme n°1 \[\begin{array}{|l |l |} \hline\text{ Variables :}& P \text{ est un réel}\\ & A \text{ est un réel}\\ \text{ Initialisation:}&&\\& \text{ Affecter à } P \text{ la valeur } 0,1&\\ & \text{ Affecter à } A \text{ la valeur } 0\\ \text{ Traitement : } & \text{ Tant que } f(A) \leq 10 \\ &\hspace{1em} \text{ Affecter à } A \text{ la valeur } A+P \\ & \text{ Fin Tant que}\\ \text{ Sortie :}& \text{ Afficher } A\\ \hline \end{array} \]Algorithme n°2 \[\begin{array}{|l |l |} \hline\text{ Variables :}& P \text{ est un réel}\\ & A \text{ est un réel}\\ \text{ Initialisation:}&&\\& \text{ Affecter à } P \text{ la valeur } 0,1&\\ & \text{ Affecter à } A \text{ la valeur } 12\\ \text{ Traitement : } & \text{ Tant que } f(A) \geq 10 \\ &\hspace{1em} \text{ Affecter à } A \text{ la valeur } A-P \\ & \text{ Fin Tant que}\\ \text{ Sortie :}& \text{ Afficher } A\\ \hline \end{array} \]Algorithme n°3 \[\begin{array}{|l |l |} \hline\text{ Variables :}& P \text{ est un réel}\\ & A \text{ est un réel}\\ \text{ Initialisation:}&&\\& \text{ Affecter à } P \text{ la valeur } 0,1&\\ & \text{ Affecter à } A \text{ la valeur } 12\\ \text{ Traitement : } & \text{ Tant que } f(A) \geq 10 \\ &\hspace{1em} \text{ Affecter à } A \text{ la valeur } A+P \\ & \text{ Fin Tant que}\\ \text{ Sortie :}& \text{ Afficher } A\\ \hline \end{array} \] 

Annexe 1

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