Bac S 2013 Antilles Guyane : Spécialité

oui
non
S
Année 2013
Antilles Guyanne
Spécialité
Calcul matriciel
 

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A
On considère l'algorithme suivant :
\[\begin{array}{|l|}\hline A \text{ et } X \text{sont des nombres entiers }\\ \text{ Saisir un entier positif } A\\ \text{ Affecter à } X \text{ la valeur de } A\\ \text{ Tant que } X \text{ supérieur ou égal à 26}\\ \hspace{1.25cm}\text{ Affecter à } X \text{ la valeur } X - 26\\ \text{ Fin du tant que }\\ \text{ Afficher } X\\ \hline \end{array}\]

  1. Qu'affiche cet algorithme quand on saisit le nombre 3 ?
  2. Qu'affiche cet algorithme quand on saisit le nombre 55 ?
  3. Pour un nombre entier saisi quelconque, que représente le résultat fourni par cet algorithme?


Partie B
On veut coder un bloc de deux lettres selon la procédure suivante (détaillée en quatre étapes) :
Étape 1 : chaque lettre du bloc est remplacée par un entier en utilisant le tableau ci-dessous:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L &M\\\hline 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\\hline \hline N &O &P &Q &R &S &T &U &V &W &X &Y &Z \\ \hline 13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\\hline \end{array}\]

On obtient une matrice colonne \(\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}\) où \(x_{1}\) correspond à la première lettre du mot et \(x_{2}\) correspond à la deuxième lettre du mot.

Étape 2 : \(\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}\) est transformé en \(\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}\) tel que
\[\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}\]
La matrice \(C = \begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}\) est appelée la matrice de codage.

Étape 3 : \(\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}\) est transformé en \(\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}\) tel que \[\left\{\begin{array}{l c l c l c l l} z_{1}& \equiv& y_{1}\: (26)& \text{avec}\:\: 0 &\leqslant& z_{1}&\leqslant& 25\\ z_{2}& \equiv& y_{2}\: (26)& \text{avec}\:\: 0 &\leqslant& z_{2}&\leqslant& 25 \end{array}\right.\]
Étape 4 : \(\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}\) est transformé en un bloc de deux lettres en utilisant le tableau de correspondance donné dans l'étape 1.
\begin{array}{|l} \text{ Exemple } : \text{ RE } \to \begin{pmatrix}17\\4\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}55\\93\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}\to \text{ DP }\\ \text{Le bloc RE est donc codé en DP}\\ \end{array} Justifier le passage de \(\begin{pmatrix}17\\4\end{pmatrix}\) à \(\begin{pmatrix}55\\93\end{pmatrix}\) puis à \(\begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}\).

  1. Soient \(x_{1},\:x_{2},\:x'_{1},\:x'_{2}\) quatre nombres entiers compris entre 0 et 25 tels que \(\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix}x'_{1}\\x'_{2}\end{pmatrix}\) sont transformés lors du procédé de codage en \(\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}\).
    1. Montrer que \(\left\{\begin{array}{l c l} 3x_{1}+ x_{2} & \equiv& 3x'_{1} + x'_{2} \quad (26)\\ 5x_{1}+ 2x_{2}&\equiv&5x'_{1} + 2x'_{2} \quad (26). \end{array}\right.\)
    2. En déduire que \(x_{1} \equiv x'_{1}\quad (26)\) et \(x_{2} \equiv x'_{2} \quad (26)\) puis que \(x_{1} = x'_{1}\) et \(x_{2} = x'_{2}\).
  2. On souhaite trouver une méthode de décodage pour le bloc DP :
    1. Vérifier que la matrice \(C' = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 5&3\end{pmatrix}\) est la matrice inverse de \(C\).
    2. Calculer \(\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}\) tels que \(\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 5&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}\).
    3. Calculer \(\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}\) tels que \(\left\{\begin{array}{l c l} x_{1}&\equiv &y_{1}\quad (26)\:\: \text{avec}\:0 \leqslant x_{1} \leqslant 25\\ x_{2}&\equiv &y_{2}\quad (26)\:\: \text{avec}\:0 \leqslant x_{2} \leqslant 25\\ \end{array}\right.\)
    4. Quel procédé général de décodage peut-on conjecturer ?
  3. Dans cette question nous allons généraliser ce procédé de décodage. On considère un bloc de deux lettres et on appelle \(z_{1}\) et \(z_{2}\) les deux entiers compris entre 0 et 25 associés à ces lettres à l'étape 3. On cherche à trouver deux entiers \(x_{1}\) et \(x_{2}\) compris entre 0 et 25 qui donnent la matrice colonne \(\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}\) par les étapes 2 et 3 du procédé de codage. Soient \(y'_{1}\) et \(y'_{2}\) tels que \(\begin{pmatrix}y'_{1}\\y_{2}\end{pmatrix} = C' \begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}\) où \(C' = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 5&3\end{pmatrix}\).
    Soient \(x_{1}\) et \(x_{2}\), les nombres entiers tels que \(\left\{\begin{array}{l c l} x_{1}&\equiv & y'_{1} \quad (26) \: \text{avec}\:0 \leqslant x_{1}\leqslant 25\\ x_{2}&\equiv &y'_{2} \quad (26) \: \text{avec}\:0 \leqslant x_{2}\leqslant 25 \end{array}\right.\)
    Montrer que \(\left\{\begin{array}{l c l} 3x_{1}+ x_{2} & \equiv& z_{1} \quad (26)\\ 5x_{1}+ 2x_{2}&\equiv&z_{2} \quad (26). \end{array}\right.\). Conclure.
  4. Décoder QC.
 

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A
On considère l'algorithme suivant :
\[\begin{array}{|l|}\hline A \text{ et } X \text{sont des nombres entiers }\\ \text{ Saisir un entier positif } A\\ \text{ Affecter à } X \text{ la valeur de } A\\ \text{ Tant que } X \text{ supérieur ou égal à 26}\\ \hspace{1.25cm}\text{ Affecter à } X \text{ la valeur } X - 26\\ \text{ Fin du tant que }\\ \text{ Afficher } X\\ \hline \end{array}\]

  1. Qu'affiche cet algorithme quand on saisit le nombre 3 ?
  2. Si on saisit le nombre \(3\), l’algorithme affiche \(3\).
  3. Qu'affiche cet algorithme quand on saisit le nombre 55 ?
  4. Si on saisit le nombre \(55\) l’algorithme affiche \(3\).
  5. Pour un nombre entier saisi quelconque, que représente le résultat fourni par cet algorithme?
  6. Cet algorithme fournit le reste de la division euclidienne de \(A\) par \(26\).


Partie B
On veut coder un bloc de deux lettres selon la procédure suivante (détaillée en quatre étapes) :
Étape 1 : chaque lettre du bloc est remplacée par un entier en utilisant le tableau ci-dessous:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L &M\\\hline 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\\hline \hline N &O &P &Q &R &S &T &U &V &W &X &Y &Z \\ \hline 13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\\hline \end{array}\]

On obtient une matrice colonne \(\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}\) où \(x_{1}\) correspond à la première lettre du mot et \(x_{2}\) correspond à la deuxième lettre du mot.

Étape 2 : \(\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}\) est transformé en \(\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}\) tel que
\[\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}\]
La matrice \(C = \begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}\) est appelée la matrice de codage.

Étape 3 : \(\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}\) est transformé en \(\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}\) tel que \[\left\{\begin{array}{l c l c l c l l} z_{1}& \equiv& y_{1}\: (26)& \text{avec}\:\: 0 &\leqslant& z_{1}&\leqslant& 25\\ z_{2}& \equiv& y_{2}\: (26)& \text{avec}\:\: 0 &\leqslant& z_{2}&\leqslant& 25 \end{array}\right.\]
Étape 4 : \(\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}\) est transformé en un bloc de deux lettres en utilisant le tableau de correspondance donné dans l'étape 1.
\begin{array}{|l} \text{ Exemple } : \text{ RE } \to \begin{pmatrix}17\\4\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}55\\93\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}\to \text{ DP }\\ \text{Le bloc RE est donc codé en DP}\\ \end{array} Justifier le passage de \(\begin{pmatrix}17\\4\end{pmatrix}\) à \(\begin{pmatrix}55\\93\end{pmatrix}\) puis à \(\begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}\).

  • Étape 1 :\(\text{ RE } \to \begin{pmatrix}17\\4\end{pmatrix}\) en utilisant le tableau
  • Étape 2 :\(\begin{pmatrix}17\\4\end{pmatrix}\) est transformé en \(\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}\) tel que
    \[\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}17\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\times 17 + 1\times 4\\5\times 17 + 2\times 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}55\\93\end{pmatrix}\]
  • Étape 3 : \[\left\{\begin{array}{l c l c l c l l} 55& \equiv& 3\: (26)& \text{avec}\:\: 0 &\leqslant& 3&\leqslant& 25\\93& \equiv& 15\: (26)& \text{avec}\:\: 0 &\leqslant& 13&\leqslant& 25 \end{array}\right.\]
  • Étape 4 :\( \begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix} \to \text{ DP } \) en utilisant le tableau
    On a donc bien : \begin{array}{|l}  \text{ RE } \to \begin{pmatrix}17\\4\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}55\\93\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}\to \text{ DP }\\ \text{Le bloc RE est donc codé en DP}\\ \end{array}
  1. Soient \(x_{1},\:x_{2},\:x'_{1},\:x'_{2}\) quatre nombres entiers compris entre 0 et 25 tels que \(\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix}x'_{1}\\x'_{2}\end{pmatrix}\) sont transformés lors du procédé de codage en \(\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}\).
    1. Montrer que \(\left\{\begin{array}{l c l} 3x_{1}+ x_{2} & \equiv& 3x'_{1} + x'_{2} \quad (26)\\ 5x_{1}+ 2x_{2}&\equiv&5x'_{1} + 2x'_{2} \quad (26). \end{array}\right.\)
    2. On a donc \(y_1 = 3x_1 + x_2\) et \(y_2=5x_1+2x_2\) ainsi que \(y’_1 = 3x’_1+x’_2\) et \(y’_2=5x’_1+2x’_2\).
      Or \(z_1 \equiv y_1~(26)\) et \(z_1 \equiv y’_1~(26)\) par conséquent \(y_1 \equiv y’_1 ~(26)\).
      D’où \(3x_1+x_2 \equiv 3x’_1+x’_2 ~(26)\).
      De même \(z_2 \equiv y_2 ~(26)\) et \(z_2 \equiv y’_2 ~(26)\) par conséquent \(y_2 \equiv y’_2 ~(26)\)
      Et \(5x_1+2x_2 \equiv 5x’_1 + 2x’_2 ~(26)\).
    3. En déduire que \(x_{1} \equiv x'_{1}\quad (26)\) et \(x_{2} \equiv x'_{2} \quad (26)\) puis que \(x_{1} = x'_{1}\) et \(x_{2} = x'_{2}\).
    4. On appelle \(L_1\) la ligne \(3x_1 + x_2 \equiv 3x’_1 + x’_2 ~(26)\) et \(L_2\) la ligne \(5x_1 + 2x_2 \equiv 5x’_1 + 2x’_2 ~(26)\).
      Alors \(2l_1-L2\) donne \(x_1 \equiv x’_1~(26)\) et \(3L_2 – 5L_1\) donne \(x_2 \equiv x’_2~(26)\).
      Les nombres \(x_1\), \(x_2\), \(x’_1\) et \(x’_2\) sont des entiers compris entre \(0\) et \(25\).
      Par conséquent ils sont égaux à leur reste dans la division euclidienne par \(26\).
      Cela signifie donc que \(x_1 = x’_1\) et \(x_2 = x’_2\).
  2. On souhaite trouver une méthode de décodage pour le bloc DP :
    1. Vérifier que la matrice \(C' = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 5&3\end{pmatrix}\) est la matrice inverse de \(C\).
    2. \(C \times C’ = \left( \begin{matrix} 1&0\\\\0&1 \end{matrix} \right)\). Par conséquent \(C’\) est bien la matrice inverse de la matrice \(C\).
    3. Calculer \(\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}\) tels que \(\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 5&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}\).
    4. \(\left( \begin{matrix} y_1 \\\\ y_2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 \times 3 – 1 \times 15 \\\\-5 \times 3 + 3 \times 15 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -9 \\\\ 30 \end{matrix} \right)\)
    5. Calculer \(\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}\) tels que \(\left\{\begin{array}{l c l} x_{1}&\equiv &y_{1}\quad (26)\:\: \text{avec}\:0 \leqslant x_{1} \leqslant 25\\ x_{2}&\equiv &y_{2}\quad (26)\:\: \text{avec}\:0 \leqslant x_{2} \leqslant 25\\ \end{array}\right.\)
    6. Alors \(-9 = -26 + 17\) donc \(x_1 = 17\) et \(30 = 26 + 4\) d’où \(x_2 = 4\).
    7. Quel procédé général de décodage peut-on conjecturer ?
    8. On peut donc conjecturer que \(\left\{\begin{array}{lr} x_1\equiv 2y_1 – y_2~(26) & \text{avec } 0 \le x_1 \le 25 \\\\x_2 \equiv -5y_1 + 3y_2~(26) & \text{avec } 0 \le x_2 \le 25 \end{array} \right.\)
  3. Dans cette question nous allons généraliser ce procédé de décodage. On considère un bloc de deux lettres et on appelle \(z_{1}\) et \(z_{2}\) les deux entiers compris entre 0 et 25 associés à ces lettres à l'étape 3. On cherche à trouver deux entiers \(x_{1}\) et \(x_{2}\) compris entre 0 et 25 qui donnent la matrice colonne \(\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}\) par les étapes 2 et 3 du procédé de codage. Soient \(y'_{1}\) et \(y'_{2}\) tels que \(\begin{pmatrix}y'_{1}\\y_{2}\end{pmatrix} = C' \begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}\) où \(C' = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 5&3\end{pmatrix}\).
    Soient \(x_{1}\) et \(x_{2}\), les nombres entiers tels que \(\left\{\begin{array}{l c l} x_{1}&\equiv & y'_{1} \quad (26) \: \text{avec}\:0 \leqslant x_{1}\leqslant 25\\ x_{2}&\equiv &y'_{2} \quad (26) \: \text{avec}\:0 \leqslant x_{2}\leqslant 25 \end{array}\right.\)
    Montrer que \(\left\{\begin{array}{l c l} 3x_{1}+ x_{2} & \equiv& z_{1} \quad (26)\\ 5x_{1}+ 2x_{2}&\equiv&z_{2} \quad (26). \end{array}\right.\). Conclure.
  4. \(3x_1+x_2 \equiv 6y_1 – 3y_2 – 5y_1 + 3y_2 \equiv y_1 \equiv z_1 ~(26)\)
    \(5x_1+2x_2 \equiv 10y_1 – 5y_2 – 10y_1 + 6y_2 \equiv y_2 \equiv z_2 ~(26)\)
    Par conséquent \(\left( \begin{matrix} x_1 \\\\ x_2 \end{matrix} \right)\) est bien le couple de nombres initial ayant permis d’obtenir \(\left( \begin{matrix} y_1 \\\\ y_2 \end{matrix} \right)\) à l’aide du procédé de codage.
  5. Décoder QC.
  6. \(QC \rightarrow \left( \begin{matrix} 16 \\\\ 2 \end{matrix} \right)\)
    Alors \(y’_1 = 16 \times 2 – 1 \times 2 = 30\) et \(y’_2 = -5 \times 16 + 3 \times 2 = -74\).
    Par conséquent \(x’_1 = 4\) et \(x’_2 = 4\).
    Le code \(QC\) provenait donc de \(EE\).

 

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