Bac S 2013 Liban Suites

oui
non
S
Année 2013
Liban
Suites
Récurrence,suite arithmétique,convergence,algorithme

Exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité

On considère la suite numérique \(\left(v_{n}\right)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par
\(\left\{\begin{array}{l c l} v_{0} &=& 1\\ v_{n + 1}&=& \dfrac{9}{6 - v_{n}} \end{array}\right.\)
Partie A

  1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel \(n\) donné, tous les termes de la suite, du rang \(0\) au rang \(n\). Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse. \[\begin{array}{|c|c|c||c|c|c|}\hline \text{Algorithme No 1} &&\text{Algorithme No 2}&&\text{Algorithme No 3} \\\hline \text{Variables :} && \text{Variables :}& & \text{Variables :} \\ v \;\text{est un réel}&&v \;\text{est un réel}&& v \;\text{est un réel}\\ i \text{ et } n \;\text{sont des entiers naturels}&& i \;\text{ et } n \; \text{sont des entiers naturels}&& i \text{ et } n \;\text{sont des entiers naturels}\\  &&&&\\ \text{Début de l'algorithme :}&&\text{Début de l'algorithme :}&& \text{Début de l'algorithme :}\\ \text{Lire } n&&\text{Lire } n&&\text{Lire } n\\ v \text{ prend la valeur } 1&&\text{Pour } i \text{ variant de 1 à } n \text{ faire }&& v\; \text{ prend la valeur } \;1\\ \text{Pour } i \text{ variant de 1 à } n \text{ faire }&&v\; \text{ prend la valeur } \;1&&\text{Pour } i \text{ variant de 1 à } n \text{ faire }\\ \hspace{0.2cm} v \;\text{ prend la valeur } \dfrac{9}{6 - v}&&\hspace{0.2cm}\text{ Afficher } v&& \hspace{0.2cm}\text{ Afficher } v\\ \text{ Fin pour } &&v \text{ prend la valeur } \dfrac{9}{6 - v}&&v \text{ prend la valeur } \dfrac{9}{6 - v}\\ \text{ Afficher } v&& \text{ Fin pour }&&\text{Fin pour }\\ &&&&\text{Afficher } v\\ \text{Fin algorithme}&&\text{Fin algorithme}&&\text{Fin algorithme}\\ \hline \end{array} \]Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite \(\left(v_{n}\right)\) ?
    1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n,\: 0 < v_{n} < 3\).
    2. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n,\: v_{n+1} - v_{n} = \dfrac{\left(3 - v_{n} \right)^2}{6 - v_{n}}\). La suite \(\left(v_{n}\right)\) est-elle monotone ?
    3. Démontrer que la suite \(\left(v_{n}\right)\) est convergente.

Partie B Recherche de la limite de la suite \(\left(v_{n}\right)\)

On considère la suite \(\left(w_{n}\right)\) définie pour tout \(n\) entier naturel par
\[w_{n} = \dfrac{1}{v_{n} - 3}.\]

  1. Démontrer que \(\left(w_{n}\right)\) est une suite arithmétique de raison \(- \dfrac{1}{3}\)
  2. En déduire l'expression de \(\left(w_{n}\right)\), puis celle de \(\left(v_{n}\right)\) en fonction de \(n\).
  3. Déterminer la limite de la suite \(\left(v_{n}\right)\).

 

 
 

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