Bac S 2013 Liban Fonction exponentielle

oui
non
S
Année 2013
Liban
Calcul intégral,Fonction exp
 

Exercice 3 6 points


Commun à tous les candidats

Étant donné un nombre réel \(k\), on considère la fonction \(f_{k}\) définie sur \(\mathbb{R}\) par
\[f_{k}(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{- kx}}.\]Le plan est muni d'un repère orthonormé \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)\).
Partie A

Dans cette partie on choisit \(k = 1\). On a donc, pour tout réel \(x,f_{1}(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{- x}}\). La représentation graphique \(\mathscr{C}_{1}\) de la fonction \(f_{1}\) dans le repère \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)\) est donnée en ANNEXE, à rendre avec la copie.

  1. Déterminer les limites de \(f_{1}(x)\) en \(+ \infty\) et en \(- \infty\) et interpréter graphiquement les résultats obtenus.
  2. Démontrer que, pour tout réel \(x, f_{1}(x) = \dfrac{\text{e}^{x}}{1 + \text{e}^{x}}\).
  3. On appelle \(f'_{1}\) la fonction dérivée de \(f_{1}\) sur \(\mathbb{R}\). Calculer, pour tout réel \(x,\: f'_{1}(x)\).
    En déduire les variations de la fonction \(f_{1}\) sur \(\mathbb{R}\).
  4. On définit le nombre \(I = \displaystyle\int_{0}^1 f_{1}(x)\:\text{d}x\).

  5. Montrer que \(I = \ln \left(\dfrac{1 + \text{e}}{2}\right)\). Donner une interprétation graphique de \(I\).

Partie B
Dans cette partie, on choisit \(k = - 1\) et on souhaite tracer la courbe \(\mathscr{C}_{- 1}\) représentant la fonction \(f_{- 1}\).
Pour tout réel \(x\), on appelle \(P\) le point de \(\mathscr{C}_{1}\) d'abscisse \(x\) et \(M \) le point de \(\mathscr{C}_{- 1}\) d'abscisse \(x\). On note \(K\) le milieu du segment \([MP]\).

  1. Montrer que, pour tout réel \(x,\: f_{1}(x) + f_{- 1}(x) = 1\).
  2. En déduire que le point \(K\) appartient à la droite d'équation \(y = \dfrac{1}{2}\).
  3. Tracer la courbe \(\mathscr{C}_{- 1}\) sur l'ANNEXE, à rendre avec la copie.
  4. En déduire l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par les courbes \(\mathscr{C}_{1}\), \(\mathscr{C}_{- 1}\) l'axe des ordonnées et la droite d'équation \(x = 1\).


  Partie C
Dans cette partie, on ne privilégie pas de valeur particulière du paramètre \(k\). Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

  1. Quelle que soit la valeur du nombre réel \(k\), la représentation graphique de la fonction \(f_{k}\) est strictement comprise entre les droites d'équations \(y = 0\) et \(y = 1\).
  2. Quelle que soit la valeur du réel \(k\), la fonction \(f_{k}\) est strictement croissante.
  3. Pour tout réel \(k \geqslant 10,\: f_{k}\left(\dfrac{1}{2}\right) \geqslant 0,99\).

 Annexe

 

Correction de l'Exercice 3

Exercice 3 6 points


Commun à tous les candidats

Étant donné un nombre réel \(k\), on considère la fonction \(f_{k}\) définie sur \(\mathbb{R}\) par
\[f_{k}(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{- kx}}.\]Le plan est muni d'un repère orthonormé \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)\).
Partie A

Dans cette partie on choisit \(k = 1\). On a donc, pour tout réel \(x,f_{1}(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{- x}}\). La représentation graphique \(\mathscr{C}_{1}\) de la fonction \(f_{1}\) dans le repère \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)\) est donnée en ANNEXE, à rendre avec la copie.

  1. Déterminer les limites de \(f_{1}(x)\) en \(+ \infty\) et en \(- \infty\) et interpréter graphiquement les résultats obtenus.
  2. \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \text{e}^{-x} = 0\) donc \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f_1(x) = 1\).
    Cela signifie donc que la courbe \(\mathscr{C}_1\) possède une asymptote hozintale d’équation \(y=1\).

    \(~\)
    \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \text{e}^{-x}= +\infty\) donc \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} =f_1(x) = 0\).
    Cela signifie donc que la courbe \(\mathscr{C}_1\) possède une asymptote horizontale d’équation \(y=0\).
  3. Démontrer que, pour tout réel \(x, f_{1}(x) = \dfrac{\text{e}^{x}}{1 + \text{e}^{x}}\).
  4. \(f_1(x) = \dfrac{1}{1+\text{e}^{-x}} = \dfrac{1}{1+\text{e}^{-x}} \times \dfrac{\text{e}^{x}}{\text{e}^{x}} = \dfrac{\text{e}^{x}}{\text{e}^{x}+1}\)
  5. On appelle \(f'_{1}\) la fonction dérivée de \(f_{1}\) sur \(\mathbb{R}\). Calculer, pour tout réel \(x,\: f'_{1}(x)\).
    En déduire les variations de la fonction \(f_{1}\) sur \(\mathbb{R}\).
  6. \(f_1\) est un quotient de fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\) dont le dénominateur ne s’annule pas donc \(f_1\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\).
    \[f_1′(x) = \dfrac{-(-\text{e}^{-x})}{(1+\text{e}^{-x})^2} = \dfrac{\text{e}^{-x}}{(1+\text{e}^{-x})^2} > 0\]
    Donc \(f_1\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
  7. On définit le nombre \(I = \displaystyle\int_{0}^1 f_{1}(x)\:\text{d}x\).


  8. Montrer que \(I = \ln \left(\dfrac{1 + \text{e}}{2}\right)\). Donner une interprétation graphique de \(I\). \(f_1(x) = \dfrac{\text{e}^{x}}{\text{e}^{x}+1}\) est de la forme \(\dfrac{u’}{u}\).
    Donc une primitive de \(f_1\) est \(F_1\) définie par \(F_1(x) = \ln(\text{e}^{x} + 1)\).
    Par conséquent :
    \[\begin{array}{ll} I &= F_1(1) – F_1(0) \\ &=\ln(\text{e} + 1) – \ln(1 + 1) \\ &=\ln(\text{e} + 1) – \ln(2) \\ &= \ln \left(\dfrac{\text{e}+1}{2} \right) \end{array}\]
    Cela signifie donc que l’aire comprise entre la courbe \(\mathscr{C}_1\), l’axe des abscisses et les droites d’équation \(x=0\) et \(x=1\) est de \(\ln \left(\dfrac{\text{e}+1}{2} \right)\) u.a.

    \(~\)

Partie B
Dans cette partie, on choisit \(k = - 1\) et on souhaite tracer la courbe \(\mathcal{C}_{- 1}\) représentant la fonction \(f_{- 1}\).
Pour tout réel \(x\), on appelle \(P\) le point de \(\mathcal{C}_{1}\) d'abscisse \(x\) et \(M \) le point de \(\mathcal{C}_{- 1}\) d'abscisse \(x\). On note \(K\) le milieu du segment \([MP]\).

  1. Montrer que, pour tout réel \(x,\: f_{1}(x) + f_{- 1}(x) = 1\).
  2. \(f_1(x)+f_{-1}(x) = \dfrac{\text{e}^{x}}{\text{e}^{x}+1}+\dfrac{1}{1+\text{e}^{x}} = \dfrac{\text{e}^{x}+1}{\text{e}^{x}+1} = 1\)
    \(~\)
  3. En déduire que le point \(K\) appartient à la droite d'équation \(y = \dfrac{1}{2}\).
  4. L’ordonnée de \(P\) est donc \(f_1(x)\) et celle de M est \(f_{-1}(x)\).
    Par conséquent l’ordonnée de \(K\) est : \(\dfrac{f_1(x)+f_{-1}(x)}{2} = \dfrac{1}{2}\).
    \(K\) appartient donc bien à la droite d’équation \(y = \dfrac{1}{2}\).
    \(~\)
  5. Tracer la courbe \(\mathcal{C}_{- 1}\) sur l'ANNEXE, à rendre avec la copie.
  6. On trace donc la courbe symétrique à \(\mathscr{C}_1\) par rapport à la droite d’équation \(y=\dfrac{1}{2}\).
  7. En déduire l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par les courbes \(\mathcal{C}_{1}\), \(\mathcal{C}_{- 1}\) l'axe des ordonnées et la droite d'équation \(x = 1\).
  8. On cherche donc \(J = \displaystyle \int_0^1 \left(f_1(x)-f_{-1}(x) \right) \text{d}x\).
    Or \(f_1(x)+f_{-1}(x) = 1\)
    Donc \(f_{-1}(x) = 1 – f_1{x}\) et \(f_1(x)-f_{-1}(x) = 2f_1(x) – 1\)
    Par conséquent
    \[ \begin{array} {ll}J &= \displaystyle \int_0^1 \left( 2f_1(x)-1 \right) \text{d}x \\
    &=2I-1 \\
    &=2 \ln \left(\dfrac{\text{e}+1}{2} \right) – 1 \text{u.a.}
    \end{array}\]

Partie C

  1. Quelle que soit la valeur du nombre réel \(k\), la représentation graphique de la fonction \(f_{k}\) est strictement
    comprise entre les droites d'équations \(y = 0\) et \(y = 1\).
  2. Vrai
    Pour tout \(x \in \mathbb{R}\) et pour tout réel \(k\), \(1+\text{e}^{-kx} > 0\) donc \(f_k(x) > 0\).
    \[ \begin{array}{ll} f_k(x) -1 &= \dfrac{1}{1+ \text{e}^{-kx}} – 1 \\\\
    &= \dfrac{1}{1+\text{e}^{-kx}} – \dfrac{1+\text{e}^{-kx}}{1+\text{e}^{-kx}} \\\\
    &=\dfrac{-\text{e}^{-kx}}{1+\text{e}^{-kx}} < 0
    \end{array}\]
    Donc la représentation graphique de la fonction \(f_k\) est comprise entre les droites d’équation \(y=0\) et \(y=1\)
    \(~\)
  3. Quelle que soit la valeur du réel \(k\), la fonction \(f_{k}\) est strictement croissante.
  4. Faux
    La courbe représentative de la fonction \(f_{-1}\) étant la symétrique par rapport à la droite d’équation
    \(y=\dfrac{1}{2}\) de celle de la fonction \(f_1\), la fonction \(f_{-1}\) est donc décroissante.
    \(~\) Ou d'une autre façon \(f_{-1}(x)=\dfrac{1}{1+ \text{e}^{x}}\) ; cette fonction est clairement dérivable sur \(\mathbb{R}\); et
    \(f_{-1}'(x)=-\dfrac{\text{e}^{x}}{\left(1+ \text{e}^{x}\right)^2}\).
    Cette fonction dérivée est clairement strictement négative sur \(\mathbb{R}\), car la fonction exponentielle est strictement positive sur \(\mathbb{R}\). la fonction \(f_{-1}\) est donc strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).
  5. Pour tout réel \(k \geqslant 10,\: f_{k}\left(\dfrac{1}{2}\right) \geqslant 0,99\).
  6. \[\begin{array} {ll}k \ge 10 & \Leftrightarrow -0,5k \le -5 \\ & \Leftrightarrow \text{e}^{-0,5k} \le \text{e}^{-5} \\ & \Leftrightarrow 1+\text{e}^{-0,5k} \le 1+ \text{e}^{-5} \\ & \Leftrightarrow f_k \left(\dfrac{1}{2} \right) \ge \dfrac{1}{1+\text{e}^{-5}} \ge 0,993 > 0,99\\ \end{array}\]

 

 

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