Baccalauréat S Métropole 22 juin 2018

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A


On considère l'équation suivante dont les inconnues \(x\) et \(y\) sont des entiers naturels : \[x^2 - 8y^2 = 1 . \quad(E)\]
  1. Déterminer un couple solution \((x~;~y)\) où \(x\) et \(y\) sont deux entiers naturels.
  2. \(3^2-8\times 1^2=9-8=1\).
    Le couple \((3;1)\) est donc solution de l’équation \((E)\).
    \(\quad\)
  3. On considère la matrice \(A = \begin{pmatrix}3&8\\1&3\end{pmatrix}\). On définit les suites d'entiers naturels \(\left(x_n\right)\) et \(\left(y_n\right)\) par : \[x_0 = 1,\: y_0 = 0,\: \text{et pour tout entier naturel }\:n,\: \begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}.\]
    1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), le couple \(\left(x_n~;~y_n\right)\) est solution de l'équation \((E)\).
    2. Initialisation :  Si \(n=0\) alors \(1^2-8\times 0^2=1\). Le couple \(\left(x_0;y_0\right)\) est donc solution de l’équation \((E)\).
      \(\quad\)
      Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang \(p\) : \(\left(x_p;y_p\right)\) est solution de l’équation \((E)\).
      Ainsi \(x_p^2-8y_p^2=1\)
      Montrons qu’elle est encore vraie au rang suivant, c’est-à-dire que \(\left(x_{p+1};y_{p+1}\right)\) est solution de l’équation \((E)\).
      On a \(\begin{pmatrix} x_{p+1}\\y_{p+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3x_p+8y_p\\x_p+3y_p\end{pmatrix}\).
      Ainsi :
      \(\begin{align*} \left(x_{p+1}\right)^2-8\left(y_{p+1}\right)^2 &= \left(3x_p+8y_p\right)^2-8\left(x_p+3y_p\right)^2 \\
      &=9{x_p}^2+64{y_p}^2+48x_py_p-8\left({x_p}^2+9{y_p}^2+6x_py_p\right) \\
      &=9{x_p}^2+64{y_p}^2+48x_py_p-8{x_p}^2-72{y_p}^2-48x_py_p \\
      &={x_p}^2-8{y_p}^2 \\
      &=1 \text{ d'après l'hypothèse de récurrence}
      \end{align*}\)
      La propriété est vraie au rang \(p+1\).
      \(\quad\)
      Conclusion : La propriété est vraie au rang \(0\) et est héréditaire.
      Par conséquent, pour tout entier naturel \(n\) le couple \(\left(x_n;y_n\right)\) est solution de l’équation \((E)\).
      \(\quad\)
    3. En admettant que la suite \(\left(x_n\right)\) est à valeurs strictement positives, démontrer que pour tout entier naturel \(n\), on a : \(x_{n+1} > x_n\).
    4. Pour tout entier naturel \(n\) on a :
      \(x_{n+1}-x_n=3x_n+8y_n-x_n=2x_n+8y_n>0\) puisque \(x_n\) et \(y_n\) sont des entiers naturels et \(x_n>0\).
      \(\quad\)
  4. En déduire que l'équation \((E)\) admet une infinité de couples solutions.
  5. La suite \(\left(x_n\right)\) est donc une suite strictement croissante d’entiers naturels.
    L’équation \((E)\) admet donc une infinité de couples solutions.
    \(\quad\)

Partie B


Un entier naturel \(n\) est appelé un nombre puissant lorsque, pour tout diviseur premier \(p\) de \(n\),\(\:\) \(p^2\) divise \(n\).
  1. Vérifier qu'il existe deux nombres entiers consécutifs inférieurs à \(10\) qui sont puissants.
    L'objectif de cette partie est de démontrer, à l'aide des résultats de la partie A, qu'il existe une infinité de couples de nombres entiers naturels consécutifs puissants et d'en trouver quelques exemples.
  2. Le seul nombre premier qui divise \(8\) est \(2\) et \(8\) est divisible par \(2^2=4\).
    Le seul nombre premier qui divise \(9\) est \(3\) et \(9\) est divisible par \(3^2=9\).
    Ces deux entiers consécutifs sont donc puissants.
  3. Soient \(a\) et \(b\) deux entiers naturels. Montrer que l'entier naturel \(n = a^2 b^3\) est un nombre puissant.
  4. Les diviseurs premiers de \(n\) sont les diviseurs premiers de \(a\)  ou de \(b\).
    Soit \(p\) un diviseur premier de \(a\). Il existe alors un entier naturel \(q\) tel que \(a=pq\).
    Donc \(n=p^2q^2b^3\) et \(p^2\) divise \(n\).
    Soit \(r\) un diviseur premier de \(b\). Il existe alors un entier naturel \(s\) tel que \(b=rs\).
    Donc \(n=a^2r^3s^3=a^2r^2rs^3\) et \(r^2\) divise \(n\).
    \(n\) est donc un nombre puissant.
  5. Montrer que si \((x~;~y)\) est un couple solution de l'équation \((E)\) définie dans la partie A, alors \(x^2 - 1\) et \(x^2\) sont des entiers consécutifs puissants.
  6. Soit \((x;y)\) un couple solution de l’équation \((E)\).
    Ainsi \(x^2-8y^2=1\) soit \(x^2-1=8y^2=2^3y^2\).
    D’après la question précédente, le nombre \(x^2-1\) est puissant.
    Les seuls diviseurs premiers de \(x^2\) sont les diviseurs premiers de \(x\).
    Si \(p\) est diviseur premier de \(x\), il existe alors un entier naturel \(q\) tel que \(x=pq\).
    Donc \(x^2=p^2q^2\) et \(p^2\) divise \(x^2\).
    \(x^2\) est donc un nombre puissant.
    Remarque : On pouvait également dire que \(x^2=1^3\times x^2\) et appliquer la propriété précédente.
    \(\quad\)
    Ainsi, \(x^2-1\) et \(x^2\) sont deux entiers naturels consécutifs puissants.
    \(\quad\)
  7. Conclure quant à l'objectif fixé pour cette partie, en démontrant qu'il existe une infinité de couples de nombres entiers consécutifs puissants.
    Déterminer deux nombres entiers consécutifs puissants supérieurs à \(2018\).
  8. D’après la question A.3. il existe une infinité de couples solutions à l’équation \((E)\).
    La question précédente nous indique que pour chaque couple solution on peut déterminer deux entiers consécutifs puissants.
    Il existe donc une infinité de couples de nombres entiers consécutifs puissants.
    \(\quad\)
    On a, à l’aide de la calculatrice \(\begin{pmatrix} x_3\\y_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 99\\35\end{pmatrix}\)
    Donc \(99^2=9~801\) et \(99^2-1=9~800\) sont puissants.
    \(\quad\)

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