Baccalauréat S Métropole 22 juin 2018

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A


On considère l'équation suivante dont les inconnues \(x\) et \(y\) sont des entiers naturels : \[x^2 - 8y^2 = 1 . \quad(E)\]
  1. Déterminer un couple solution \((x~;~y)\) où \(x\) et \(y\) sont deux entiers naturels.
  2. On considère la matrice \(A = \begin{pmatrix}3&8\\1&3\end{pmatrix}\). On définit les suites d'entiers naturels \(\left(x_n\right)\) et \(\left(y_n\right)\) par : \[x_0 = 1,\: y_0 = 0,\: \text{et pour tout entier naturel }\:n,\: \begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}.\]
    1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), le couple \(\left(x_n~;~y_n\right)\) est solution de l'équation \((E)\).
    2. En admettant que la suite \(\left(x_n\right)\) est à valeurs strictement positives, démontrer que pour tout entier naturel \(n\), on a : \(x_{n+1} > x_n\).
  3. En déduire que l'équation \((E)\) admet une infinité de couples solutions.

Partie B


Un entier naturel \(n\) est appelé un nombre puissant lorsque, pour tout diviseur premier \(p\) de \(n\),\(\:\) \(p^2\) divise \(n\).
  1. Vérifier qu'il existe deux nombres entiers consécutifs inférieurs à \(10\) qui sont puissants.
    L'objectif de cette partie est de démontrer, à l'aide des résultats de la partie A, qu'il existe une infinité de couples de nombres entiers naturels consécutifs puissants et d'en trouver quelques exemples.
  2. Soient \(a\) et \(b\) deux entiers naturels. Montrer que l'entier naturel \(n = a^2 b^3\) est un nombre puissant.
  3. Montrer que si \((x~;~y)\) est un couple solution de l'équation \((E)\) définie dans la partie A, alors \(x^2 - 1\) et \(x^2\) sont des entiers consécutifs puissants.
  4. Conclure quant à l'objectif fixé pour cette partie, en démontrant qu'il existe une infinité de couples de nombres entiers consécutifs puissants.
    Déterminer deux nombres entiers consécutifs puissants supérieurs à \(2018\).

 

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