Baccalauréat S Métropole 22 juin 2018

Correction de l'exercice 3 (5 points)


Commun à tous les candidats

Géométrie
Le but de cet exercice est d'examiner, dans différents cas, si les hauteurs d'un tétraèdre sont concourantes, c'est-à-dire d'étudier l'existence d'un point d'intersection de ses quatre hauteurs. On rappelle que dans un tétraèdre MNPQ, la hauteur issue de M est la droite passant par M orthogonale au plan (NPQ).

Partie A Étude de cas particuliers


On considère un cube ABCDEFGH.
cube1
On admet que les droites (AG), (BH), (CE) et (DF), appelées « grandes diagonales» du cube, sont concourantes.
  1. On considère le tétraèdre ABCE.
    1. Préciser la hauteur issue de E et la hauteur issue de C dans ce tétraèdre.
    2. Dans le tétraèdre \(ABCE\), la hauteur issue de \(E\) est \([EA]\)car \((EA) \perp (ABC)\) et celle issue de \(C\) est \([BC]\) car \((CB) \perp (ABE)\) .
      \(\quad\)
    3. Les quatre hauteurs du tétraèdre ABCE sont-elles concourantes?
    4. Les droites \((EA)\) et \((BC)\) ne sont pas coplanaires. Les quatre hauteurs du tétraèdre \(ABCE\) ne sont donc pas concourantes.
  2. On considère le tétraèdre ACHF et on travaille dans le repère \(\left(\text{A}~;~ \vec{\text{AB}},~ \vec{\text{AD}},~ \vec{\text{AE}}\right)\).
    1. Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (ACH) est : \(x - y + z = 0\).
    2. Dans le repère \(\left(A;\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE}\right)\) on a :
      \(A(0;0;0)\) donc \(0-0+0=0\) : les coordonnées du point \(A\) sont solution de l’équation cartésienne fournie.
      \(C(1;1;0)\)  donc \(1-1+0=0\) : les coordonnées du point \(C\) sont solution de l’équation cartésienne fournie.
      \(H(0;1;1)\) donc \(0-1+1=0\) : les coordonnées du point \(H\) sont solution de l’équation cartésienne fournie.
      Une équation cartésienne su plan \((ACH)\) est donc \(x-y+z=0\).
      \(\quad\)
    3. En déduire que (FD) est la hauteur issue de F du tétraèdre ACHF.
    4. Un vecteur normal à ce plan est donc \(\vec{n}(1;-1;1)\).
      Or les coordonnées de \(F\) sont \((1;0;1)\) et celles de \(D\) sont \((0;1;0)\).
      On a donc \(\vec{FD}(-1;1;-1)\). Ainsi \(\vec{FD}=-\vec{n}\).
      Le vecteur \(\vec{FD}\) est par conséquent normal au plan \((ACH)\) et la droite \((FD)\) est la hauteur issue de \(F\) du tétraèdre \(ACHF\).
      \(\quad\)
    5. Par analogie avec le résultat précédent, préciser les hauteurs du tétraèdre ACHF issues respectivement des sommets A, C et H. Les quatre hauteurs du tétraèdre ACHF sont-elles concourantes ?
    6. La hauteur du tétraèdre \(ACHF\) issue de \(A\) est \([AG]\), celle issue de \(C\) est \([CE]\) et celle issue de \(H\) est \([BH]\).
      Ces quatre hauteurs se coupent en \(O\) le centre du carré. Elles sont donc concourantes.
      \(\quad\)
Dans la suite de cet exercice, un tétraèdre dont les quatre hauteurs sont concourantes sera appelé un tétraèdre orthocentrique.

Partie B Une propriété des tétraèdres orthocentriques


Dans cette partie, on considère un tétraèdre MNPQ dont les hauteurs issues des sommets M et N sont sécantes en un point K. Les droites (MK) et (NK) sont donc orthogonales aux plans (NPQ) et (MPQ) respectivement.
tetra
    1. Justifier que la droite (PQ) est orthogonale à la droite (MK) ; on admet de même que les droites (PQ) et (NK) sont orthogonales.
    2. La droite \((MK)\) est orthogonale au plan \((NPQ)\). Elle est donc orthogonale à toutes les droites de ce plan, en particulier \((PQ)\).
      \(\quad\)
    3. Que peut-on déduire de la question précédente relativement à la droite (PQ) et au plan (MNK) ? Justifier la réponse.
    4. La droite \((PQ)\) est donc orthogonale à deux droites sécantes du plan \((MNK)\). Elle est donc orthogonale à ce plan.
      \(\quad\)
  1. Montrer que les arêtes [MN] et [PQ] sont orthogonales. Ainsi, on obtient la propriété suivante : Si un tétraèdre est orthocentrique, alors ses arêtes opposées sont orthogonales deux à deux.
    (On dit que deux arêtes d'un tétraèdre sont « opposées» lorsqu'elles n'ont pas de sommet commun.)
  2. La droite \((PQ)\) est orthogonale au plan \((MNK)\). Elle est donc orthogonale à toutes les droites de ce plan, en particulier à \((MN)\).
    Ainsi les arêtes \([MN]\) et \([PQ]\) sont orthogonales.
    \(\quad\)

Partie C Application


Dans un repère orthonormé, on considère les points : \[\text{R}(-3~;~5~;~2) ,\text{S}(1~;~4~;~-2) , \text{T}(4~;~-1~;~5)\quad \text{et U}(4~;~7~;~3).\]Le tétraèdre RSTU est-il orthocentrique ? Justifier.

On a \(\vec{RT}(7;-6;3)\) et \(\vec{SU}(3;3;5)\).
Donc \(\vec{RT}.\vec{SU}=3\times 7-6\times 3+3\times 5=18\neq 0\).

D’après la contraposée de la propriété donnée à la fin de la partie B le tétraèdre \(RSTU\) n’est pas orthocentrique.
\(\quad\)

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