Baccalauréat S Métropole 22 juin 2018

Exercice 3 5 points


Géométrie


Le but de cet exercice est d'examiner, dans différents cas, si les hauteurs d'un tétraèdre sont concourantes, c'est-à-dire d'étudier l'existence d'un point d'intersection de ses quatre hauteurs. On rappelle que dans un tétraèdre MNPQ, la hauteur issue de M est la droite passant par M orthogonale au plan (NPQ).

Partie A Étude de cas particuliers


On considère un cube ABCDEFGH.
cube1
On admet que les droites (AG), (BH), (CE) et (DF), appelées « grandes diagonales» du cube, sont concourantes.
  1. On considère le tétraèdre ABCE.
    1. Préciser la hauteur issue de E et la hauteur issue de C dans ce tétraèdre.
    2. Les quatre hauteurs du tétraèdre ABCE sont-elles concourantes?
  2. On considère le tétraèdre ACHF et on travaille dans le repère \(\left(\text{A}~;~ \vec{\text{AB}},~ \vec{\text{AD}},~ \vec{\text{AE}}\right)\).
    1. Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (ACH) est : \(x - y + z = 0\).
    2. En déduire que (FD) est la hauteur issue de F du tétraèdre ACHF.
    3. Par analogie avec le résultat précédent, préciser les hauteurs du tétraèdre ACHF issues respectivement des sommets A, C et H. Les quatre hauteurs du tétraèdre ACHF sont-elles concourantes ?
Dans la suite de cet exercice, un tétraèdre dont les quatre hauteurs sont concourantes sera appelé un tétraèdre orthocentrique.

Partie B Une propriété des tétraèdres orthocentriques


Dans cette partie, on considère un tétraèdre MNPQ dont les hauteurs issues des sommets M et N sont sécantes en un point K. Les droites (MK) et (NK) sont donc orthogonales aux plans (NPQ) et (MPQ) respectivement.
tetra
    1. Justifier que la droite (PQ) est orthogonale à la droite (MK) ; on admet de même que les droites (PQ) et (NK) sont orthogonales.
    2. Que peut-on déduire de la question précédente relativement à la droite (PQ) et au plan (MNK) ? Justifier la réponse.
  1. Montrer que les arêtes [MN] et [PQ] sont orthogonales. Ainsi, on obtient la propriété suivante : Si un tétraèdre est orthocentrique, alors ses arêtes opposées sont orthogonales deux à deux.
    (On dit que deux arêtes d'un tétraèdre sont « opposées» lorsqu'elles n'ont pas de sommet commun.)

Partie C Application


Dans un repère orthonormé, on considère les points : \[\text{R}(-3~;~5~;~2) ,\text{S}(1~;~4~;~-2) , \text{T}(4~;~-1~;~5)\quad \text{et U}(4~;~7~;~3).\]Le tétraèdre RSTU est-il orthocentrique ? Justifier.

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