Baccalauréat S Métropole 22 juin 2018

Correction de l'exercice 1 (6 points)


Commun à tous les candidats


Dans cet exercice, on munit le plan d'un repère orthonormé.
On a représenté ci-dessous la courbe d'équation: \[y = \dfrac{1}{2}\left(\text{e}^x + \text{e}^{-x} - 2\right).\]Cette courbe est appelée une « chaînette ». On s'intéresse ici aux « arcs de chaînette» délimités par deux points de cette courbe symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. Un tel arc est représenté sur le graphique ci-dessous en trait plein. On définit la « largeur » et la « hauteur » de l'arc de chaînette délimité par les points \(M\) et \(M'\) comme indiqué sur le graphique.
chainette1
Le but de l'exercice est d'étudier les positions possibles sur la courbe du point \(M\) d'abscisse \(x\) strictement positive afin que la largeur de l'arc de chaînette soit égale à sa hauteur.

  1. Justifier que le problème étudié se ramène à la recherche des solutions strictement positives de l'équation \[(E) : \text{e}^x + \text{e}^{- x} - 2 = 0.\]
  2. La largeur de la chaînette est \(MM’=2x\).
    La hauteur de la chaînette est \(\dfrac{1}{2}\left(\text{e}^x+\text{e}^{-x}-2\right)\).
    On veut donc résoudre :
    \(\begin{align*} 2x=\dfrac{1}{2}\left(\text{e}^x+\text{e}^{-x}-2\right)&\iff 4x=\text{e}^x+\text{e}^{-x}-2 \\
    &\iff \text{e}^x+\text{e}^{-x}-4x-2 = 0\end{align*}\)
    \(\quad\)
  3. On note \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \([0~;~ +\infty[\) par : \[f(x) = \text{e}^x + \text{e}^{- x} - 4x - 2.\]
    1. Vérifier que pour tout \(x > 0,\: f(x) = x \left(\dfrac{\text{e}^x}{x}- 4\right) + \text{e}^{- x} - 2\).
    2. \(x\left(\dfrac{\text{e}^x}{x}-4\right)+\text{e}^{-x}-2 =\text{e}^x-4x+\text{e}^{-x}-2=f(x)\).
      \(\quad\)
    3. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)\).
    4. \(\lim\limits_{x \to +\infty} -x=-\infty\) et \(\lim\limits_{X \to -\infty} \text{e}^X=0\)
      Donc \(\lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^{-x}=0\).
      De plus \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x}=+\infty\) donc \(\lim\limits_{x \to +\infty} x\left(\dfrac{\text{e}^x}{x}-4\right)=+\infty\).
      Par conséquent \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty\).
      \(\quad\)
    1. On note \(f'\) la fonction dérivée de la fonction \(f\). Calculer \(f'(x)\), où \(x\) appartient à l'intervalle \([0~;~ +\infty[\).
    2. La fonction \(f\) est dérivable sur l’intervalle \([0;+\infty[\) comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
      \(f'(x)=\text{e}^x-\text{e}^{-x}-4\).
      \(\quad\)
    3. Montrer que l'équation \(f'(x) = 0\) équivaut à l'équation : \(\left(\text{e}^x\right)^2 - 4\text{e}^x - 1 = 0\).
    4. \(\begin{align*} f'(x)=0 &\iff \text{e}^x-\text{e}^{-x}-4=0 \\
      &\iff \dfrac{\text{e}{2x}-1-4\text{e}^x}{\text{e}^x}=0 \\
      &\iff \dfrac{\left(\text{e}^x\right)^2-4\text{e}^x-1}{\text{e}^x}=0
      &\iff \left(\text{e}^x\right)^2-4\text{e}^x-1=0 \quad \text{car } \text{e}^x >0 \text{ sur } [0;+\infty[
      \end{align*}\)
      \(\quad\)
    5. En posant \(X = \text{e}^x\), montrer que l'équation \(f'(x) = 0\) admet pour unique solution réelle le nombre \(\ln \left(2 + \sqrt{5}\right)\).
    6. On pose \(X=\text{e}^x\).
      On a alors
      \( \left(\text{e}^x\right)^2-4\text{e}^x-1=0 \iff \begin{cases} X=\text{e}^x\\X^2-4X-1=0 \end{cases} \)
      Calculons le discriminant du polynôme \(X^2-4X-1\)
      \(\Delta = (-4)^2-4\times 1\times (-1)=20>0\)
      Il possède donc deux racines réelles : \(X_1=\dfrac{4-\sqrt{20}}{2}=2-\sqrt{5} <0\)
      et \(X_2=\dfrac{4+\sqrt{20}}{2}=2+\sqrt{5}>0\).
      Ainsi :
      \(\begin{cases} X=\text{e}^x\\X^2-4X-1=0 \end{cases} \iff \begin{cases} X=\text{e}^x \\X=2-\sqrt{5} \text{ou } X=2+\sqrt{5}\end{cases}\)
      \(X_1<0\) donc la seule solution possible est celle qui vérifie \(2+\sqrt{5}=\text{e}^x \iff x=\ln \left(2+\sqrt{5}\right)\).
      \(\quad\)
  4. On donne ci-dessous le tableau de signes de la fonction dérivée \(f'\) de \(f\) :
    chainette2
    1. Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\).
    2. On obtient le tableau de variation suivant :
      tabvar
      On a \(f\left(\ln \left(2+\sqrt{5}\right)\right) \approx -3,3\).
      \(\quad\)
    3. Démontrer que l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution strictement positive que l'on notera \(\alpha\).
    4. \(f\) est strictement décroissante sur l'intervalle \(\left]0; \ln \left(2+\sqrt{5}\right)\right[\);
      donc si \(0<x<\ln \left(2+\sqrt{5}\right)\) alors \(0> f(x)\), soit \(f(x)< 0\).
      Sur l’intervalle \(\left]0;\ln \left(2+\sqrt{5}\right)\right[\) on a \(f(x)<0\).
      Sur l’intervalle \(\left[\ln \left(2+\sqrt{5}\right);+\infty\right[\), la fonction \(f\) est continue (car dérivable) et strictement croissante.
      De plus \(f\left(\ln \left(2+\sqrt{5}\right)\right) \approx -3,3<0\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty\).
      D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation \(f(x)=0\) possède une unique solution \(\alpha\) sur l’intervalle \(\left[\ln \left(2+\sqrt{5}\right);+\infty\right[\).
      Ainsi l’équation \(f(x)=0\) possède une unique solution sur l’intervalle \([0;+\infty[\).
      \(\quad\)
  5. On considère l'algorithme suivant où les variables \(a\), \(b\) et \(m\) sont des nombres réels : \[\begin{array}{|l|}\hline \text{Tant que } b - a > 0,1 \text{faire:}\\ \hspace{1cm} m \gets \dfrac{a+b}{2} \\ \hspace{1cm}\text{ Si } \text{e}^m + \text{e}^{-m} - 4m - 2 > 0 \text{, alors:}\\ \hspace{2cm} b \gets m \\ \hspace{1cm}\text{Sinon :}\\ \hspace{2cm} a\gets m \\ \hspace{1cm}\text{Fin Si }\\ \text{Fin Tant que }\\ \hline \end{array}\]
    1. Avant l'exécution de cet algorithme, les variables \(a\) et \(b\) contiennent respectivement les valeurs \(2\) et \(3\). Que contiennent-elles à la fin de l'exécution de l'algorithme ? On justifiera la réponse en reproduisant et en complétant le tableau ci-contre avec les différentes valeurs prises par les variables, à chaque étape de l'algorithme. \[ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline m & a & b & b - a \\ \hline &2& 3 &1\\ \hline 2,5 &&&\\ \hline \ldots &\ldots&\ldots&\\ \hline ~ &&&\\ \hline \end{array}\]
    2. \[\begin{array}{|c|c|c|c|}
      \hline
      m&a&b&b-a\\
      \hline
      &2&3&1\\
      \hline
      2,5&2&2,5&0,5\\
      \hline
      2,25&2,25&2,5&0,25\\
      \hline
      2,375&2,375&2,5&0,125\\
      \hline
      2,4375&2,4375&2,5&0,0625\\
      \hline
      \end{array}\]
      À la fin de l’exécution de l’algorithme on a \(a=2,437~5\) et \(b=2,5\).
      \(\quad\)
    3. Comment peut-on utiliser les valeurs obtenues en fin d'algorithme à la question précédente ?
    4. On a \(f(2)\approx -2,48\) et \(f(3)\approx 6,14\).
      Par conséquent \(\alpha\) appartient à l’intervalle  \(]2;3[\).
      L’algorithme (de dichotomie) précédent nous fournit un encadrement d’amplitude au plus \(0,1\) de cette valeur.
      Donc \(2,437~5 <\alpha < 2,5\).
      \(\quad\)
  6. La Gateway Arch, édifiée dans la ville de Saint-Louis aux États-Unis, a l'allure ci-contre. Son profil peut être approché par un arc de chaînette renversé dont la largeur est égale à la hauteur.
    chainette3
    La largeur de cet arc, exprimée en mètre, est égale au double de la solution strictement positive de l'équation : \[\left(E'\right) : \text{e}^{\frac{t}{39}} + \text{e}^{-\frac{t}{39}} - 4\frac{t}{39} - 2 = 0.\]Donner un encadrement de la hauteur de la Gateway Arch.
  7. D’après la question précédente la solution de l’équation \((E’)\) vérifie :
    \(2,437~5< \dfrac{t}{39}<2,5 \iff 95,062~5<t<97,5\).
    Un encadrement de la largeur de cet arc est donc \(190,125<2t<195\).
    \(\quad\) donc la hauteur de l'arche est comprise entre 190 et 195 mètres.

ImprimerE-mail

Statistiques

Visiteurs
173
Articles
1392
Compteur d'affichages des articles
8118716