Montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme

Fiche méthode

Montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme

Le but : On connait les coordonnées des quatre sommets d’un quadrilatère. On veut montrer que c’est un parallélogramme.

Comment : On va montrer que les deux diagonales ont le même milieu.
Pour cela on va utiliser la propriété suivante :

Propriété : On considère deux points \(A\left(x_A;y_A\right)\) et \(B\left(x_B;y_B\right)\) du plan muni d’un repère \((O;I,J)\). On appelle \(M\) le milieu du segment \([AB]\).
Les coordonnées de \(M\) sont alors \(\begin{cases} x_M = \dfrac{x_A+x_B}{2} \\\\y_M = \dfrac{y_A+y_B}{2} \end{cases}\).

\(\quad\)

Exemple : Dans un repère \((O;I,J)\) on donne les points suivants :
\(A(0;2)\), \(B(-1;-1)\), \(C(4;-2)\) et \(D(5;1)\)
On peut commencer par placer les points dans un repère pour mieux se représenter la situation
2nd - fiches méthode - repérage1

On appelle \(M\left(x_M;y_M\right)\) le milieu de \([AC]\) avec \(A(0;2)\) et \(C(4;-2)\)
\(\begin{cases} x_M = \dfrac{0 + 4}{2} = 2\\\\y_M=\dfrac{2 + (-2)}{2} = 0 \end{cases}\)

\(\quad\)

On appelle \(N\left(x_N;y_N\right)\) le milieu de \([BD]\) avec \(B(-1;-1)\) et \(D(5;1)\)
\(\begin{cases} x_N = \dfrac{-1 + 5}{2} = 2 \\\\y_N = \dfrac{-1 + 1}{2} = 0 \end{cases}\)

On constate donc que les points \(M\) et \(N\) ont les mêmes coordonnées. Ils sont donc confondus.

Par conséquent, les diagonales du quadrilatère \(ABCD\) se croisent en leur milieu et c’est un parallélogramme.

Remarque : Quand plusieurs points sont donnés, il peut être utile de recopier ceux dont on aura besoin dans les calculs et éviter ainsi les « erreurs d’énoncé ».

 

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