Repérage dans le plan

 

Repérage dans le plan

I Définitions

 

Définition 1 :

 

  • Pour définir un repère d’un plan, il suffit de fournir trois points non alignés \(O\), \(I\) et \(J\). On note alors ce repère \((O;I,J)\). L’ordre dans lequel les points sont écrits est important.
  • Si les droites \((OI)\) et \((OJ)\) sont perpendiculaires, le repère \((O;I,J)\) est dit orthogonal.
  • Si le repère \((O;I,J)\) est orthogonal et que \(OI = OJ\) alors le repère est dit orthonormé.

 

Définition 2 : On considère le repère \((O;I,J)\).

 

  • Le point \(O\) est appelé l’origine du repère.
  • La droite \((OI)\) est appelé l’axe des abscisses. La longueur \(OI\) est la longueur unité de cet axe.
  • La droite \((OJ)\) est appelé l’axe des ordonnées. La longueur \(OJ\) est la longueur unité de cet axe.

2nd - cours - repérage dans le plan - fig1 \(\quad\)2nd - cours - repérage dans le plan - fig1bis

Remarque 1 : Puisque la longueur \(OI\) est la longueur unité de l’axe des abscisse, cela signifie donc que \(OI = 1\). C’est évidemment valable pour les autres axes.

Remarque 2 : Les axes ne sont pas nécessairement perpendiculaires en général mais le seront très souvent en 2nd.

Définition 3 : Soit \(M\) un point du plan muni d’un repère \((O;I,J)\). On construit le parallélogramme \(OM_xMM_y\) tel que :
  • \(M_x \in (OI)\)
  • \(M_y \in (Oj)\)

On note alors \(x_M = OM_x\) et \(y_M = OM_y\).
Le couple \(\left(x_M,y_M\right)\) est appelé coordonnées du point \(M\).

\(x_M\) est l’abscisse du point \(M\) et \(y_M\) est l’ordonnée du point \(M\). Le couple ainsi défini est unique.

2nd - cours - repérage dans le plan - fig2

Exemple :

2nd - cours - repérage dans le plan - fig3

Les coordonnées de :

  • \(A\) sont \((4;2)\) et on note \(A(4;2)\)
  • \(B\) sont \((-2;1)\) et on note \(B(-2;1)\)
  • \(C\) sont \((1;-2)\) et on note \(C(1;-2)\)
  • \(D\) sont \((-1;-3)\) et on note \(D(-1;-3)\)

Remarque1 : La première coordonnée donnée correspond toujours à celle lue sur l’axe des abscisses et la seconde à celle lue sur l’axe des ordonnées.
Ainsi l’abscisse de \(A\) est \(4\) et son ordonnée est \(2\).

Remarque 2 : On a ainsi \(O(0;0)\), \(I(1;0)\) et \(J(0;1)\)

Propriété 1 : On considère deux points \(A\) et \(B\) d’un plan muni d’un repère \((O;I,J)\).
Ces deux points sont confondus si, et seulement si, leurs coordonnées respectives sont égales.

II Milieu d’un segment

Propriété 2 : On considère deux points \(A\left(x_A;y_A\right)\) et \(B\left(x_B;y_B\right)\) du plan muni d’un repère \((O;I,J)\). On appelle \(M\) le milieu du segment \([AB]\).

Les coordonnées de \(M\) sont alors \(\begin{cases} x_M = \dfrac{x_A+x_B}{2} \\\\y_M = \dfrac{y_A+y_B}{2} \end{cases}\).

Exemple 1 : Dans le repère \((O;I,J)\) on considère \(A(4;-1)\) et \(B(1;2)\). Ainsi les coordonnées du milieu \(M\) de \([AB]\) sont :
\(\begin{cases} x_M = \dfrac{4 + 1}{2} = \dfrac{5}{2}\\\\y_M = \dfrac{-1 + 2}{2} = \dfrac{1}{2} \end{cases}\)

2nd - cours - repérage dans le plan - fig4

Exemple 2 : On utilise la formule pour retrouver les coordonnées de \(A\) connaissant celles de \(M\) et de \(B\).

On considère les points \(B(2;-1)\) et \(M(1;3)\) du plan muni d’un repère \((O;I,J)\).
Soit \(A\left(x_A,y_A\right)\) le point du plan tel que \(M\) soit le milieu de \([AB]\).

On a ainsi : \(\begin{cases} x_M = \dfrac{x_A+x_B}{2} \\\\y_M = \dfrac{y_A+y_B}{2} \end{cases}\)

On remplace les coordonnées connues par leur valeurs : \(\begin{cases} 1 = \dfrac{x_A+2}{2} \\\\3 = \dfrac{y_A-1}{2} \end{cases}\)

On résout maintenant chacune des deux équations. Pour cela on multiplie chacun des membres par \(2\).
\(\begin{cases} 2 = x_A + 2 \\\\ 6 = y_A – 1 \end{cases}\)

Par conséquent \(x_A = 0\) et \(y_A = 7\).
Ainsi \(A(0;7)\).

On vérifie sur un repère que les valeurs trouvées sont les bonnes.

2nd - cours - repérage dans le plan - fig5

Remarque 1 : Cette propriété est valable dans tous les repères, pas seulement dans les repères orthonormés.

Remarque 2 : Cette propriété sera très utile pour montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme ou pour déterminer les coordonnées du quatrième sommet d’un parallélogramme connaissant celles des trois autres.

Main méthodeFiche méthode 1 :Montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme

Main méthode Fiche méthode 2 :Déterminer les coordonnées du 4ème sommet d’un parallélogramme

III Longueur d’un segment

Propriété 3 : Dans un plan muni d’un repère orthonormé \((O;I,J)\), on considère les points \(A\left(x_A,y_A\right)\) et \(B\left(x_B,y_B\right)\).
La longueur du segment \([AB]\) est alors définie par \(AB = \sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2 + \left(y_B-y_A\right)^2}\).

2nd - cours - repérage dans le plan - fig6

Exemple : Dans un repère orthonormé \((O;I,J)\) on considère les points \(A(4;-1)\) et \(B(2;3)\).
On a ainsi :
\[\begin{align*} AB^2 &= \left(x_B-x_A\right)^2 + \left(y_B-y_A\right)^2 \\\\
&= (2 – 4)^2 + \left(3 – (-1)\right)^2 \\\\
&= (-2)^2 + 4^2 \\\\
&= 4 + 16 \\\\
&= 20 \\\\
AB &= \sqrt{20}
\end{align*}\]

Remarque 1 : Il est plus « pratique », du fait de l’utilisation de la racine carrée, de calculer tout d’abord \(AB^2\) puis ensuite \(AB\).

Remarque 2 : Cette propriété n’est valable que dans un repère orthonormé.

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