Variations de fonctions

Variations de fonctions

I Généralités

Dans cette partie on considère une fonction \(f\) définie sur un intervalle \(I\) ainsi qu’un repère \((O;I,J)\).

Définition 1 : La fonction \(f\) est dite croissante sur l’intervalle \(I\) si, pour tous réels \(a\) et \(b\) de l’intervalle \(I\) tels que \(a \le b\), on a \(f(a) \le f(b)\).

Remarque : on constate donc que les images des nombres \(a\) et \(b\) sont rangées dans le même ordre que \(a\) et \(b\). Une fonction croissante conserve par conséquent l’ordre.

2nd - cours - variations de fonctions - fig1

Définition 2 : La fonction \(f\) est dite décroissante sur l’intervalle \(I\) si, pour tous réels \(a\) et \(b\) de l’intervalle \(I\) tels que \(a \le b\), on a \(f(a) \ge f(b)\).

Remarque : La fonction \(f\) change donc alors l’ordre.

2nd - cours - variations de fonctions - fig2

 

Définition 3 : On fonction est dite constante sur l’intervalle \(I\) si, pour tous réels \(a\) et \(b\) de l’intervalle \(I\), on a \(f(a) = f(b)\).

Remarque : Cela signifie donc que, sur l’intervalle \(I\), les images de tous réels par la fonction \(f\) sont égales.

2nd - cours - variations de fonctions - fig3

Remarque : On parle souvent de fonction strictement croissante (respectivement strictementdécroissante) sur un intervalle \(I\). Cela signifie que pour tous réels \(a\) et \(b\) de \(I\) tels que \(a \le b\) on a \(f(a) < f(b)\) (respectivement \(f(a) > f(b)\)). On interdit donc que la fonction soit constante sur une partie de l’intervalle.

\(\quad\)

On synthétise les différentes variations d’une fonction sur son ensemble de définition à l’aide d’un tableau de variations.

Exemple :
2nd - cours - variations de fonctions - fig4
Ce tableau nous fournit plusieurs informations :

  • L’ensemble de définition de \(f\) est \(\mathscr{D}_f = ]-\infty;+\infty[\) ou \(\mathbb R\)
  • La fonction \(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty;1[\)
  • La fonction \(f\) est strictement décroissante sur \(]1;+\infty[\)
  • \(f(1) = -4\)

Par convention, on symbolisera la croissance d’une fonction sur un intervalle par une flèche « montante » et la décroissance par une flèche « descendante ». Dans la mesure du possible, on indique également les images des bornes des différents intervalles sur lesquels la fonction \(f\) change de variations.

Définition 4 : On dit qu’une fonction \(f\) est (strictement) monotone sur un intervalle \(I\) si elle soit (strictement) croissante soit (strictement) décroissante sur l’intervalle \(I\).
Définition 5 : On dit que la fonction \(f\) admet un maximum sur l’intervalle \(I\) en \(a\) si pour tout réel \(x\) de \(I\), on a \(f(x) \le f(a)\).

Exemple :

2nd - cours - variations de fonctions - fig5

 

La fonction \(f\) admet pour maximum \(3\); il est atteint pour \(x = 2\).

Définition 6 : On dit que la fonction \(f\) admet un minimum sur l’intervalle \(I\) en \(a\) si pour tout réel \(x\) de \(I\), on a \(f(x) \ge f(a)\).

Exemple :

2nd - cours - variations de fonctions - fig6

La fonction \(f\) admet pour minimum \(-2\); il est atteint pour \(x=4\).

Définition 7 : On dit que la fonction \(f\) admet un extremum sur l’intervalle \(I\), si elle possède un minimum ou un maximum sur cet intervalle.

II Fonctions linéaires et affines

Définition 8 : Une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) est dit affine s’il existe deux réels \(a\) et \(b\) tel que, pour tout réel \(x\), on ait \(f(x) = ax+b\).
Si \(b= 0\) la fonction \(f\) est alors dite linéaire.
Le nombre \(a\) est appelé le coefficient directeur.
Le nombre \(b\) est appelé l’ordonnée à l’origine.

Exemple : La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x) = 3x + 1\) est une fonction affine.

Propriété 1 : La représentation graphique d’une fonction affine dans un repère du plan est une droite.
Propriété 2 : (Réciproque) Dans un repère du plan, toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées est la représentation graphique d’une fonction affine.

Remarque 1 : Le cas des droites parallèles à l’axe des ordonnées sera abordé dans le chapitre sur les équations de droites.

Remarque 2 : La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine du repère.

La représentation graphique de la fonction définie dans l’exemple précédent est :

2nd - cours - variations de fonctions - fig7

Propriété 3 : On considère la fonction affine \(f\), définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x) = ax+b\).
Quel que soit les réels distincts \(u\) et \(v\), on a : \[a = \dfrac{f(u) – f(v)}{u – v}\]

Remarque : Cette propriété permet, connaissant les coordonnées de deux points d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées (ou l’image de deux réels par la fonction \(f\)) de retrouver l’expression algébrique d’une fonction affine.

Exemple : On considère une fonction affine \(f\) telle que \(f(2) = 3\) et \(f(5) = 4\)
La fonction \(f\) est affine. On appelle \(a\) son coefficient directeur.
D’après la propriété précédente on a alors :
\[\begin{align*} a &= \dfrac{f(5) – f(2)}{5 – 2} \\\\
&= \dfrac{4 – 3}{3} \\\\
&= \dfrac{1}{3}
\end{align*}\]

Remarque : On aurait également pu faire le calcul \(\dfrac{f(2) – f(5)}{2 – 5}\). On aurait obtenu la même valeur pour \(a\).

Propriété 4 : Soit \(f\) une fonction affine de coefficient directeur \(a\).
  • Si \(a > 0\) alors la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\)
  • Si \(a = 0\) alors la fonction \(f\) est constante sur \(\mathbb R\)
  • Si \(a < 0\) alors la fonction \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb R\)

 

Remarque : Il y a en fait équivalence entre le signe de \(a\) et les variations de la fonction \(f\).

Preuve Propriété 4

On considère que la fonction affine \(f\) est définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x) = ax + b\) (où \(b\) est un réel).
Soient \(u\) et \(v\) deux réels tels que \(u < v\). Nous allons essayer de comparer \(f(u)\) et \(f(v)\) afin de déterminer le sens de variation de la fonction \(f\). Pour cela nous allons chercher le signe de \(f(u) – f(v)\).
\[\begin{align*} f(u) – f(v) & = (au+b)-(av+b) \\\\
&= au + b-av-b \\\\
&= au-av \\\\
&= a(u-v)
\end{align*}\]
On sait que \(u<v\). Par conséquent \(u-v < 0\).

Ainsi

  • si \(a > 0\) alors \(a(u-v) <0\). Par conséquent \(f(u)-f(v) <0\) soit \(f(u) < f(v)\).
    La fonction \(f\) est donc bien croissante sur \(\mathbb R\).
  • si \(a = 0\) alors \(a(u-v) = 0\). Par conséquent \(f(u)-f(v) = 0\) soit \(f(u) = f(v)\).
    la fonction \(f\) est donc bien constante sur \(\mathbb R\).
  • si \(a<0\) alors \(a(u-v) >0\). Par conséquent \(f(u)-f(v) > 0\) soit \(f(u) > f(v)\).
    La fonction \(f\) est donc bien décroissante sur \(\mathbb R\).

 

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Exemple :

2nd - cours - variations de fonctions - fig8

 

Exemples d’étude de signes de fonctions affines :

  • On considère la fonction affine \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x) = 3x-2\).
    On cherche tout d’abord à résoudre
    \(\begin{align*} f(x) = 0 &\Leftrightarrow 3x-2 = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow 3x = 2 \\\\
    & \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}
    \end{align*}\)
    On cherche maintenant les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x) > 0\).
    \(\begin{align*} f(x) > 0 &\Leftrightarrow 3x-2 > 0 \\\\
    & \Leftrightarrow 3x > 2 \\\\
    & \Leftrightarrow x > \dfrac{2}{3}
    \end{align*}\)
    On est donc maintenant en mesure d’établir le tableau de signes suivant :
    2nd - cours - variations de fonctions - fig9
  • On considère la fonction affine \(g\) définie sur \(\mathbb R\) par \(g(x) = -2x-4\).
    On cherche tout d’abord à résoudre
    \(\begin{align*} g(x) = 0 &\Leftrightarrow -2x-4 = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow -2x = 4 \\\\
    & \Leftrightarrow x = \dfrac{4}{-2} \\\\
    & \Leftrightarrow x= -2
    \end{align*}\)
    On cherche maintenant les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(g(x) > 0\).
    \(\begin{align*} g(x) > 0 &\Leftrightarrow -2x-4 > 0 \\\\
    & \Leftrightarrow -2x > 4 \\\\
    & \Leftrightarrow x \color{red}{<} \dfrac{4}{-2} \quad \color{red}{\text{car } -2<0}\\\\
    & \Leftrightarrow x< -2
    \end{align*}\)
    On est donc maintenant en mesure d’établir le tableau de signes suivant :
    2nd - cours - variations de fonctions - fig10

 

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