Intervalles et généralités sur les fonctions

Intervalles et généralités sur les fonctions

I Intervalles

Définition 1 : On appelle ensemble des nombres réels, noté \(\mathbb R\), est l’ensemble des nombres qui sont soit entiers, soit avec une partie décimale finie ou soit avec une partie décimale infinie.

Exemple : \(-2,75\); \(-\dfrac{1}{3}\); \(0\); \(\sqrt{2}\); \(\pi\); \(10\) sont des nombres réels.

\(\quad\)

Il existe d’autres ensembles de nombres. Voici la liste des plus connus et utiles :

  • Les entiers naturels (\(\mathbb N\)) : Exemple : \(0;1;5;123;\ldots\)
  • Les entiers relatifs (\(\mathbb Z\)) : Exemple : \(\ldots;-5;-2;0;1;6;\ldots\). Il contient l’ensemble \(\mathbb N\).
  • Les nombres décimaux (\(\mathbb D\)) : Exemple : \(\ldots; -4,25;-2;0;1,728;7;\ldots\). Il contient l’ensemble \(\mathbb Z\).
  • http://casedesmaths.net/images/3.2nde/cours/
  • Les nombres rationnels (\(\mathbb Q\)) : Exemple : \(\ldots; -\dfrac{10}{3};-2,12;0;3;\dfrac{127}{4};\ldots\). Il contient l’ensemble \(\mathbb D\) et il est contenu dans \(\mathbb R\).

On obtient ainsi la chaîne d’inclusions suivante : \(\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb D \subset \mathbb Q \subset \mathbb R\)

Définition 2 : On considère deux nombres réels \(a\) et \(b\) tels que \(a < b\).
On appelle intervalle ouvert \(]a;b[\) l’ensemble des réels \(x\) tels que \(a < x < b\).
On appelle intervalle fermé \([a;b]\) l’ensemble des réels \(x\) tels que \(a \le x \le b\).

Exemple :

  • \(]1;2[\) est l’ensemble des nombres réels compris entre \(1\) et \(2\), tous les deux exclus.
  • \([-2;7]\) est l’ensemble des nombres réels compris entre \(-2\) et \(7\), tous les deux inclus.

\(\quad\)

Remarque : On peut ouvrir un intervalle d’un côté et le fermer de l’autre. Ainsi :
\(\quad\) \([a;b[\) est l’ensemble des réels \(x\) tels que \(a \le x < b\)
\(\quad\) \(]a;b]\) est l’ensemble des réels \(x\) tels que \(a < x \le b\)

On veut pouvoir définir sous la forme d’intervalle des inégalités de la forme \(2 \le x\) ou \(x < 3\). Pour cela on va utiliser les symboles \(+\infty\), qui se lit « plus l’infini », et \(-\infty\), qui se lit « moins l’infini ».

Définition 3 : Soit \(a\) un nombre réel.
\(\quad\) \(]-\infty;a[\) est l’ensemble des réels \(x\) vérifiant \(x<a\).
\(\quad\) \(]-\infty;a]\) est l’ensemble des réels \(x\) vérifiant \(x\le a\).
\(\quad\) \(]a;+\infty[\) est l’ensemble des réels \(x\) vérifiant \(a<x\).
\(\quad\) \([a;+\infty[\) est l’ensemble des réels \(x\) vérifiant \(a \le x\).

Remarque : L’intervalle est toujours ouvert du côté des symboles \(\pm \infty\).

En plus de pouvoir écrire des intervalles sous la forme d’inégalités on peut également les représenter graphiquement :

\([-2;1[\) peut être représenté par2nd - cours - intervalles - fig1
\(]4;+\infty[\) peut être représenté par 2nd - cours - intervalles - fig2

Remarque : On a les notations suivantes :

  • \(\mathbb R = ]-\infty;+\infty[\)
  • \(\mathbb R^* = ]-\infty;0[ \cup ]0;+\infty[ = \mathbb R \setminus\lbrace 0\rbrace\) (ou \(\cup\) signifie « union »)
  • \(\mathbb R_+ = [0;+\infty[\)
  • \(\mathbb R_-=]-\infty;0]\)

II Vocabulaire sur les fonctions

Définition 4 : Soit \(\mathscr{D}\) une partie de \(\mathbb R\). Définir une fonction \(f\) sur un ensemble \(\mathscr{D}\) revient à associer à chacun des réels \(x\) de \(\mathscr{D}\) un unique réel \(y\).
L’ensemble \(\mathscr{D}\) est appelé ensemble de définition de la fonction \(f\).
Le réel \(y\) est l’image du nombre \(x\) par la fonction \(f\) et on note alors \(y= f(x)\), qui se lit « \(f\) de \(x\) ».

D’une manière plus synthétique la fonction est parfois définie de la façon suivante :
\[\begin{align*} f:& \mathscr{D} \to \mathbb R \\& x \mapsto f(x) \end{align*}\]

Remarque : Le nombre \(x\) est appelé la variable de la fonction.
L’ensemble de définition est l’ensemble des réels \(x\) pour lesquels \(f(x)\) existe. Il est parfois noté \(\mathscr{D}_f\).

Exemple 1 : On considère la fonction \(f\) définie pour tous les réels qui a tout nombre associe sa moitié.
On a ainsi : \(\mathscr{D}_f = \mathbb R\) et \(f(x) = \dfrac{x}{2}\).

Exemple 2 : On considère la fonction \(g\) qui a tout nombre positif associe sa racine carrée.
On a ainsi \(\mathscr{D}_g = [0;+\infty[\) et \(f(x) = \sqrt{x}\).
Cette fonction sera étudiée en classe de première.

Exemple 3 : Soit \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) telle que \(f(x) = x^2 + 2x\).
L’image de \(1\) est \(h(1) = 1^2 + 2 \times 1 = 1 + 2 = 3\)
L’image de \(-3\) est \(h(-3) = (-3)^2 + 2 \times (-3) = 9 – 6 = 3\)
Les réels \(1\) et \(-3\) ont donc la même image par la fonction \(h\).

Remarque : La définition 4 précise bien qu’un réel ne peut pas avoir plusieurs images par une même fonction. En revanche, comme on vient de la constater, plusieurs réels peuvent avoir la même image.

Définition 5 : On considère une fonction \(f\) définie sur un ensemble \(\mathscr{D}_f\) et \(a\) un réel appartenant à \(\mathscr{D}_f\). On appelle \(b\) l’image de \(a\) par la fonction \(f\). On a donc \(f(a) = b\).
On dit alors que \(a\) est un antécédent de \(b\) par la fonction \(f\).

Ainsi dans l’exemple 3, \(1\) et \(-3\) sont deux antécédents de \(3\).

Défintion 6 : On considère une fonction \(f\) définie sur \(\mathscr{D}_f\). Dans le plan muni d’un repère, on appelle courbe représentative de la fonction \(f\), souvent notée \(\mathscr{C}_f\) l’ensemble des points \(M\) d coordonnées \(\left(x;f(x)\right)\) pour tout \(x \in \mathscr{D}_f\).

On dit alors qu’une équation de la courbe \(\mathscr{C}_f\) est \(y = f(x)\).

2nd - cours - intervalles - fig 3.1

Sur cet exemple, le point \(A(-4;0)\) appartient à la représentation graphique de \(f\).

III Exemples de modélisation d’une fonction

Voici quelques façons de définir une fonction. Cette liste n’est pas exhaustive.

  • A l’aide d’une courbe
    2nd - cours - intervalles - fig 4.1

    L’ensemble de définition de la fonction \(f\) est \(\mathscr{D}_f = [0;13]\).
    L’image de \(6\) par la fonction \(f\) est \(2\).
    Un antécédente de \(4\) par la fonction \(f\) est \(4\).
  • A l’aide d’un tableau de valeurs\[\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x & 1 & 2& 3& 4& 5 \\
    \hline
    f(x) & \phantom{-}0 & \phantom{-}1 & -2 & \phantom{-}4 & \phantom{-}8\\
    \hline
    \end{array}\]
    L’ensemble de définition de la fonction \(f\) est \(\mathscr{D}_f = \lbrace 1;2;3;4;5\rbrace\).
    L’image de \(2\) par la fonction \(f\) est \(1\).
    Un antécédente de \(-2\) par la fonction \(f\) est \(3\).
  • A l’aide d’une expression algébrique
    La fonction \(f\) est définie sur \([-2;5]\) par \(f(x) = 2x^2 -3x\).
    Son ensemble de définition est \(\mathscr{D}_f = [-2;5]\).
    L’image de \(1\) par la fonction \(f\) est \(2 \times 1^2 – 3 \times 1 = -1\).
    Un antécédent de \(-1\) par la fonction \(f\) est \(1\).

IV Résolution graphique d’équations

  • Équation \(f(x) = k\)
    On trace la courbe \(\mathscr{C}_f\) et la droite d’équation \(y=k\).
    2nd - cours - intervalles - fig5.1

    On relève ensuite tous les points d’intersection de ces deux courbes.
    On lit enfin les abscisses ces points qui sont les solutions de l’équation \(f(x)=k\).
  • Équation \(f(x) = g(x)\)
    On trace les deux courbes \(\mathscr{C}_f\) et \(\mathscr{C}_g\).
    2nd - cours - intervalles - fig 6
    On relève ensuite tous les points d’intersection de ces deux courbes.
    On lit enfin les abscisses de ces points qui sont les solutions de l’équation \(f(x)=g(x)\).

Remarque : On résout selon le même principe des inéquations du type \(f(x) < g(x)\), en indiquant sous forme d’intervalle ou d’ensemble de nombres, les abscisses des points de la courbe \(\mathscr{C}_f\) sont situés en-dessous des points de la courbe \(\mathscr{C}_g\).

 

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