Baccalauréat S Amérique du Sud 22 novembre 2016 : Spécialité

oui
S
Année 2016
Amérique du Sud
Spécialité
Arithmétique

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Les entiers naturels 1, 11, 111, 1111 , \(\ldots\) sont des rep-units. On appelle ainsi les entiers naturels ne s'écrivant qu'avec des 1. Pour tout entier naturel \(p\) non nul, on note \(N_p\) le rep-unit s'écrivant avec \(p\) fois le chiffre 1 : \[N_p = \underbrace{11 \ldots 1}_{\begin{array}{c}\tiny p {} \text{répétitions} \\ \tiny \text{du chiffre }1 \end{array}} = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=p-1} 10^k.\]Dans tout l'exercice, \(p\) désigne un entier naturel non nul. L'objet de cet exercice est d'étudier quelques propriétés des rep-units.

Partie A : divisibilité des rep-units dans quelques cas particuliers


  1. Montrer que \(N_p\) n'est divisible ni par 2 ni par 5.
  2. Dans cette question, on étudie la divisibilité de \(N_p\) par 3.
    1. Prouver que, pour tout entier naturel \(j\), \(10^j \equiv 1 \:\:\text{mod } 3\).
    2. En déduire que \(N_p \equiv p \:\:\text{mod } 3\).
    3. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le rep-unit \(N_p\) soit divisible par 3.
  3. Dans cette question, on étudie la divisibilité de \(N_p\) par \(7\).
    1. Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous, où \(a\) est l'unique entier relatif appartenant à \(\{-3~;~-2~;~- 1~;~0~;~1~;~2~;~3\}\) tel que \(10^m \equiv a \:\:\text{mod}\: \:7\).
      On ne demande pas de justification. \[\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline m &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline a & & & & & & &\\ \hline \end{array}\]
    2. Soit \(p\) un entier naturel non nul. Montrer que \(10^p \equiv 1 \:\:\text{mod}\: 7\) si et seulement si \(p\) est un multiple de \(6\).
      On pourra utiliser la division euclidienne de \(p\) par \(6\).
    3. Justifier que, pour tout entier nature \(p\) non nul, \(N_p = \dfrac{10^p - 1}{9}\).
    4. Démontrer que « 7 divise \(N_p\) » est équivalent à « 7 divise \(9N_p\) ».
    5. En déduire que \(N_p\) est divisible par 7 si et seulement si \(p\) est un multiple de 6.

Partie B : un rep-unit strictement supérieur à 1 n'est jamais un carré parfait


  1. Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\). On suppose que l'écriture décimale de \(n^2\) se termine par le chiffre 1, c'est-à-dire \(n^2 \equiv 1 \:\:\text{mod}\: 10\).
    1. Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous. \[ \begin{array}{| c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n \equiv \ldots \ \ [10] & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 &5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline n^2 \equiv \ldots \ \ [10] &&&&&&&&&&\\ \hline \end{array} \]
    2. En déduire qu'il existe un entier naturel \(m\) tel que: \(n = 10m + 1\) ou \(n = 10m - 1\).
    3. Conclure que \(n^2 \equiv 1 \:\: \text{mod}\: 20\).
  2. Soit \(p\) un entier naturel supérieur ou égal à 2. Quel est le reste de la division euclidienne de \(N_p\) par 20 ?
  3. En déduire que, pour \(p\) entier naturel supérieur ou égal à 2, le rep-unit \(N_p\) n'est pas le carré d'un entier.

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Les entiers naturels 1, 11, 111, 1111 , \(\ldots\) sont des rep-units. On appelle ainsi les entiers naturels ne s'écrivant qu'avec des 1. Pour tout entier naturel \(p\) non nul, on note \(N_p\) le rep-unit s'écrivant avec \(p\) fois le chiffre 1 : \[N_p = \underbrace{11 \ldots 1}_{\begin{array}{c}\tiny p {} \text{répétitions} \\ \tiny \text{du chiffre }1 \end{array}} = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=p-1} 10^k.\]Dans tout l'exercice, \(p\) désigne un entier naturel non nul. L'objet de cet exercice est d'étudier quelques propriétés des rep-units.

Partie A : divisibilité des rep-units dans quelques cas particuliers

 

  1. Montrer que \(N_p\) n'est divisible ni par 2 ni par 5.
  2. Le chiffre des unités de \(N_p\) est \(1\).
    Un nombre est divisible par \(2\) si son chiffre des unités est pair.
    Un nombre est divisible par \(5\) si son chiffre des unités est \(0\) ou \(5\).
    Par conséquent \(N_p\) n’est divisible ni par \(2\) ni par \(5\).
  3. Dans cette question, on étudie la divisibilité de \(N_p\) par 3.
    1. Prouver que, pour tout entier naturel \(j\), \(10^j \equiv 1 \:\:\text{mod } 3\).
    2. \(10\equiv 1\) mod \(3\) donc pour tout entier naturel \(j\) on a \(10^j \equiv 1\) mod \(3\).
      \(\quad\)
    3. En déduire que \(N_p \equiv p \:\:\text{mod } 3\).
    4. \(\displaystyle \sum_{k=0}^{k=p-1} 10^k \equiv \sum_{k=0}^{k=p-1} 1\) mod \(3\) \(\equiv p\) mod \(3\).
      \(\quad\)
    5. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le rep-unit \(N_p\) soit divisible par 3.
    6. \(N_p\) est divisible par \(3\) si, et seulement si, \(p\) mod \(3 = 0\) c’est-à-dire si, et seulement si, \(p\) est un multiple de \(3\).
  4. Dans cette question, on étudie la divisibilité de \(N_p\) par \(7\).
    1. Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous, où \(a\) est l'unique entier relatif appartenant à \(\{-3~;~-2~;~- 1~;~0~;~1~;~2~;~3\}\) tel que \(10^m \equiv a \:\:\text{mod}\: \:7\).
      On ne demande pas de justification. \[\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline m &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline a & & & & & & &\\ \hline \end{array}\]
    2. \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline m&0&1&2&3&4&5&6 \\ \hline a&1&3&2&-1&-3&-2&1\\ \hline \end{array}\]
      \(\quad\)
    3. Soit \(p\) un entier naturel non nul. Montrer que \(10^p \equiv 1 \:\:\text{mod}\: 7\) si et seulement si \(p\) est un multiple de \(6\).
      On pourra utiliser la division euclidienne de \(p\) par \(6\).

    4. On a \(p=6q+r\) ou \(q\) est un entier relatif et \(q\) un entier naturel strictement inférieur à \(6\).
      Ainsi \(10^p=\left(10^6\right)^q\times 10^r \equiv 1^q\times 10^r\) mod \(7\).
      D’après le tableau précédent \(10^p\equiv 1\) mod \(7\) si, et seulement si, \(p=0\) ou \(p=6\).
      Ainsi \(10^p \equiv 1\) mod \(7\) si, et seulement si, \(r=0\) c’est-à-dire si, et seulement si, \(p\) est un multiple de \(6\).
      \(\quad\)
    5. Justifier que, pour tout entier nature \(p\) non nul, \(N_p = \dfrac{10^p - 1}{9}\).
    6. Pour tout entier naturel \(p\) non nul, \(N_p\) est la somme des \(p\) premiers termes de la suite géométrique de premier terme \(1\) et de raison \(10\).
      Ainsi \(N_p=\dfrac{1-10^p}{1-10}=\dfrac{10^p-1}{9}\).
      \(\quad\)
    7. Démontrer que « 7 divise \(N_p\) » est équivalent à « 7 divise \(9N_p\) ».
    8. \(7\) et \(9\) sont premiers entre eux donc, d’après le théorème de Gauss, \(7\) divise \(N_p\) est équivalent à \(7\) divise \(9N_p\).
      \(\quad\)
    9. En déduire que \(N_p\) est divisible par 7 si et seulement si \(p\) est un multiple de 6.
    10. \(\begin{align*} N_p \equiv 0 \text{ mod } 7&\iff 9N_p\equiv 0 \text{ mod } 7 \\ &\iff 10^p-1 \equiv 0 \text{ mod } 7 \\ &\iff 10^p \equiv 1 \text{ mod } 7\\ &\iff p \equiv 0 \text{ mod } 6
      \end{align*}\)
      Donc \(N_p\) est divisible par \(7\) si, et seulement si, \(p\) est un multiple de \(6\).

 

Partie B : un rep-unit strictement supérieur à 1 n'est jamais un carré parfait

 

  1. Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\). On suppose que l'écriture décimale de \(n^2\) se termine par le chiffre 1, c'est-à-dire \(n^2 \equiv 1 \:\:\text{mod}\: 10\).
    1. Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous. \[ \begin{array}{| c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n \equiv \ldots \ \ [10] & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 &5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline n^2 \equiv \ldots \ \ [10] &&&&&&&&&&\\ \hline \end{array} \]
    2. \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
      n\equiv \ldots ~[10]&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9 \\ \hline n^2=\ldots ~[10]&0&1&4&9&6&5&6&9&4&1\\ \hline \end{array}\]
    3. En déduire qu'il existe un entier naturel \(m\) tel que: \(n = 10m + 1\) ou \(n = 10m - 1\).
    4. Le chiffre des unités de \(n^2\) se termine par le chiffre \(1\) si, et seulement si, le chiffre des unités de \(n\) se termine par \(1\) ou par \(9\).
      Or \(9\equiv -1\) mod \(10\)
      Cela signifie donc qu’il existe un entier naturel \(m\) tel que \(n=10m+1\) ou \(n=10m-1\).
    5. Conclure que \(n^2 \equiv 1 \:\: \text{mod}\: 20\).
    6. Si \(n=10m+1\) alors \(n^2=100m^2+20m+1 \equiv 1\) mod \(20\).
      Si \(n=10m-1\) alors \(n^2=100m^2-20m+1\equiv 1\) mod \(20\).
      Dans tous les cas \(n^2\equiv 1\) mod \(20\).
      \(\quad\)
  2. Soit \(p\) un entier naturel supérieur ou égal à 2. Quel est le reste de la division euclidienne de \(N_p\) par 20 ?
  3. Si \(n\geq 2\) alors \(N_p=\underbrace{11\ldots 1}_{p-2 \text{ fois}}00+11=100\displaystyle \sum_{k=2}^{k=p-1}10^{k-2}+11 \equiv 11\) mod \(20\)
    \(\quad\)
  4. En déduire que, pour \(p\) entier naturel supérieur ou égal à 2, le rep-unit \(N_p\) n'est pas le carré d'un entier.
  5. D’après la question B.1.c. si \(n^2 \equiv 1\) mod \(10\) alors \(n^2 \equiv 1\) mod \(20\).
    Or \(N_p\equiv 1\) mod \(10\) et \(N_p \equiv 11\) mod \(20\).
    Donc \(N_p\) n’est pas le carré d’un entier.
 

ImprimerE-mail

Statistiques

Visiteurs
173
Articles
1392
Compteur d'affichages des articles
8118565