Bac S 2014 Pondichéry Spécialité

oui
S
Année 2014
Pondichéry
Spécialité
 

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Chaque jeune parent utilise chaque mois une seule marque de petits pots pour bébé. Trois marques X, Y et Z se partagent le marché. Soit \(n\) un entier naturel.

  • On note : \(X_{n}\) l'évènement « la marque X est utilisée le mois \(n\) »,
  • \(Y_{n}\) l'évènement « la marque Y est utilisée le mois \(n\) »,
  • \(Z_{n}\) l'évènement « la marque Z est utilisée le mois \(n\) ».

Les probabilités des évènements \(X_{n}, Y_{n}, Z_{n}\) sont notées respectivement \(x_{n}, y_{n}, z_{n}\). La campagne publicitaire de chaque marque fait évoluer la répartition. Un acheteur de la marque X le mois \(n\), a le mois suivant :

  • 50 % de chance de rester fidèle à cette marque,
  • 40 % de chance d'acheter la marque Y,
  • 10 % de chance d'acheter la marque Z.

Un acheteur de la marque Y le mois \(n\), a le mois suivant :

  • 30 % de chance de rester fidèle à cette marque,
  • 50 % de chance d'acheter la marque X,
  • 20 % de chance d'acheter la marque Z.

Un acheteur de la marque Z le mois \(n\), a le mois suivant :

  • 70 % de chance de rester fidèle à cette marque,
  • 10 % de chance d'acheter la marque X,
  • 20 % de chance d'acheter la marque Y.
    1. Exprimer \(x_{n+1}\) en fonction de \(x_{n}, y_{n}\) et \(z_{n}\). On admet que : \(y_{n+1} = 0,4x_{n} + 0,3y_{n} + 0,2z_{n}\) et que \(z_{n+1} = 0,1x_{n} + 0,2y_{n} + 0,7 z_{n}\).
    2. Exprimer \(z_{n}\) en fonction de \(x_{n}\) et \(y_{n}\). En déduire l'expression de \(x_{n+1}\) et \(y_{n+1}\) en fonction de \(x_{n}\) et \(y_{n}\).
  1. On définit la suite \(\left(U_{n}\right)\) par \(U_{n} = \begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}\) pour tout entier naturel \(n\).On admet que, pour tout entier naturel \(n,\: U_{n+1} = A \times U_{n} + B\) où \(A = \begin{pmatrix}0,4&0,4\\0,2&0,1\end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix}0,1\\0,2\end{pmatrix}\). Au début de l'étude statistique (mois de janvier 2014 : \(n = 0\)), on estime que \(U_{0} = \begin{pmatrix}0,5\\0,3\end{pmatrix}\). On considère l'algorithme suivant : \[\begin{array}{|c|c|}\hline \text{ Variables }& n \text{ et } i \text{ des entiers naturels.}\\ &A, B \text{ et } U \text{ des matrices }\\ \hline \text{Entrée et initialisation }& \text{ Demander la valeur de } n \\ &i \text{ prend la valeur 0}\\ &A \text{ prend la valeur } \begin{pmatrix}0,4&0,4\\0,2&0,1\end{pmatrix}\\ &B \text{ prend la valeur } \begin{pmatrix}0,1\\0,2\end{pmatrix}\\ &U \text{ prend la valeur } \begin{pmatrix}0,5\\0,3\end{pmatrix}\\ \hline \text{ Traitement } & \text{Tant que } i < n\\ &U \text{ prend la valeur } A \times U + B\\ &i \text{ prend la valeur } i + 1\\ &\text{ Fin de Tant que } \\ \hline \text{ Sortie } & \text{ Afficher } U\\ \hline \end{array}\]
    1. Donner les résultats affichés par cet algorithme pour \(n = 1\) puis pour \(n = 3\).
    2. Quelle est la probabilité d'utiliser la marque X au mois d'avril ?
    3. Dans la suite de l'exercice, on cherche à déterminer une expression de \(U_{n}\) en fonction de \(n\). On note \(I\) la matrice \(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) et \(N\) la matrice \(I - A\).
  2. On désigne par \(C\) une matrice colonne à deux lignes.
    1. Démontrer que \(C = A \times C + B\) équivaut à \(N \times C = B\).
    2. On admet que \(N\) est une matrice inversible et que \(N^{-1} = \begin{pmatrix}\dfrac{45}{23}&\dfrac{20}{23}\\[8pt] \dfrac{10}{23}&\dfrac{30}{23}\end{pmatrix}\). En déduire que \(C = \begin{pmatrix}\dfrac{17}{46}\\[8pt] \dfrac{7}{23}\end{pmatrix}\).
  3. On note \(V_{n}\) la matrice telle que \(V_{n} = U_{n} - C\) pour tout entier naturel \(n\).
    1. Montrer que, pour tout entier naturel \(n,\: V_{n+1} = A \times V_{n}\).
    2. On admet que \(U_{n} = A^n \times \left(U_{0} - C\right) + C\). Quelles sont les probabilités d'utiliser les marques X, Y et Z au mois de mai ?

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Chaque jeune parent utilise chaque mois une seule marque de petits pots pour bébé. Trois marques X, Y et Z se partagent le marché. Soit \(n\) un entier naturel.
  • On note : \(X_{n}\) l'évènement « la marque X est utilisée le mois \(n\) »,
  • \(Y_{n}\) l'évènement « la marque Y est utilisée le mois \(n\) »,
  • \(Z_{n}\) l'évènement « la marque Z est utilisée le mois \(n\) ».

Les probabilités des évènements \(X_{n}, Y_{n}, Z_{n}\) sont notées respectivement \(x_{n}, y_{n}, z_{n}\). La campagne publicitaire de chaque marque fait évoluer la répartition. Un acheteur de la marque X le mois \(n\), a le mois suivant :

  • 50 % de chance de rester fidèle à cette marque,
  • 40 % de chance d'acheter la marque Y,
  • 10 % de chance d'acheter la marque Z.

Un acheteur de la marque Y le mois \(n\), a le mois suivant :

  • 30 % de chance de rester fidèle à cette marque,
  • 50 % de chance d'acheter la marque X,
  • 20 % de chance d'acheter la marque Z.

Un acheteur de la marque Z le mois \(n\), a le mois suivant :

  • 70 % de chance de rester fidèle à cette marque,
  • 10 % de chance d'acheter la marque X,
  • 20 % de chance d'acheter la marque Y.
    1. Exprimer \(x_{n+1}\) en fonction de \(x_{n}, y_{n}\) et \(z_{n}\). On admet que : \(y_{n+1} = 0,4x_{n} + 0,3y_{n} + 0,2z_{n}\) et que \(z_{n+1} = 0,1x_{n} + 0,2y_{n} + 0,7 z_{n}\).
    2. Exprimer \(z_{n}\) en fonction de \(x_{n}\) et \(y_{n}\). En déduire l'expression de \(x_{n+1}\) et \(y_{n+1}\) en fonction de \(x_{n}\) et \(y_{n}\).
  1. On définit la suite \(\left(U_{n}\right)\) par \(U_{n} = \begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}\) pour tout entier naturel \(n\).On admet que, pour tout entier naturel \(n,\: U_{n+1} = A \times U_{n} + B\) où \(A = \begin{pmatrix}0,4&0,4\\0,2&0,1\end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix}0,1\\0,2\end{pmatrix}\). Au début de l'étude statistique (mois de janvier 2014 : \(n = 0\)), on estime que \(U_{0} = \begin{pmatrix}0,5\\0,3\end{pmatrix}\). On considère l'algorithme suivant : \[\begin{array}{|c|c|}\hline \text{ Variables }& n \text{ et } i \text{ des entiers naturels.}\\ &A, B \text{ et } U \text{ des matrices }\\ \hline \text{Entrée et initialisation }& \text{ Demander la valeur de } n \\ &i \text{ prend la valeur 0}\\ &A \text{ prend la valeur } \begin{pmatrix}0,4&0,4\\0,2&0,1\end{pmatrix}\\ &B \text{ prend la valeur } \begin{pmatrix}0,1\\0,2\end{pmatrix}\\ &U \text{ prend la valeur } \begin{pmatrix}0,5\\0,3\end{pmatrix}\\ \hline \text{ Traitement } & \text{Tant que } i < n\\ &U \text{ prend la valeur } A \times U + B\\ &i \text{ prend la valeur } i + 1\\ &\text{ Fin de Tant que } \\ \hline \text{ Sortie } & \text{ Afficher } U\\ \hline \end{array}\]
    1. Donner les résultats affichés par cet algorithme pour \(n = 1\) puis pour \(n = 3\).
    2. Quelle est la probabilité d'utiliser la marque X au mois d'avril ?
    3. Dans la suite de l'exercice, on cherche à déterminer une expression de \(U_{n}\) en fonction de \(n\). On note \(I\) la matrice \(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) et \(N\) la matrice \(I - A\).
  2. On désigne par \(C\) une matrice colonne à deux lignes.
    1. Démontrer que \(C = A \times C + B\) équivaut à \(N \times C = B\).
    2. On admet que \(N\) est une matrice inversible et que \(N^{-1} = \begin{pmatrix}\dfrac{45}{23}&\dfrac{20}{23}\\[8pt] \dfrac{10}{23}&\dfrac{30}{23}\end{pmatrix}\). En déduire que \(C = \begin{pmatrix}\dfrac{17}{46}\\[8pt] \dfrac{7}{23}\end{pmatrix}\).
  3. On note \(V_{n}\) la matrice telle que \(V_{n} = U_{n} - C\) pour tout entier naturel \(n\).
    1. Montrer que, pour tout entier naturel \(n,\: V_{n+1} = A \times V_{n}\).
    2. On admet que \(U_{n} = A^n \times \left(U_{0} - C\right) + C\). Quelles sont les probabilités d'utiliser les marques X, Y et Z au mois de mai ?

 

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