Baccalauréat S Asie 23 juin 2016 : Spécialité

oui
S
Année 2016
Asie
Spécialité
Arithmétique

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Cette matrice est connue seulement de l'émetteur et du destinataire.
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes

Partie A : quelques résultats

 

  1. On considère l'équation \((E) : \: 9d - 26m = 1\), où \(d\) et \(m\) désignent deux entiers relatifs.
    1. Donner une solution simple de cette équation, de sorte que \(d\) et \(m\) soient des nombres entiers compris entre \(0\) et \(3\).
    2. Démontrer que le couple \((d,\: m)\) est solution de l'équation \((E)\) si et seulement si : \[9 (d - 3) = 26 ( m - 1).\]
    3. En déduire que les solutions de l'équation \((E)\) sont les nombres entiers relatifs de la forme : \[\left\{\begin{array}{l c l} d &=&26k+3\\ m&=&9k+1 \end{array}\right. ,\:\quad \text{avec }\:k \in \mathbb Z.\]
    1. Soit \(n\) un nombre entier. Démontrer que si \(n = 26 k - 1\), avec \(k\) entier relatif, alors \(n\) et \(26\) sont premiers entre eux.
    2. En déduire que les nombres \(9d - 28\), avec \(d = 26k + 3\) et \(k \in \mathbb Z\), sont premiers avec \(26\).

 

Partie B : cryptage et décryptage


On considère la matrice \(A = \begin{pmatrix}9&4\\7&3\end{pmatrix}\). On utilisera le tableau suivant pour la correspondance entre les lettres et les nombres. \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M\\ \hline 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline\hline N&O&P& Q& R& S& T& U& V& W& X&Y& Z\\ \hline 13&14& 15& 16& 17& 18& 19& 20& 21& 22& 23& 24 & 25\\ \hline \end{array} \]

Méthode de cryptage (pour un mot comportant un nombre pair de lettres) Exemple : avec le mot MATH
1 . On regroupe les lettres par paires. \(\text{MA }\quad \text{TH}\)
2.On remplace les lettres par les valeurs associées à l'aide du tableau précédent, et on place les couples de nombres obtenus dans des matrices colonne. \(C_1 = \begin{pmatrix}12\\0\end{pmatrix}\) \(C_2 = \begin{pmatrix}19\\7\end{pmatrix}\)
3.On multiplie les matrices colonne par la gauche par la matrice \(A = \begin{pmatrix}9&4\\7&3\end{pmatrix}\) \(AC_1 = \begin{pmatrix} 108\\84\end{pmatrix}\) \(AC_2 = \begin{pmatrix} 199\\ 154\end{pmatrix}\)
4.On remplace chaque coefficient des matrices colonne obtenues par leur reste dans la division euclidienne par 26. \(108 = 4\times 26 + 4\) \(84= 3 \times 26 + 6\)
On obtient : \(\begin{pmatrix} 4\\6\end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix} 17\\24\end{pmatrix}\)
5. On utilise le tableau de correspondance entre lettres et nombres pour obtenir le mot crypté. EGRY
  1. En cryptant par cette méthode le mot « PION », on obtient « LZWH ». En détaillant les étapes pour les lettres « ES », crypter le mot « ESPION ».
  2. Méthode de décryptage


    Notation :

    lorsqu'on manipule des matrices de nombres entiers relatifs, on peut utiliser la notation » \(\equiv\) « pour parler de congruence coefficient par coefficient. Par exemple, on peut écrire : \[\begin{pmatrix}108\\84\end{pmatrix}\equiv\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}\: \text{modulo } 26 \text{ car }\:108 \equiv 4 \text{ modulo } 26 \text{ et }\: 84 \equiv 6 \text{ modulo } 26.\]Soient \(a\), \(b\), \(x\), \(y\), \(x’\) et \(y’\) des nombres entiers relatifs. On sait que si \(x \equiv x’\) modulo \(26\) et \(y \equiv y’\) modulo \(26\) alors : \(ax + by \equiv ax' + by’\) modulo \(26\). Ce résultat permet d'écrire que, si \(A\) est une matrice \(2 \times 2\), et \(B\) et \(C\) sont deux matrices colonne \(2 \times 1\), alors: \[B \equiv C \text{ modulo } 26 \text{ implique } AB \equiv AC \text{ modulo } 26. \]
    1. Établir que la matrice \(A\) est inversible, et déterminer son inverse.
    2. Décrypter le mot : XQGY.
 
 

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Cette matrice est connue seulement de l'émetteur et du destinataire.
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes

Partie A : quelques résultats

 

  1. On considère l'équation \((E) : \: 9d - 26m = 1\), où \(d\) et \(m\) désignent deux entiers relatifs.
    1. Donner une solution simple de cette équation, de sorte que \(d\) et \(m\) soient des nombres entiers compris entre \(0\) et \(3\).
    2. \(9\times 3-26\times 1 = 27-26=1\).
      Le couple \((3;1)\) est donc solution de l’équation \((E)\).
      \(\quad\)
    3. Démontrer que le couple \((d,\: m)\) est solution de l'équation \((E)\) si et seulement si : \[9 (d - 3) = 26 ( m - 1).\]
    4. Soit \((d;m)\) un couple solution de \((E)\).
      On a donc :
      \(9d-26m=1\) et \(9\times 3-26\times 1=1\)
      Par différence on obtient :
      \(9(d-3)-26(m-1)=0\) soit \(9(d-3)=26(m-1)\).
      \(\quad\)
    5. En déduire que les solutions de l'équation \((E)\) sont les nombres entiers relatifs de la forme : \[\left\{\begin{array}{l c l} d &=&26k+3\\ m&=&9k+1 \end{array}\right. ,\:\quad \text{avec }\:k \in \mathbb Z.\]
    6. \(26\) et \(9\) sont premiers entre eux.
      D’après le théorème de Gauss, il existe donc un entier relatif \(k\) tel que :
      \(d-3=26k\) et \(m-1=9k\)
      Soit \(d=3+26k\) et \(m=1+9k\)
      \(\quad\)
      Réciproquement, soit \(k\) un entier relatif.
      \(9(3+26k)-26(1+9k)=27-9\times 26k-26+26\times 9k = 1\).
      \(\quad\)
      Les solutions de l’équation \((E)\) sont les nombres entiers relatifs de la forme :
      \(\begin{cases} d=26k+3\\m=9k+1\end{cases}\), avec \(k\in \mathbb Z\).
      \(\quad\)
    1. Soit \(n\) un nombre entier. Démontrer que si \(n = 26 k - 1\), avec \(k\) entier relatif, alors \(n\) et \(26\) sont premiers entre eux.
    2. Soit \(n\) un nombre entier. Si \(n=26k-1\) alors \(26k-n\times 1 = 1\).
      D’après le théorème de Bezout, \(n\) et \(26\) sont donc premiers entre eux.
      \(\quad\)
    3. En déduire que les nombres \(9d - 28\), avec \(d = 26k + 3\) et \(k \in \mathbb Z\), sont premiers avec \(26\).
    4. Soit \(k\) un entier relatif.
      \(\begin{align*}9d-28&= 9(26k+3)-28 \\
      &=26 \times 9k + 27-28 \\
      &=26 \times 9k-1 \\
      &=26k’-1
      \end{align*}\)
      Avec \(k’=9k\).
      D’après la question précédente, \(9d-28\) et \(26\) sont premiers entre eux.
      \(\quad\)

 

Partie B : cryptage et décryptage


On considère la matrice \(A = \begin{pmatrix}9&4\\7&3\end{pmatrix}\). On utilisera le tableau suivant pour la correspondance entre les lettres et les nombres. \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M\\ \hline 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline\hline N&O&P& Q& R& S& T& U& V& W& X&Y& Z\\ \hline 13&14& 15& 16& 17& 18& 19& 20& 21& 22& 23& 24 & 25\\ \hline \end{array} \]

Méthode de cryptage (pour un mot comportant un nombre pair de lettres) Exemple : avec le mot MATH
1 . On regroupe les lettres par paires. \(\text{MA }\quad \text{TH}\)
2.On remplace les lettres par les valeurs associées à l'aide du tableau précédent, et on place les couples de nombres obtenus dans des matrices colonne. \(C_1 = \begin{pmatrix}12\\0\end{pmatrix}\) \(C_2 = \begin{pmatrix}19\\7\end{pmatrix}\)
3.On multiplie les matrices colonne par la gauche par la matrice \(A = \begin{pmatrix}9&4\\7&3\end{pmatrix}\) \(AC_1 = \begin{pmatrix} 108\\84\end{pmatrix}\) \(AC_2 = \begin{pmatrix} 199\\ 154\end{pmatrix}\)
4.On remplace chaque coefficient des matrices colonne obtenues par leur reste dans la division euclidienne par 26. \(108 = 4\times 26 + 4\) \(84= 3 \times 26 + 6\)
On obtient : \(\begin{pmatrix} 4\\6\end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix} 17\\24\end{pmatrix}\)
5. On utilise le tableau de correspondance entre lettres et nombres pour obtenir le mot crypté. EGRY
  1. En cryptant par cette méthode le mot « PION », on obtient « LZWH ». En détaillant les étapes pour les lettres « ES », crypter le mot « ESPION ».
  2. ES est associé à la matrice colonne \(C=\begin{pmatrix}4\\18\end{pmatrix}\).
    \(AC=\begin{pmatrix}108\\82\end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}\).
    Donc ESPION est codé par EELZWH.
    \(\quad\)
  3. Méthode de décryptage


    Notation :

    lorsqu'on manipule des matrices de nombres entiers relatifs, on peut utiliser la notation » \(\equiv\) « pour parler de congruence coefficient par coefficient. Par exemple, on peut écrire : \[\begin{pmatrix}108\\84\end{pmatrix}\equiv\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}\: \text{modulo } 26 \text{ car }\:108 \equiv 4 \text{ modulo } 26 \text{ et }\: 84 \equiv 6 \text{ modulo } 26.\]Soient \(a\), \(b\), \(x\), \(y\), \(x’\) et \(y’\) des nombres entiers relatifs. On sait que si \(x \equiv x’\) modulo \(26\) et \(y \equiv y’\) modulo \(26\) alors : \(ax + by \equiv ax' + by’\) modulo \(26\). Ce résultat permet d'écrire que, si \(A\) est une matrice \(2 \times 2\), et \(B\) et \(C\) sont deux matrices colonne \(2 \times 1\), alors: \[B \equiv C \text{ modulo } 26 \text{ implique } AB \equiv AC \text{ modulo } 26. \]
    1. Établir que la matrice \(A\) est inversible, et déterminer son inverse.
    2. Le déterminant de \(A\) est \(d=9\times 3-4\times 7 = -1\neq 0\). Donc \(A\) est inversible.
      On considère la matrice \(B=\begin{pmatrix}-3&4\\7&-9\end{pmatrix}\)
      Alors \(AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\).
      Ainsi l’inverse de \(A\) est la matrice \(A^{-1}=\begin{pmatrix}-3&4\\7&-9\end{pmatrix}\).
      \(\quad\)
    3. Décrypter le mot : XQGY.
    4. On considère deux matrices colonnes \(X\) et \(Y\).
      Si \(AX=Y\) alors \(X=A^{-1}Y\).
      XQ est associé à la matrice \(C_1=\begin{pmatrix} 23\\16\end{pmatrix}\)
      Donc \(A^{1}C_1=\begin{pmatrix}-5\\17\end{pmatrix}\equiv \begin{pmatrix} 21\\17\end{pmatrix}\) qui est associée à VR.
      GY est associé à la matrice \(C_2=\begin{pmatrix} 6\\24\end{pmatrix}\)
      Donc \(A^{1}C_2=\begin{pmatrix}78\\-174\end{pmatrix}\equiv \begin{pmatrix} 0\\8\end{pmatrix}\) qui est associée à AI.
      \(\quad\)
      Le mot XQGY se décrypte en VRAI.
      \(\quad\)

ImprimerE-mail

Statistiques

Visiteurs
173
Articles
1392
Compteur d'affichages des articles
8118622