Baccalauréat S Antilles-Guyane 20 juin 2016 : spécialité

oui
S
Année 2016
Antilles Guyanne
Spécialité

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A


On considère l'équation suivante d'inconnues \(x\) et \(y\) entiers relatifs: \[ \text{(E)}\; 7x-3y=1. \]

  1. Un algorithme incomplet est donné ci-dessous. Le recopier et le compléter, en écrivant ses lignes manquantes (1) et (2) de manière à ce qu'il donne les solutions entières \((x~;~y)\) de l'équation (E) vérifiant \(-5\leqslant x\leqslant 10\) et \(-5\leqslant y\leqslant 10\). \[\begin{array}{|l |l |}\hline \text{Variables:} & X \text{ est un nombre entier}\\ & Y \text{ est un nombre entier }\\ \text{Début: }& \text{ Pour } X \text{ variant de } -5 \text{ à } 10\\ &\phantom{XXXX} (1) \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\ &\phantom{XXXXXXXX} (2) \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\ &\phantom{XXXXXXXX} \text{Alors Afficher } X \text{ et } Y\\ &\phantom{XXXXXXXX} \text{ Fin Si }\\ &\phantom{XXXX}\text{ Fin Pour }\\ & \text{ Fin Pour }\\ \text{ Fin }& \hline \end{array}\]
    1. Donner une solution particulière de l'équation (E).
    2. Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).
    3. Déterminer l'ensemble des couples \((x~;~y)\) d'entiers relatifs solutions de l'équation (E) tels que \(-5\leqslant x\leqslant 10\) et \(-5\leqslant y\leqslant 10\).
Partie B

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\).
On considère la droite \(\mathcal{D}\) d'équation \[ 7x - 3y-1=0 \]On définie la suite \((A_n)\) de points du plan de coordonnées \((x_n~:~y_n)\) vérifiant pour tout \(n\) entier naturel: \[ \left\{ \begin{array}{rcl} x_0&=&1\\ y_0&=&2 \end{array} \right.\qquad\text{et}\qquad \left\{ \begin{array}{rcl} x_{n+1}&=& - \frac{13}{2}x_n + 3y_n\\[1.5ex] y_{n+1}&=& - \frac{35}{2}x_n + 8y_n \end{array} \right. \]

  1. On note \(M\) la matrice \(\begin{pmatrix} \frac{-13}{2}&3\\\frac{-35}{2}&8 \end{pmatrix}\) . Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(X_n=\begin{pmatrix} x_n\\y_n \end{pmatrix}\).
    1. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), \(X_{n+1}=MX_n\).
    2. Sans justifier, exprimer pour tout entier naturel \(n\), \(X_n\) en fonction de \(M^n\) et \(X_0\).
  2. On considère la matrice \(P=\begin{pmatrix} -2&-3\\-5&-7 \end{pmatrix}\) et on admet que la matrice inverse de \(P\), notée \(P^{-1}\), est définie par \(P^{-1}=\begin{pmatrix} 7&-3\\-5&2 \end{pmatrix}\).
    1. Vérifier que \(P^{-1}MP\) est une matrice diagonale \(D\) que l'on précisera.
    2. Pour tout entier naturel \(n\), donner \(D^n\) sans justification.
    3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(M^n = PD^nP^{-1}\).
  3. On admet que, pour tout entier naturel \(n\), \(M^n=\begin{pmatrix} -14+\frac{15}{2^n}&6-\frac{6}{2^n}\\[1.5ex] -35+\frac{35}{2^n}&15-\frac{14}{2^n} \end{pmatrix}\).
    En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), une expression de \(x_n\) et \(y_n\) en fonction de \(n\).
  4. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), le point \(A_n\) appartient à la droite \(\mathcal{D}\).
 

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A


On considère l'équation suivante d'inconnues \(x\) et \(y\) entiers relatifs: \[ \text{(E)}\; 7x-3y=1. \]

  1. Un algorithme incomplet est donné ci-dessous. Le recopier et le compléter, en écrivant ses lignes manquantes (1) et (2) de manière à ce qu'il donne les solutions entières \((x~;~y)\) de l'équation (E) vérifiant \(-5\leqslant x\leqslant 10\) et \(-5\leqslant y\leqslant 10\). \[\begin{array}{|l |l |}\hline \text{Variables:} & X \text{ est un nombre entier}\\ & Y \text{ est un nombre entier }\\ \text{Début: }& \text{ Pour } X \text{ variant de } -5 \text{ à } 10\\ &\phantom{XXXX} (1) \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\ &\phantom{XXXXXXXX} (2) \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\ &\phantom{XXXXXXXX} \text{Alors Afficher } X \text{ et } Y\\ &\phantom{XXXXXXXX} \text{ Fin Si }\\ &\phantom{XXXX}\text{ Fin Pour }\\ & \text{ Fin Pour }\\ \text{ Fin }& \hline \end{array}\]
  2. Variables :
    \(\quad\) \(X\) est un nombre entier
    \(\quad\) \(Y\) est un nombre entier
    Début :
    \(\quad\) Pour \(X\) vairant de \(-5\) à \(10\)
    \(\qquad\) Pour \(Y\) variant de \(-5\) à \(10\)
    \(\quad \qquad \) Si \(7X-3Y=1\)
    \(\quad \qquad\) Alors Afficher \(X\) et \(Y\)
    \(\quad \qquad\) Fin Si
    \(\qquad\) Fin Pour
    \(\quad\) Fin Pour
    Fin
    \(\quad\)
    1. Donner une solution particulière de l'équation (E).
    2. \(7\times 1 -3\times 2 = 7 -6 =1\)
      Le couple \((1;2)\) est donc une solution particulière de \((E)\).
      \(\quad\)
    3. Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).
    4. On considère une autre solution \((x;y)\) de \((E)\).
      On a donc \(7x-3y=1\) et \(7 \times 1 -3\times 2 = 1\)
      Par différence on obtient \(7(x-1)-3(y-2)=0\)
      Soit \(7(x-1)=3(y-2)\)
      \(7\) et \(3\) sont premiers entre eux.
      D’après le théorème de Gauss, il existe donc un entier relatif \(k\) tel que \(x-1=3k\) et \(y-2=7k\)
      Soit \(x=1+3k\) et \(y=2+7k\).
      \(\quad\)
      Réciproquement: soit \(k\) un entier relatif alors
      \(7(1+3k)-3(2+7k)=7+21k-6-21k=1\)
      \(\quad\)
      Les solutions de l’équation \((E)\) sont donc les couples \((1+3k;2+7k)\) pour tout entier relatif \(k\).
      \(\quad\)
    5. Déterminer l'ensemble des couples \((x~;~y)\) d'entiers relatifs solutions de l'équation (E) tels que \(-5\leqslant x\leqslant 10\) et \(-5\leqslant y\leqslant 10\).
    6. On veut que \(-5 \leqslant 1+3k \leqslant 10\) et \(-5 \leqslant 2+7k \leqslant 10\)
      Soit \(-6 \leqslant 3k \leqslant 9\) et \(-7 \leqslant 7k \leqslant 8\)
      D’où \( -2 \leqslant k \leqslant 3\) et \(-1 \leqslant k \leqslant \dfrac{8}{7}\)
      Les valeurs possibles pour \(k\) sont donc \(-1,0\) et \(1\).
      Les couples recherchés sont donc \((-2;-5)\), \((1;2)\) et \((4;9)\).
      \(\quad\)
Partie B

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\).
On considère la droite \(\mathcal{D}\) d'équation \[ 7x - 3y-1=0 \]On définie la suite \((A_n)\) de points du plan de coordonnées \((x_n~:~y_n)\) vérifiant pour tout \(n\) entier naturel: \[ \left\{ \begin{array}{rcl} x_0&=&1\\ y_0&=&2 \end{array} \right.\qquad\text{et}\qquad \left\{ \begin{array}{rcl} x_{n+1}&=& - \frac{13}{2}x_n + 3y_n\\[1.5ex] y_{n+1}&=& - \frac{35}{2}x_n + 8y_n \end{array} \right. \]

  1. On note \(M\) la matrice \(\begin{pmatrix} \frac{-13}{2}&3\\\frac{-35}{2}&8 \end{pmatrix}\) . Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(X_n=\begin{pmatrix} x_n\\y_n \end{pmatrix}\).
    1. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), \(X_{n+1}=MX_n\).
    2. \(MX_n=\begin{pmatrix} -\dfrac{13}{2}x_n+3y_n \\-\dfrac{35}{2}x_n+8y_n \end{pmatrix}=X_{n+1}\)
      \(\quad\)
    3. Sans justifier, exprimer pour tout entier naturel \(n\), \(X_n\) en fonction de \(M^n\) et \(X_0\).
    4. Pour tout entier naturel \(n\) on a \(X_n=M^nX_0\).
      \(\quad\)
  2. On considère la matrice \(P=\begin{pmatrix} -2&-3\\-5&-7 \end{pmatrix}\) et on admet que la matrice inverse de \(P\), notée \(P^{-1}\), est définie par \(P^{-1}=\begin{pmatrix} 7&-3\\-5&2 \end{pmatrix}\).
    1. Vérifier que \(P^{-1}MP\) est une matrice diagonale \(D\) que l'on précisera.
    2. \(P^{-1}MP=\begin{pmatrix}1&0\\0&\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}\).
      On a donc \(D=\begin{pmatrix}1&0\\0&\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}\) qui est bien une matrice diagonale.
      \(\quad\)
    3. Pour tout entier naturel \(n\), donner \(D^n\) sans justification.
    4. Pour tout entier naturel \(n\), on a : \(D^n=\begin{pmatrix}1&0\\0&\dfrac{1}{2^n}\end{pmatrix}\).
      \(\quad\)
    5. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(M^n = PD^nP^{-1}\).
    6. Initialisation : Si \(n=0\) alors \(M^0=I_2\) où \(I_2\) est la matrice identité.
      \(PD^0P^{-1}=PI_2P^{-1}=PP^{-1}=I_2=M^0\)
      La propriété est donc vraie au rang \(0\).
      \(\quad\)
      Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang \(n\): \(M^n=PD^nP^{-1}\)
      \(\begin{align*} M^{n+1}&= M^n \times M \\
      &=PD^nP^{-1}\times PDP^{-1} \\
      &=PD^nDP^{-1} \\
      &=PD^{n+1}P^{-1}
      \end{align*}\)
      La propriété est donc vraie au rang \(n+1\).
      \(\quad\)
      Conclusion : La propriété est vraie au rang \(0\) et est héréditaire.
      Par conséquent, pour tout entier naturel \(n\), on a \(M^n=PD^nP^{-1}\).
      \(\quad\)
  3. On admet que, pour tout entier naturel \(n\), \(M^n=\begin{pmatrix} -14+\frac{15}{2^n}&6-\frac{6}{2^n}\\[1.5ex] -35+\frac{35}{2^n}&15-\frac{14}{2^n} \end{pmatrix}\).
    En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), une expression de \(x_n\) et \(y_n\) en fonction de \(n\).
  4. On a \(X_n=M^nX_0\)
    Donc \(\begin{cases} x_n=-14+\dfrac{15}{2^n}+12-\dfrac{12}{2^n} \\y_n=-35+\dfrac{35}{2^n}+30-\dfrac{28}{2^n} \end{cases}\) soit \(\begin{cases} x_n=-2+\dfrac{3}{2^n}\\y_n=-5+\dfrac{7}{2^n}\end{cases}\).
    \(\quad\)
  5. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), le point \(A_n\) appartient à la droite \(\mathcal{D}\).
  6. On considère un entier naturel \(n\).
    \(\begin{align*} 7x_n-3y_n-1 &=-14+\dfrac{21}{2^n}+15-\dfrac{21}{2^n}-1 \\
    &=1-1 \\
    &=0
    \end{align*}\)
    Pour tout entier naturel \(n\), le point \(A_n\) appartient bien à la droite \(\mathscr{D}\).
 

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