Bac S 2014 Asie Spécialité

oui
S
Année 2014
Asie
Spécialité
 

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A

Le but de celle partie est de démontrer que l'ensemble des nombres premiers est infini en raisonnant par l'absurde.

  1. On suppose qu'il existe un nombre fini de nombres premiers notés \(p_{1},\: p_{2}, \ldots,\: p_{n}\). On considère le nombre \(E\) produit de tous les nombres premiers augmenté de 1 : \[E = p_{1} \times p~_{2} \times \cdots\times p_{n} + 1.\]Démontrer que \(E\) est un entier supérieur ou égal â 2, et que \(E\) est premier avec chacun des nombres \(p_{1},\: p_{2}, \ldots,\: p_{n}\).
  2. En utilisant le fait que \(E\) admet un diviseur premier conclure.

Partie B

Pour tout entier naturel \(k \geqslant 2\), on pose \(M_{k} = 2^k -1\). On dit que \(M_{k}\) est le \(k\)-ième nombre de Mersenne.

    1. Reproduire et compléter le tableau suivant, qui donne quelques valeurs de \(M_{k}\) : \[ \begin{array}{ |c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline k&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline M_{k}&3&&&&&&&&\\ \hline \end{array} \]
    2. D'après le tableau précédent, si \(k\) est un nombre premier, peut-on conjecturer que le nombre \(M_{k}\) est premier ?
  1. Soient \(p\) et \(q\) deux entiers naturels non nuls.
    1. Justifier l'égalité : \(1 + 2^p + + \left(2^p\right)^2 + \left(2^p\right)^3 + \cdots \left(2^p\right)^{q - 1} = \dfrac{\left(2^p\right)^q - 1}{2^p - 1}\).
    2. En déduire que \(2^{pq} - 1\) est divisible par \(2^p - 1\).
    3. En déduire que si un entier \(k\) supérieur ou égal à \(2\) n'est pas premier, alors \(M_{k}\) ne l'est pas non plus.
    1. Prouver que le nombre de Mersenne \(M_{11}\) n'est pas premier.
    2. Que peut-on en déduire concernant la conjecture de la question 1. b. ?

Partie C

Le test de Lucas-Lehmer permet de déterminer si un nombre de Mersenne donné est premier. Ce test utilise la suite numérique \(\left(u_{n}\right)\) définie par \(u_{0} = 4\) et pour tout entier naturel \(n\) : \[u_{n+1} = u_{n}^2 - 2.\]Si \(n\) est un entier naturel supérieur ou égal à 2, le test permet d'affirmer que le nombre \(M_{n}\) est premier si et seulement si \(u_{n-2} \equiv 0 \quad \text{modulo }\: M_{n}\). Cette propriété est admise dans la suite.

  1. Utiliser le test de Lucas-Lehmer pour vérifier que le nombre de Mersenne \(M_{ ~5}\) est premier.
  2. Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à 3. L'algorithme suivant, qui est incomplet, doit permettre de vérifier si le nombre de Mersenne \(M_{n}\) est premier, en utilisant le test de Lucas-Lehmer. \[\begin{array}{ |l|l|}\hline \text{Variables :}& u, M, n \text{ et } i \text{ sont des entiers naturels }\\ \text{Initialisation :}& u \text{ prend la valeur 4 }\\ \text{Traitement :}& \text{ Demander un entier } n \geqslant 3\\ & M \text{ prend la valeur } \ldots \ldots\\ & \text{ Pour } i \text{ allant de } 1 \text{ à } \ldots \text{faire} \\ &\quad u \text{ prend la valeur } \ldots\\ &\text{Fin Pour}\\ &\text{Si } M \text{ divise } u \text{ alors afficher «  } M \ldots \ldots \ldots \text{ » }\\ &\text{ sinon afficher «  } M \ldots \ldots \ldots \text{ » }\\ \hline \end{array}\]Recopier et compléter cet algorithme de façon à ce qu'il remplisse la condition voulue.
 

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A

Le but de celle partie est de démontrer que l'ensemble des nombres premiers est infini en raisonnant par l'absurde.

  1. On suppose qu'il existe un nombre fini de nombres premiers notés \(p_{1},\: p_{2}, \ldots,\: p_{n}\). On considère le nombre \(E\) produit de tous les nombres premiers augmenté de 1 : \[E = p_{1} \times p~_{2} \times \cdots\times p_{n} + 1.\]Démontrer que \(E\) est un entier supérieur ou égal â 2, et que \(E\) est premier avec chacun des nombres \(p_{1},\: p_{2}, \ldots,\: p_{n}\).
  2. Le plus petit nombre premier est \(2\).
    Par conséquent \(E > 2+1 \ge 2\)
    On a \(E – p_1 \times p_2 \times \ldots \times p_n = 1\)
    Si \(p_i\) divise \(E\), puisqu’il divise également le produit \(p_1 \times p_2 \times \ldots \times p_n\) il divise alors \(1\).
    Ce qui est impossible.
    Il est donc premier avec chacun des nombres \(p_1\), \(p_2\),…,\(p_n\).
  3. En utilisant le fait que \(E\) admet un diviseur premier conclure.
  4. On en déduit donc que \(E\) est un nombre premier différents de tous les \(p_i\).
    Ce qui est contraire à l’hypothèse qu’on avait faite.
    L’ensemble des nombres premiers est donc infini.

Partie B

Pour tout entier naturel \(k \geqslant 2\), on pose \(M_{k} = 2^k -1\). On dit que \(M_{k}\) est le \(k\)-ième nombre de Mersenne.

    1. Reproduire et compléter le tableau suivant, qui donne quelques valeurs de \(M_{k}\) : \[ \begin{array}{ |c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline k&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline M_{k}&3&&&&&&&&\\ \hline \end{array} \]
    2. \(k\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\) \(8\) \(9\) \(10\)
      \(M_k\) \(3\) \(7\) \(15\) \(31\) \(63\) \(127\) \(255\) \(511\) \(1023\)
    3. D'après le tableau précédent, si \(k\) est un nombre premier, peut-on conjecturer que le nombre \(M_{k}\) est premier ?
    4. Dansle tableau, si \(k\) est premier (\(2\),\(3\),\(5\) et \(7\)) on constate que \(M_k\) l’est aussi.
  1. Soient \(p\) et \(q\) deux entiers naturels non nuls.
    1. Justifier l'égalité : \(1 + 2^p + + \left(2^p\right)^2 + \left(2^p\right)^3 + \cdots \left(2^p\right)^{q - 1} = \dfrac{\left(2^p\right)^q - 1}{2^p - 1}\).
    2. La somme correspond à la somme des termes d’un suite géométrique de premier terme égale à \(1\) et de raison \(2^p\).
      On a donc :
      \[1+2^p+(2^p)^2+\ldots+(2^p)^{q-1} = \dfrac{1 – (2^p)^q}{1 – 2^p} = \dfrac{(2^p)^q-1}{2^p-1}\]
    3. En déduire que \(2^{pq} - 1\) est divisible par \(2^p - 1\).
    4. b. Cela signifie donc que :
      \[(2^p-1)(1+2^p+\ldots+(2^p)^{q-1}) = (2^p)^q-1\]
      On a donc écrit \((2^p)^q-1\) en un produit de facteur dont l’un est \(2^p-1\).
      Il est donc divisible par ce nombre.
    5. En déduire que si un entier \(k\) supérieur ou égal à \(2\) n'est pas premier, alors \(M_{k}\) ne l'est pas non plus.
    6. Si \(k\) est un entier supérieur ou égal à 2 non premier alors il existe \(2\) entiers \(p\) et \(q\) tels que \(k=pq\).
      Par conséquent \(M_k = 2^k-1=(2^p)^q-1\) est divisible par \(2^p-1\) d’après la question précédente.
      \(M_k\) n’est donc pas premier.
    1. Prouver que le nombre de Mersenne \(M_{11}\) n'est pas premier.
    2. \(M_11 = 2^11 – 1 = 2047 = 23 \times 89\)
      Il n’est donc pas premier.
    3. Que peut-on en déduire concernant la conjecture de la question 1. b. ?
    4. On a trouvé un nombre premier \(k\) pour lequel \(M_k\) n’est pas premier. La conjecture est donc fausse.

Partie C

Le test de Lucas-Lehmer permet de déterminer si un nombre de Mersenne donné est premier. Ce test utilise la suite numérique \(\left(u_{n}\right)\) définie par \(u_{0} = 4\) et pour tout entier naturel \(n\) : \[u_{n+1} = u_{n}^2 - 2.\]Si \(n\) est un entier naturel supérieur ou égal à 2, le test permet d'affirmer que le nombre \(M_{n}\) est premier si et seulement si \(u_{n-2} \equiv 0 \quad \text{modulo }\: M_{n}\). Cette propriété est admise dans la suite.

  1. Utiliser le test de Lucas-Lehmer pour vérifier que le nombre de Mersenne \(M_{ ~5}\) est premier.
  2. \(u_{5-2} = u_3 = 37634 = 31 \times 1214 \equiv 0 [31]\)
    Le test de Lucas-Lehmer fonctionne pour \(M_5\)
  3. Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à 3. L'algorithme suivant, qui est incomplet, doit permettre de vérifier si le nombre de Mersenne \(M_{n}\) est premier, en utilisant le test de Lucas-Lehmer. \[\begin{array}{ |l|l|}\hline \text{Variables :}& u, M, n \text{ et } i \text{ sont des entiers naturels }\\ \text{Initialisation :}& u \text{ prend la valeur 4 }\\ \text{Traitement :}& \text{ Demander un entier } n \geqslant 3\\ & M \text{ prend la valeur } \ldots \ldots\\ & \text{ Pour } i \text{ allant de } 1 \text{ à } \ldots \text{faire} \\ &\quad u \text{ prend la valeur } \ldots\\ &\text{Fin Pour}\\ &\text{Si } M \text{ divise } u \text{ alors afficher «  } M \ldots \ldots \ldots \text{ » }\\ &\text{ sinon afficher «  } M \ldots \ldots \ldots \text{ » }\\ \hline \end{array}\]Recopier et compléter cet algorithme de façon à ce qu'il remplisse la condition voulue.
  4. Variables :
    \(\quad\) \(u\),\(M\),\(n\) et \(i\) sont des entiers naturels.
    Initialisation :
    \(\quad\) \(u\) prend la valeur \(4\)
    Traitement :
    \(\quad\) Demander un entier \(n \ge 3\)
    \(\quad\) \(M\) prend la valeur \(2^n-1\)
    \(\quad\) Pour \(i\) allant de \(1\) à \(n-2\) faire
    \(\qquad\) \(u\) prend la valeur \(u^2-2\)
    \(\quad\) Fin Pour
    \(\quad\) Si \(M\) divise \(u\) alors afficher « \(M\) est un nombre premier »
    \(\qquad\) sinon afficher « \(M\) n’est pas un nombre premier »

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