Bac S 2014 Antilles-Guyane Spécialité

oui
S
Année 2014
Antilles Guyanne
Spécialité
 

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

En montagne, un randonneur a effectué des réservations dans deux types d'hébergements:

L'hébergement A et l'hébergement B.

Une nuit en hébergement A coûte 24 € et une nuit en hébergement B coûte 45 €.
Il se rappelle que le coût total de sa réservation est de 438 €.
On souhaite retrouver les nombres \(x\) et \(y\) de nuitées passées respectivement en hébergement A et en hébergement B

    1. Montrer que les nombres \(x\) et \(y\) sont respectivement inférieurs ou égaux à 18 et 9.
    2. Recopier et complèter les lignes (1), (2) et (3) de l'algorithme suivant afin qu'il affiche les couples (\(x\) ; \(y\)) possibles. \[\begin{array}{|l|l|}\hline \text{EntréeŽ :} & x \text{ et } y \text{ sont des nombres}\\ \text{Traitement :} & \text{ Pour } x \text{ variant de } 0 ˆ \ldots\ (1)\\& \text{ Pour } y \text{ variant de } 0 ˆ \ldots\ (2)\\ & \text{ Si } \ldots (3)\\ & \text{Afficher } x \text{ et } y\\ & \text{Fin Si }\\ & \text{ Fin Pour}\\ &\text{ Fin Pour}\\ \text{Fin traitement}&\\\hline \end{array}\]
  1. Justifier que le coût total de la réservation est un multiple de 3.
    1. Justifier que l'équation \(8x + 15y = 1\) admet pour solution au moins un couple d'entiers relatifs.
    2. Déterminer une telle solution.
    3. Résoudre l'équation (E) : \(8x + 15y = 146\) où \(x\) et \(y\) sont des nombres entiers relatifs.
  2. Le randonneur se souvient avoir passé au maximum 13 nuits en hébergement A.
    Montrer alors qu'il peut retrouver le nombre exact de nuits passées en hébergement A et celui des nuits passées en hébergement B.
    Calculer ces nombres.
 

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

En montagne, un randonneur a effectué des réservations dans deux types d'hébergements:

L'hébergement A et l'hébergement B.

Une nuit en hébergement A coûte 24 € et une nuit en hébergement B coûte 45 €.
Il se rappelle que le coût total de sa réservation est de 438 €.
On souhaite retrouver les nombres \(x\) et \(y\) de nuitées passées respectivement en hébergement A et en hébergement B

    1. Montrer que les nombres \(x\) et \(y\) sont respectivement inférieurs ou égaux à 18 et 9.
    2. \(\dfrac{438}{24} = 18,25\) et \(\dfrac{438}{45} \approx 9,7\).
      Il ne peut donc pas avoir passé plus de \(18\) nuits dans l’hébergement A et plus de \(9\) nuits dans l’hébergement B.
      \(~\)
      Par conséquent \(x \le 18\) et \(y \le 9\).
    3. Recopier et complèter les lignes (1), (2) et (3) de l'algorithme suivant afin qu'il affiche les couples (\(x\) ; \(y\)) possibles. \[\begin{array}{|l|l|}\hline \text{EntréeŽ :} & x \text{ et } y \text{ sont des nombres}\\ \text{Traitement :} & \text{ Pour } x \text{ variant de } 0 ˆ \ldots\ (1)\\& \text{ Pour } y \text{ variant de } 0 ˆ \ldots\ (2)\\ & \text{ Si } \ldots (3)\\ & \text{Afficher } x \text{ et } y\\ & \text{Fin Si }\\ & \text{ Fin Pour}\\ &\text{ Fin Pour}\\ \text{Fin traitement}&\\\hline \end{array}\]
    4. Entrée :
      \(\quad\) \(x\) et \(y\) sont deux nombres
      Traitement :
      \(\quad\) Pour \(x\) variant de \(0\) à \(18\)
      \(\qquad\) Pour \(y\) variant de \(0\) à \(9\)
      \(\qquad \quad\) Si \(24x+45y=438\)
      \(\qquad \qquad\) Afficher \(x\) et \(y\)
      \(\qquad \quad\) Fin Si
      \(\qquad \) Fin Pour
      \(\quad\) Fin Pour
      Fin traitement
  1. Justifier que le coût total de la réservation est un multiple de 3.
  2. Le coût total de la réservation est:
    \[24x+45y = 3\times 8x+3\times 15y = 3(8x+15y)\]
    C’est donc un multiple de \(3\).
    1. Justifier que l'équation \(8x + 15y = 1\) admet pour solution au moins un couple d'entiers relatifs.
    2. \(8\) et \(15\) sont premiers entre eux. D’après le théorème de Bezout, l’équation \(8x+15y=1\) admet donc au moins un couple d’entiers relatifs solution.
    3. Déterminer une telle solution.
    4. \(8\times 2 + 15 \times (-1) = 16 -15 = 1\)
      Le couple \((2;-1)\) est donc solution de l’équation \(8x+15y=146\).
    5. Résoudre l'équation (E) : \(8x + 15y = 146\) où \(x\) et \(y\) sont des nombres entiers relatifs.
    6. Le couple \((292;-146)\) est donc solution de l’équation \(8x+15y=146\).
      Soit \((x;y)\) un autre couple solution.
      Par différence on obtient :
      \[8(x-292)+15(y+146) = 0 \Leftrightarrow 8(x-292)=15(-y-146)\]
      \(8\) et \(15\) sont premiers entre eux. D’après le théorème de Gauss, il existe alors un entier relatif \(k\) tel que :
      \( x-292 = 15k \) et \(-y-146 = 8k\)
      Soit\( x = 292+15k\) et \(y=-146 – 8k\)
      \(~\)
      Réciproquement : soient \(k \in \mathbb{Z}\) et \(x=292+15k\) et \(y=-146-8k\)
      Alors :
      \[ \begin{array}\\ 8x+15y &=8(292+15k)+15(-146-8k) \\ &=2336 + 120k – 2190 – 120k \\ &=146 \end{array}\]
      Les solutions de cette équation sont donc les couples \((292+15k;-146-8k)\) pour tout \(k\in\mathbb{Z}\).
  3. Le randonneur se souvient avoir passé au maximum 13 nuits en hébergement A.
    Montrer alors qu'il peut retrouver le nombre exact de nuits passées en hébergement A et celui des nuits passées en hébergement B.
    Calculer ces nombres.
  4. \(438 = 3 \times 146\).
    Notre problème de départ revient à trouver les couples \((x;y)\) tels que \(8x+15y=146\).
    On sait que \(x \le 13\) par conséquent :
    \[\begin{array}\\ 0 \le 292 + 15k \le 13 & \Leftrightarrow -292 \le 15k \le -279 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{-292}{15} \le k \le \dfrac{-279}{15} \\ & \Leftrightarrow k = -19\\ \end{array}\]Cela signifie donc que \(x= 7\) et donc \(y = \dfrac{146-8\times 7}{15} = 6\)
    \(~\)
    Le randonneur a donc passé \(7\) nuits dans l’hébergement A et \(6\) dans l’hébergement B.

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