Bac S 2014 Amérique du Nord Spécialité

oui
S
Année 2014
Amérique du Nord
Spécialité
 

Spécialité 5 points

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Un volume constant de 2200  m\(^3\) d'eau est réparti entre deux bassins A et B. Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d'équilibre thermique on crée un courant d'eau entre les deux bassins à l'aide de deux pompes. On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :

  • au départ, le bassin A contient 1100 m\(^3\) d'eau et le bassin B contient 1100 m\(^3\) d'eau ;
  • tous les jours, 15 % du volume d'eau présent en début de journée dans le bassin B est transféré vers le bassin A ;
  • tous les jours, 10 % du volume d'eau présent en début de journée dans le bassin du bassin A est transféré vers le bassin B, et pour des raisons de maintenance, on transfère également 5~m\(^3\) du bassin A vers le bassin B.

Pour tout entier naturel \(n\), on note :

  • \(a_{n}\) le volume d'eau, exprimé en m\(^3\), contenu dans le bassin A à la fin du \(n\)-ième jour de fonctionnement ;
  • \(b_{n}\) le volume d'eau, exprimé en m\(^3\), contenu dans le bassin B à la fin du \(n\)-ième jour de fonctionnement.

  On a donc \(a_{0} = 1100\) et \(b_{0} = 1100\). Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante
Partie A

  1. Traduire la conservation du volume total d'eau du circuit par une relation liant \(a_{n}\) et \(b_{n}\).
  2. On utilise un tableur pour visualiser l'évolution du volume d'eau dans les bassins.
  3. Donner les formules à écrire et à recopier vers le bas dans les cellules B3 et C3 permettant d'obtenir la feuille de calcul ci-dessous : \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & A & B & C \\ \hline 1& \text{Jour}  n & \text{Volume bassin }  A & \text{Volume bassin}  B\\ \hline 2 & 0 & 1100,00 & 1100,00\\ \hline 3 &1 & &\\ \hline 4 & 2 & 1187,50 & 1012,50\\ \hline 5 & 3 &1215,63 &984,38\\ \hline 6 &4 &1236,72 &963,28\\ \hline 7 &5 &1252,54 &947,46\\ \hline 8 & 6 &1264,40 &935,60\\ \hline 9 &7 &1273,30 &926,10 \\ \hline 10 &8 &1279,98 &920,02 \\ \hline 11 &9 &1234,98 &915,02\\ \hline 12 &10 &1288,74 &911,26\\ \hline 13 &11 &1291,55 &908,45\\ \hline 14 &12 &1293,66 &906,34\\ \hline 15 &13 &1295,25 &904,75\\ \hline 16 &14 &1296,44 &903,56\\ \hline 17 &15 &1297,33 &902,67\\ \hline 18 &16 &1298,00 &902,00\\ \hline 19 &17 &1298,50 &901,50\\ \hline 20 &18 &1298,87 &901,13\\ \hline \end{array}\]
  4. Quelles conjectures peut-on faire sur l'évolution du volume d'eau dans chacun des bassins ?

Partie B
  On considère la matrice carrée \(M = \begin{pmatrix}0,9& 0,15\\0,1&0,85 \end{pmatrix}\) et les matrices colonnes \(R = \begin{pmatrix}-5\\5 \end{pmatrix}\) et \(X_{n} = \begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}\).

On admet que, pour tout entier naturel \(n,\: X_{n+1} = M X_{n} + R\).

  1. On note \(S = \begin{pmatrix} 1300\\ 900\end{pmatrix}\). Vérifier que \(S = MS + R\).
  2. En déduire que, pour tout entier naturel \(n,\: X_{n+1} - S = M\left(X_{n} - S\right)\).
      Dans la suite, on admettra que, pour tout entier naturel \(n,\: X_{n} - S = M^n\left(X_{0} - S\right)\) et que \(M^n = \begin{pmatrix} 0,6 + 0,4 \times 0,75^n& 0,6 - 0,6 \times 0,75^n\\ 0,4 - 0,4 \times 0,75^n& 0,4 + 0,6 \times 0,75^n \end{pmatrix}\).
  3. Montrer que, pour tout entier naturel \(n,\: X_{n} = \begin{pmatrix}1300 - 200 \times 0,75^n\\900 + 200 \times 0,75^n \end{pmatrix}\).
  4. Valider ou invalider les conjectures effectuées à la question 3. de la partie A.
  5. On considère que le processus est stabilisé lorsque l'entier naturel \(n\) vérifie
    \[1300- a_{n} < 1,5\quad \text{et} \quad b_{n} - 900 < 1,5.\]Déterminer le premier jour pour lequel le processus est stabilisé.
 

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Un volume constant de 2200  m\(^3\) d'eau est réparti entre deux bassins A et B. Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d'équilibre thermique on crée un courant d'eau entre les deux bassins à l'aide de deux pompes. On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :
  • au départ, le bassin A contient 1100 m\(^3\) d'eau et le bassin B contient 1100 m\(^3\) d'eau ;
  • tous les jours, 15 % du volume d'eau présent en début de journée dans le bassin B est transféré vers le bassin A ;
  • tous les jours, 10 % du volume d'eau présent en début de journée dans le bassin du bassin A est transféré vers le bassin B, et pour des raisons de maintenance, on transfère également 5~m\(^3\) du bassin A vers le bassin B.

Pour tout entier naturel \(n\), on note :

  • \(a_{n}\) le volume d'eau, exprimé en m\(^3\), contenu dans le bassin A à la fin du \(n\)-ième jour de fonctionnement ;
  • \(b_{n}\) le volume d'eau, exprimé en m\(^3\), contenu dans le bassin B à la fin du \(n\)-ième jour de fonctionnement.

  On a donc \(a_{0} = 1100\) et \(b_{0} = 1100\). Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante
Partie A

  1. Traduire la conservation du volume total d'eau du circuit par une relation liant \(a_{n}\) et \(b_{n}\).

  2. La conservation du volume total se traduit par: pour tout entier naturel \(n\), \(a_n+b_n=2200 \).
  3. On utilise un tableur pour visualiser l'évolution du volume d'eau dans les bassins.Donner les formules à écrire et à recopier vers le bas dans les cellules B3 et C3 permettant d'obtenir la feuille de calcul ci-dessous : \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & A & B & C \\ \hline 1& \text{Jour}  n & \text{Volume bassin }  A & \text{Volume bassin}  B\\ \hline 2 & 0 & 1100,00 & 1100,00\\ \hline 3 &1 & &\\ \hline 4 & 2 & 1187,50 & 1012,50\\ \hline 5 & 3 &1215,63 &984,38\\ \hline 6 &4 &1236,72 &963,28\\ \hline 7 &5 &1252,54 &947,46\\ \hline 8 & 6 &1264,40 &935,60\\ \hline 9 &7 &1273,30 &926,10 \\ \hline 10 &8 &1279,98 &920,02 \\ \hline 11 &9 &1234,98 &915,02\\ \hline 12 &10 &1288,74 &911,26\\ \hline 13 &11 &1291,55 &908,45\\ \hline 14 &12 &1293,66 &906,34\\ \hline 15 &13 &1295,25 &904,75\\ \hline 16 &14 &1296,44 &903,56\\ \hline 17 &15 &1297,33 &902,67\\ \hline 18 &16 &1298,00 &902,00\\ \hline 19 &17 &1298,50 &901,50\\ \hline 20 &18 &1298,87 &901,13\\ \hline \end{array}\]

  4. D'après le texte, on peut dire que: \(\left\lbrace \begin{array}{ l l} a_{n+1} =& 0,9 a_n + 0,15 b_n - 5\\ b_{n+1}= & 0,1a_n + 0,85b_n + 5 \end{array} \right.\) avec \(\left\lbrace \begin{array}{ l l} a_{0}= & 1100\\ b_{0} =& 1100 \end{array} \right.\)
    On utilise un tableur pour visualiser l'évolution du volume d'eau dans les bassins. On donne les formules à écrire et à recopier vers le bas dans les cellules B3 et C3 permettant d'obtenir la feuille de calcul du texte:
    Amerique du-Nord 2014-Spe
  5. Quelles conjectures peut-on faire sur l'évolution du volume d'eau dans chacun des bassins ?

  6. La suite \((a_n)\) donnant le volume d'eau dans le bassin A semble croissante et tendre vers 1300 , tandis que la suite \((b_n)\) donnant le volume d'eau dans le bassin B semble décroissante et tendre vers 900.

Partie B

 

  On considère la matrice carrée \(M = \begin{pmatrix}0,9& 0,15\\0,1&0,85 \end{pmatrix}\) et les matrices colonnes \(R = \begin{pmatrix}-5\\5 \end{pmatrix}\) et \(X_{n} = \begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}\).

 

On admet que, pour tout entier naturel \(n,\: X_{n+1} = M X_{n} + R\).

  1. On note \(S = \begin{pmatrix} 1300\\ 900\end{pmatrix}\). Vérifier que \(S = MS + R\).En déduire que, pour tout entier naturel \(n,\: X_{n+1} - S = M\left(X_{n} - S\right)\).
      Dans la suite, on admettra que, pour tout entier naturel \(n,\: X_{n} - S = M^n\left(X_{0} - S\right)\) et que \(M^n = \begin{pmatrix} 0,6 + 0,4 \times 0,75^n& 0,6 - 0,6 \times 0,75^n\\ 0,4 - 0,4 \times 0,75^n& 0,4 + 0,6 \times 0,75^n \end{pmatrix}\).
  2. \(MS = \begin{pmatrix}0,9& 0,15\\0,1&0,85 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1300\\ 900\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,9\times 1300+ 0,15\times 900\\ 0,1\times 1300+ 0,85\times 900 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1305\\ 895\end{pmatrix}\) \(MS+R = \begin{pmatrix} 1305\\ 895\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -5\\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1300\\ 900\end{pmatrix} =S\)
    On a \(X_{n+1}=MX_{n}+ R\) et \(S=MS+R\); par soustraction membre à membre, on obtient: \(X_{n+1}-S = MX_{n}+R -MS - R = MX_{n}-MS = M(X_{n}-S)\)
  3. Montrer que, pour tout entier naturel \(n,\: X_{n} = \begin{pmatrix}1300 - 200 \times 0,75^n\\900 + 200 \times 0,75^n \end{pmatrix}\).
  4. \(X_0=\begin{pmatrix} 1100\\1100\end{pmatrix}\) et \( S=\begin{pmatrix} 1300\\900\end{pmatrix}\) donc \(X_0 - S =\begin{pmatrix} -200 \\ 200 \end{pmatrix}\) \(M^n\times (X_0 - S) = \begin{pmatrix} 0,6 + 0,4 \times 0,75^n& 0,6 - 0,6 \times 0,75^n\\ 0,4 - 0,4 \times 0,75^n& 0,4 + 0,6 \times 0,75^n \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -200 \\ 200 \end{pmatrix}\) \(\phantom{M^n\times (X_0 - S)} = \begin{pmatrix} (0,6 + 0,4 \times 0,75^n)\times(-200) + (0,6 - 0,6 \times 0,75^n)\times 200 \\ (0,4 - 0,4 \times 0,75^n)\times (-200) + (0,4 + 0,6 \times 0,75^n)\times 200 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -200\times 0,75^{n} \\ 200\times 0,75^{n} \end{pmatrix}\) Donc \(X_{n}=M^n\times (X_0 - S) +S = \begin{pmatrix} -200\times 0,75^{n} \\ 200\times 0,75^{n} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1320\\ 900 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1320-200\times 0,75^{n} \\ 900+200\times 0,75^{n} \end{pmatrix}\)
  5. Valider ou invalider les conjectures effectuées à la question 3. de la partie A.

  6. \(X_{n}= \begin{pmatrix} 1320-200\times 0,75^{n} \\ 900+200\times 0,75^{n} \end{pmatrix}\) et \(X_{n}= \begin{pmatrix} a_n\\ b_n \end{pmatrix}\) donc \(\left\lbrace \begin{array}{@ l @{\ =\ } l} a_{n} & 1300 - 200 \times 0,75^{n}\\ b_{n} & 900 + 200 \times 0,75^{n} \end{array} \right.\) La suite \((0,75^n)\) est géométrique de raison \(0,75\) donc est décroissante; on multiplie par un nombre négatif, donc la suite \((-200\times 0,75^n)\) est croissante et donc la suite \((a_n)\) est croissante. De plus, \(-1 < 0,75 < 1\) donc la suite \((0,75^n)\) est convergente et a pour limite 0. On peut en déduire que la suite \((a_n)\) est convergente et a pour limite \(1320\). Pour les mêmes raisons, on peut dire que la suite \((b_n)\) est décroissante, et convergente vers 900.
  7. On considère que le processus est stabilisé lorsque l'entier naturel \(n\) vérifie
    \[1300- a_{n} < 1,5\quad \text{et} \quad b_{n} - 900 < 1,5.\]Déterminer le premier jour pour lequel le processus est stabilisé.

  8. D'après le tableau fourni dans le texte, la plus petite valeur de \(n\) pour que le processus soit stabilisé peut être 17 ou 18. Pour \(n=17\), \(a_{17} \approx 1298,4966\) donc \(1300- a_{17} > 1,5\). Pour \(n=18\), \(a_{18} \approx 1298,8724\) donc \(1300- a_{18} < 1,5\). Comme \(a_n + b_n = 2200\), \(b_n=2200-a_n\) ce qui équivaut à \(b_n -900 = 1300 - a_n\); donc \(1300-a_n < 1,5 \iff b_n-900 <1,5\). On peut donc dire que le processus est stabilisé à partir de \(n=18\).

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