Bac S 2014 Polynésie Spécialité

oui
S
Année 2014
Polynésie
Spécialité
 

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Dans cet exercice, on appelle numéro du jour de naissance le rang de ce jour dans le mois et numéro du mois de naissance, le rang du mois dans l'année.
Par exemple, pour une personne née le 14 mai, le numéro du jour de naissance est 14 et le numéro du mois de naissance est 5.

Partie A

Lors d'une représentation, un magicien demande aux spectateurs d'effectuer le programme de calcul (A) suivant : « Prenez le numéro de votre jour de naissance et multipliez-le par 12. Prenez le numéro de votre mois de naissance et multipliez-le par 37. Ajoutez les deux nombres obtenus. Je pourrai alors vous donner la date de votre anniversaire » . Un spectateur annonce \(308\) et en quelques secondes, le magicien déclare : « Votre anniversaire tombe le 1er août ! » .

  1. Vérifier que pour une personne née le 1er août, le programme de calcul (A) donne effectivement le nombre \(308\).
    1. Pour un spectateur donné, on note \(j\) le numéro de son jour de naissance, \(m\) celui de son mois de naissance et \(z\) le résultat obtenu en appliquant le programme de calcul (A). Exprimer \(z\) en fonction de \(j\) et de \(m\) et démontrer que \(z\) et \(m\) sont congrus modulo 12.
    2. Retrouver alors la date de l'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre \(474\) en appliquant le programme de calcul (A).

Partie B

Lors d'une autre représentation, le magicien décide de changer son programme de calcul. Pour un spectateur dont le numéro du jour de naissance est \(j\) et le numéro du mois de naissance est \(m\), le magicien demande de calculer le nombre \(z\) défini par \(z = 12j + 31m\). Dans les questions suivantes, on étudie différentes méthodes permettant de retrouver la date d'anniversaire du spectateur.

  1. Première méthode : On considère l'algorithme suivant : \[\begin{array}{|l l|}\hline \text{Variables :}&j \text{ et } m \text{ sont des entiers naturels}\\ \text{Traitement :}& \text{ Pour } m \text{ allant de 1 à 12 faire :}\\ & \begin{array}{|l} \text{ Pour } j \text{ allant de 1 à 31 faire :}\\ \begin{array}{|l} z \text{ prend la valeur } 12j + 31m\\ \text{Afficher } z\\ \end{array}\\ \text{Fin Pour }\\ \end{array}\\ &\text{ Fin Pour }\\ \hline \end{array}\]Modifier cet algorithme afin qu'il affiche toutes les valeurs de \(j\) et de \(m\) telles que \(12j + 31m = 503\).
  2. Deuxième méthode :
    1. Démontrer que \(7m\) et \(z\) ont le même reste dans la division euclidienne par 12.
    2. Pour \(m\) variant de 1 à 12, donner le reste de la division euclidienne de \(7m\) par 12.
    3. En déduire la date de l'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre \(503\) avec le programme de calcul (B).
  3. Troisième méthode :
    1. Démontrer que le couple \((-2~;~17)\) est solution de l'équation \(12x + 31y = 503\).
    2. En déduire que si un couple d'entiers relatifs \((x~;~y)\) est solution de l'équation \(12x + 31y = 503\), alors \(12(x + 2) = 31 (17 - y)\).
    3. Déterminer l'ensemble de tous les couples d'entiers relatifs \((x ; y)\), solutions de l'équation \(12x + 31y = 503\).
    4. Démontrer qu'il existe un unique couple d'entiers relatifs \((x~;~y)\) tel que \(1 \leqslant y \leqslant 12\). En déduire la date d'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre \(503\) avec le programme de calcul (B).
 

Correction de l'exercice de spécialité (5 points)


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Dans cet exercice, on appelle numéro du jour de naissance le rang de ce jour dans le mois et numéro du mois de naissance, le rang du mois dans l'année.
Par exemple, pour une personne née le 14 mai, le numéro du jour de naissance est 14 et le numéro du mois de naissance est 5.

Partie A

Lors d'une représentation, un magicien demande aux spectateurs d'effectuer le programme de calcul (A) suivant : « Prenez le numéro de votre jour de naissance et multipliez-le par 12. Prenez le numéro de votre mois de naissance et multipliez-le par 37. Ajoutez les deux nombres obtenus. Je pourrai alors vous donner la date de votre anniversaire » . Un spectateur annonce \(308\) et en quelques secondes, le magicien déclare : « Votre anniversaire tombe le 1er août ! » .

  1. Vérifier que pour une personne née le 1er août, le programme de calcul (A) donne effectivement le nombre \(308\).
    • Numéro du jour de naissance multiplié par 12: \(j=1\times 12=12\);
    • Numéro du mois de naissance multiplié par 37: \(m=8\times 37=296\);
    • \(m+j=308\).
    1. Pour un spectateur donné, on note \(j\) le numéro de son jour de naissance, \(m\) celui de son mois de naissance et \(z\) le résultat obtenu en appliquant le programme de calcul (A). Exprimer \(z\) en fonction de \(j\) et de \(m\) et démontrer que \(z\) et \(m\) sont congrus modulo 12.

    2. Date de l'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre \(474\) en appliquant le programme de calcul (A): \[ \left\lbrace\begin{array}{l} z=474=39\times 12+6\\ z\equiv 37m\ [12] \end{array}\right.\Longrightarrow z=(3\times 12+1)m\equiv 6\ [12]\Longrightarrow m\equiv 6\ [12], \text{le mois est donc juin} \]
    3. Retrouver alors la date de l'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre \(474\) en appliquant le programme de calcul (A).
    4. \[ z=474=12j+37\times 6\Longrightarrow 12j=474-37\times 6=252=21\times 12\Longrightarrow j=21 \]Le spectateur est donc né un 21 juin.

Partie B

Lors d'une autre représentation, le magicien décide de changer son programme de calcul. Pour un spectateur dont le numéro du jour de naissance est \(j\) et le numéro du mois de naissance est \(m\), le magicien demande de calculer le nombre \(z\) défini par \(z = 12j + 31m\). Dans les questions suivantes, on étudie différentes méthodes permettant de retrouver la date d'anniversaire du spectateur.

  1. Première méthode : On considère l'algorithme suivant : \[\begin{array}{|l l|}\hline \text{Variables :}&j \text{ et } m \text{ sont des entiers naturels}\\ \text{Traitement :}& \text{ Pour } m \text{ allant de 1 à 12 faire :}\\ & \begin{array}{|l} \text{ Pour } j \text{ allant de 1 à 31 faire :}\\ \begin{array}{|l} z \text{ prend la valeur } 12j + 31m\\ \text{Afficher } z\\ \end{array}\\ \text{Fin Pour }\\ \end{array}\\ &\text{ Fin Pour }\\ \hline \end{array}\]Modifier cet algorithme afin qu'il affiche toutes les valeurs de \(j\) et de \(m\) telles que \(12j + 31m = 503\).

  2. Première méthode : Algorithme modifié (\(\texttt{AlgoBox}\)) pour qu'il affiche toutes les valeurs de \(j\) et de \(m\) telles que \(12j + 31m = 503\).
    Polynesie 2014 algo spe
    Le spectateur est donc né un 29 mai.
  3. Deuxième méthode :
    1. Démontrer que \(7m\) et \(z\) ont le même reste dans la division euclidienne par 12.

    2. \(12a\equiv 0\ [12]\) pour tout \(a\) entier, donc \[ z=12j+31m\equiv 31m=(2\times 12+7)m=12\times 2m+7m\equiv 7m\ [12] \]\(7m\) et \(z\) ont donc le même reste dans la division euclidienne par 12.
    3. Pour \(m\) variant de 1 à 12, donner le reste de la division euclidienne de \(7m\) par 12.
    4. \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline m & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\ \hline\text{ reste }& 7 & 2 & 9 & 4 & 11 & 6 & 1 & 8 & 3 & 10 & 5 & 0\\ \hline \end{array}\]On remarque qu'à chacun des 12 restes possibles correspond un seul mois.
    5. En déduire la date de l'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre \(503\) avec le programme de calcul (B).

    6. Date de l'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre \(503\) avec le programme de calcul (B): \[ \left\lbrace\begin{array}{l} z=503=41\times 12+11\\ z\equiv 7m\ [12] \end{array}\right.\Longrightarrow 7m\equiv 11\ [12]\Longrightarrow m=5,\ \text{le mois est donc mai} \]\[ z=503=12j+31\times 5\Longrightarrow 12j=503-31\times 5=29\times 12\Longrightarrow j=29 \]Le spectateur est donc né un 29 mai.
  4. Troisième méthode :
    1. Démontrer que le couple \((-2~;~17)\) est solution de l'équation \(12x + 31y = 503\).

    2. Le couple \((-2~;~17)\) est solution de l'équation \(12x + 31y = 503\): \[ 12\times(-2) + 31\times(17) = 503 \]
    3. En déduire que si un couple d'entiers relatifs \((x~;~y)\) est solution de l'équation \(12x + 31y = 503\), alors \(12(x + 2) = 31 (17 - y)\).

    4. Un couple d'entiers relatifs \((x~;~y)\) est solution de l'équation \(12x + 31y = 503\): \[ \left\lbrace\begin{array}{lr} 12x + 31y = 503& L_1\\ 12\times(-2) + 31\times(17) = 503& L_2 \end{array}\right.\Longrightarrow 12(x+2)+31(y-17)=0\ (L_1-L_2)\Longleftrightarrow 12(x + 2) = 31 (17 - y)\ (E) \]
    5. Déterminer l'ensemble de tous les couples d'entiers relatifs \((x ; y)\), solutions de l'équation \(12x + 31y = 503\).

    6. Résolution de l'équation \(12x + 31y = 503\):
      • Partie directe: \[ 12x + 31y = 503\Longrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l} 12(x + 2) = 31 (17 - y)\\ \text{pgcd}(12;31)=1 \end{array}\right.\stackrel{\text{\text{Gauss}}}{\Longrightarrow} 31\ \text{divise}\ x+2 \]Ainsi, il existe un entier relatif \(k\) vérifiant \(x+2=31k\Longleftrightarrow \boxed{x=-2+31k}\). En remplaçant dans \((E)\), on obtient: \[ \left\lbrace\begin{array}{l} 12(x + 2) = 31 (17 - y)\\ x+2=31k \end{array}\right.\Longrightarrow 12\times {31}k={31}(17-y)\Longleftrightarrow 12k=17-y\Longleftrightarrow \boxed{y=17-12k} \]
      • Réciproque: pour tout \(k\) de \(\mathbb{Z}\), on a: \[ 12(-2+31k)+31(17-12k)=\underbrace{12\times(-2) + 31\times(17)}_{503}+{12\times 31k}-{12\times 31k}=503 \]
      • Pour tout \(k\) de \(\mathbb{Z}\), le couple \((x;y)=(-2+31k;17-12k)\) est solution de \(12x + 31y = 503\).
    7. Démontrer qu'il existe un unique couple d'entiers relatifs \((x~;~y)\) tel que \(1 \leqslant y \leqslant 12\). En déduire la date d'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre \(503\) avec le programme de calcul (B).

    8. Il existe un unique couple d'entiers relatifs \((x~;~y)\) tel que \(1 \leqslant y \leqslant 12\): \[ 1 \leqslant y \leqslant 12 \Longleftrightarrow 1 \leqslant 17-12k \leqslant 12 \Longleftrightarrow -16 \leqslant -12k \leqslant -5 \Longleftrightarrow 5 \leqslant 12k \leqslant 16 \Longleftrightarrow \frac{5}{12} \leqslant k \leqslant \frac{16}{12} \]Ainsi \(k=1\) est l'unique entier compris entre \(\dfrac{5}{12}\simeq 0,4166\) et \(\dfrac{16}{12}\simeq 1,3333\) . L'unique couple recherché est donc: \((-2+31\times 1;17-12\times 1)=(29;5)\)
      Le spectateur est donc né un 29 mai.

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