Baccalauréat S Antilles Guyane 22 juin 2015 : Spécialité

oui
non
S
Année 2015
Antilles Guyanne
Spécialité

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante

Partie A


Pour deux entiers naturels non nuls \(a\) et \(b\), on note \(r(a,~b)\) le reste dans la division euclidienne de \(a\) par \(b\). On considère l'algorithme suivant : \[\begin{array}{|l|X|}\hline \text{ Variables :} & c \text{ est un entier naturel}\\ &a \text{ et } b \text{ sont des entiers naturels non nuls }\\ \text{ Entrées : }&\text{ Demander } a\\ &\text{ Demander } b\\ \text{ Traitement: }&\text{ Affecter à } c \text{ le nombre } r(a,~b)\\ &\text{ Tant que }c \ne 0\\ &\hspace{0.5cm}\text{ Affecter à } a \text{ le nombre } b\\ &\hspace{0.5cm}\text{ Affecter à } b \text{ la valeur de } c\\ &\hspace{0.5cm}\text{ Affecter à } c \text{ le nombre } r(a,~b)\\ &\text{ Fin Tant que }\\ Sortie : &\text{ Afficher } b\\ \hline \end{array}\]

  1. Faire fonctionner cet algorithme avec \(a = 26\) et \(b = 9\) en indiquant les valeurs de \(a\), \(b\) et \(c\) à chaque étape.
  2. Cet algorithme donne en sortie le PGCD des entiers naturels non nuls \(a\) et \(b\). Le modifier pour qu'il indique si deux entiers naturels non nuls \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux ou non.

 

Partie B


À chaque lettre de l'alphabet on associe grâce au tableau ci-dessous un nombre entier compris entre 0 et 25. \[ \begin{array}{ |c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A &B &C &D &E &F &G &H &I& J &K &L &M\\ \hline 0& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline\hline N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\ \hline 13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline \end{array} \]On définit un procédé de codage de la façon suivante :

  • Étape 1 : on choisit deux entiers naturels \(p\) et \(q\) compris entre \(0\) et \(25\).
  • Étape 2 : à la lettre que l'on veut coder, on associe l'entier \(x\) correspondant dans le tableau ci-dessus.
  • Étape 3 : on calcule l'entier \(x'\) défini par les relations \[x' \equiv px + q\quad [26]\quad \text{et}\quad 0 \leqslant x' \leqslant 25.\]
  • Étape 4 : à l'entier \(x'\), on associe la lettre correspondante dans le tableau.

 

  1. Dans cette question, on choisit \(p = 9\) et \(q = 2\).
    1. Démontrer que la lettre V est codée par la lettre J.
    2. Citer le théorème qui permet d'affirmer l'existence de deux entiers relatifs \(u\) et \(v\) tels que \(9u + 26v = 1\). Donner sans justifier un couple \((u,~v)\) qui convient.
    3. Démontrer que \(x' \equiv 9x + 2\quad [26]\) équivaut à \(x \equiv 3x' + 20\quad [26]\).
    4. Décoder la lettre R.
  2. Dans cette question, on choisit \(q = 2\) et \(p\) est inconnu. On sait que J est codé par D. Déterminer la valeur de \(p\) (on admettra que \(p\) est unique).
  3. Dans cette question, on choisit \(p = 13\) et \(q = 2\). Coder les lettres B et D. Que peut-on dire de ce codage ?
 

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante

Partie A


Pour deux entiers naturels non nuls \(a\) et \(b\), on note \(r(a,~b)\) le reste dans la division euclidienne de \(a\) par \(b\). On considère l'algorithme suivant : \[\begin{array}{|l|X|}\hline \text{ Variables :} & c \text{ est un entier naturel}\\ &a \text{ et } b \text{ sont des entiers naturels non nuls }\\ \text{ Entrées : }&\text{ Demander } a\\ &\text{ Demander } b\\ \text{ Traitement: }&\text{ Affecter à } c \text{ le nombre } r(a,~b)\\ &\text{ Tant que }c \ne 0\\ &\hspace{0.5cm}\text{ Affecter à } a \text{ le nombre } b\\ &\hspace{0.5cm}\text{ Affecter à } b \text{ la valeur de } c\\ &\hspace{0.5cm}\text{ Affecter à } c \text{ le nombre } r(a,~b)\\ &\text{ Fin Tant que }\\ Sortie : &\text{ Afficher } b\\ \hline \end{array}\]

  1. Faire fonctionner cet algorithme avec \(a = 26\) et \(b = 9\) en indiquant les valeurs de \(a\), \(b\) et \(c\) à chaque étape.
  2. \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    a&26&9&5&4\\ \hline
    b&9&5&4&1\\ \hline
    c&5&4&1&0\\ \hline
    \end{array}\)
    L’algorithme affichera donc \(1\)
  3. Cet algorithme donne en sortie le PGCD des entiers naturels non nuls \(a\) et \(b\). Le modifier pour qu'il indique si deux entiers naturels non nuls \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux ou non.
  4. Variables :
    \(\quad\) \(c\) est un entier naturel
    \(\quad\) \(a\) et \(b\) sont des entiers naturels non nuls
    Entrées :
    \(\quad\) Demander \(a\)
    \(\quad\) Demander \(b\)
    Traitement :
    \(\quad\) affecter à \(c\) le nombre \(r(a,b)\)
    \(\quad\) Tant que \(c \neq 0\)
    \(\qquad\) Affecter à \(a\) le nombre \(b\)
    \(\qquad\) Affecter à \(b\) la valeur de \(c\)
    \(\qquad\) Affecter à \(c\) le nombre \(r(a,b)\)
    \(\quad\) Fin Tant que
    \(\quad\) Si \(b=1\)
    \(\qquad\) alors Afficher « \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux »
    \(\qquad\) sinon Afficher « \(a\) et \(b\) ne sont pas premiers entre eux »
    \(\quad\) Fin Si
    \(\quad\)

 

Partie B


À chaque lettre de l'alphabet on associe grâce au tableau ci-dessous un nombre entier compris entre 0 et 25. \[ \begin{array}{ |c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A &B &C &D &E &F &G &H &I& J &K &L &M\\ \hline 0& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline\hline N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\ \hline 13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline \end{array} \]On définit un procédé de codage de la façon suivante :

  • Étape 1 : on choisit deux entiers naturels \(p\) et \(q\) compris entre \(0\) et \(25\).
  • Étape 2 : à la lettre que l'on veut coder, on associe l'entier \(x\) correspondant dans le tableau ci-dessus.
  • Étape 3 : on calcule l'entier \(x'\) défini par les relations \[x' \equiv px + q\quad [26]\quad \text{et}\quad 0 \leqslant x' \leqslant 25.\]
  • Étape 4 : à l'entier \(x'\), on associe la lettre correspondante dans le tableau.

 

  1. Dans cette question, on choisit \(p = 9\) et \(q = 2\).
    1. Démontrer que la lettre V est codée par la lettre J.
    2. Etape 1 : \(p=9\) et \(q=2\)
      Etape 2 : On choisit V. Donc \(x=21\)
      Etape 3 : \(px + q = 191 \equiv 9 ~[26]\)
      Etape 4 : La lettre associée à \(9\) est J
      \(\quad\)
    3. Citer le théorème qui permet d'affirmer l'existence de deux entiers relatifs \(u\) et \(v\) tels que \(9u + 26v = 1\). Donner sans justifier un couple \((u,~v)\) qui convient.
    4. Les nombres \(9\) et \(26\) sont premiers entre eux (d’après la question A.1.).
      D’après le théorème de Bezout, il existe alors au moins un couple d’entiers relatifs \((u,v)\) tel que \(9u+26v=1\).
    5. Démontrer que \(x' \equiv 9x + 2\quad [26]\) équivaut à \(x \equiv 3x' + 20\quad [26]\).
    6. \[\begin{array}{rl} x’ \equiv 9x + 2~[26] & \iff 3x’ \equiv 27x + 6 ~[26] \\ & \iff 3x’ \equiv x + 6~[26] \\ & \iff 3x’ – 6 \equiv x ~[26] \\ & \iff 3x’ + 20 \equiv x ~[26]\end{array}\]
    7. Décoder la lettre R.
  2. Si on obtient la lettre R, alors \(x’= 17\)
    Or \(3 \times 17 + 20 = 71 \equiv 19~[26] \)
    La lettre initiale était donc T.
  3. Dans cette question, on choisit \(q = 2\) et \(p\) est inconnu. On sait que J est codé par D. Déterminer la valeur de \(p\) (on admettra que \(p\) est unique).
  4. J est codé par D. Cela signifie donc que si \(x=9\) alors \(x’=3\)
    Avec \(x’ \equiv px + 2~[26] \)
    Soit \(3\equiv 9p + 2~[26]\)
    par conséquent \(9p \equiv 1~[26] \)
    Or \(9\times 3 = 27 \equiv 1~[26]\)
    Donc \(p = 3\)
  5. Dans cette question, on choisit \(p = 13\) et \(q = 2\). Coder les lettres B et D. Que peut-on dire de ce codage ?
  6. \(p=13\) et \(q=2\)
    Si on choisit la lettre \(B\) alors \(x=1\)
    Par conséquent \(13 \times 1 + 2 = 15 \equiv 15~[26]\) donc \(x’ = 15\)
    On obtient ainsi la lettre P.
    \(\quad\)
    Si on choisit la lettre \(D\) alors \(x= 3\)
    Par conséquent \(13 \times 3 + 2 = 41 \equiv 15~[26]\) donc \(x’=15\)
    On obtient ainsi la lettre P.
    Ce codage n’est pas utilisable car deux lettres différentes sont codées par la même lettre. Il n’y a pas unicité du codage

 

 

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