Baccalauréat S Asie 17 juin 2015 : Spécialité

oui
non
S
Année 2015
Asie
QCM,Spécialité
 

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


On dit qu'un entier naturel non nul \(N\) est un nombre triangulaire s'il existe un entier naturel \(n\) tel que : \(N = 1+2+ \ldots + n\). Par exemple, 10 est un nombre triangulaire car \(10 = 1 + 2 + 3 + 4\). Le but de ce problème est de déterminer des nombres triangulaires qui sont les carrés d'un entier.
On rappelle que, pour tout entier naturel non nul \(n\), on a : \[ 1 + 2 + \ldots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}.\]
Partie A : nombres triangulaires et carrés d'entiers

  1. Montrer que \(36\) est un nombre triangulaire, et qu'il est aussi le carré d'un entier.
    1. Montrer que le nombre \(1 + 2 + \ldots + n\) est le carré d'un entier si et seulement s'il existe un entier naturel \(p\) tel que : \(n^2 + n - 2 p^2 = 0\).
    2. En déduire que le nombre \(1 + 2 + \ldots + n\) est le carré d'un entier si et seulement s'il existe un entier naturel \(p\) tel que : \((2n + 1)^2 - 8 p^2 = 1\).

Partie B : étude de l'équation diophantienne associée

On considère (E) l'équation diophantienne \[x^2 - 8 y^2 = 1,\]où \(x\) et \(y\) désignent deux entiers relatifs.
  1. Donner deux couples d'entiers naturels inférieurs à 10 qui sont solution de (E).
  2. Démontrer que, si un couple d'entiers relatifs non nuls \((x~;~y)\) est solution de (E), alors les entiers relatifs \(x\) et \(y\) sont premiers entre eux.

Partie C : lien avec le calcul matriciel

Soit \(x\) et \(y\) deux entiers relatifs. On considère la matrice \(A = \begin{pmatrix}3&8\\1&3\end{pmatrix}\). On définit les entiers relatifs \(x'\) et \(y'\) par l'égalité : \(\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\).
  1. Exprimer \(x'\) et \(y'\) en fonction de \(x\) et de \(y\).
  2. Déterminer la matrice \(A^{-1}\), puis exprimer \(x\) et \(y\) en fonction de \(x'\) et \(y'\).
  3. Démontrer que \((x~;~y)\) est solution de (E) si et seulement si \((x'~;~y')\) est solution de (E).
  4. On considère les suites \(\left(x_n\right)\) et \(\left(y_n\right)\) définies par \(x_0 = 3\), \(y_0 = 1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}\). On admet que, ainsi définis, les nombres \(x_n\) et \(y_n\) sont des entiers naturels pour toute valeur de l'entier \(n\). Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), le couple \(\left(x_n~;~y_n\right)\) est solution de (E).

Partie D : retour au problème initial

À l'aide des parties précédentes, déterminer un nombre triangulaire supérieur à 2015 qui est le carré d'un entier.
 

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


On dit qu'un entier naturel non nul \(N\) est un nombre triangulaire s'il existe un entier naturel \(n\) tel que : \(N = 1+2+ \ldots + n\). Par exemple, 10 est un nombre triangulaire car \(10 = 1 + 2 + 3 + 4\). Le but de ce problème est de déterminer des nombres triangulaires qui sont les carrés d'un entier.
On rappelle que, pour tout entier naturel non nul \(n\), on a : \[ 1 + 2 + \ldots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}.\]

Partie A : nombres triangulaires et carrés d'entiers

 

  1. Montrer que \(36\) est un nombre triangulaire, et qu'il est aussi le carré d'un entier.
  2. \(36 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +6 + 7 + 8\)
    Donc \(36\) est un nombre triangulaire.
    De plus \(36 = 6^2\) c’est également le carré d’un entier.
    \(36\) est un nombre triangulaire, et est aussi le carré d'un entier.

    1. Montrer que le nombre \(1 + 2 + \ldots + n\) est le carré d'un entier si et seulement s'il existe un entier naturel \(p\) tel que : \(n^2 + n - 2 p^2 = 0\).
    2. \(1 + 2 + \ldots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}\).
      Par conséquent \(1 + 2 + \ldots + n\) est le carré d’un entier si, et seulement s’il existe un entier naturel \(p\) tel que :
      \(\dfrac{n(n+1)}{2} = p^2 \iff n(n+1) = 2p^2 \iff n^2 + n – 2p^2 = 0\).
    3. En déduire que le nombre \(1 + 2 + \ldots + n\) est le carré d'un entier si et seulement s'il existe un entier naturel \(p\) tel que : \((2n + 1)^2 - 8 p^2 = 1\).
    4. \[\begin{array}{rl} n^2+n-2p^2 = 0 & \iff 4\left(n^2 + n – 2p^2\right) = 0\\ & \iff 4n^2 + 4n – 8p^2 = 0\\ & \iff 4n^2 + 4n + 1 – 1 – 8p^2 = 0\\ & \iff (2n + 1)^2 – 1 – 8p^2 = 0\\ & \iff (2n+1)^2 – 8p^2 = 1 \end{array}\]
      Donc le nombre \(1 + 2 +\ldots + n\) est le carré d’un entier si, et seulement s’il existe un entier naturel \(p\) tel que \((2n+1)^2 – 8p^2 = 1\).


 

Partie B : étude de l'équation diophantienne associée


On considère (E) l'équation diophantienne \[x^2 - 8 y^2 = 1,\]où \(x\) et \(y\) désignent deux entiers relatifs.

  1. Donner deux couples d'entiers naturels inférieurs à 10 qui sont solution de (E).
  2. \(3^2 – 8\times 1^2 = 9 – 8 = 1\). Le couple \((3;1)\) est donc solution de \((E)\).
    \(1^2 – 8 \times 0^2 = 1\). Le couple \((1;0)\) est donc solution de \((E)\).
  3. Démontrer que, si un couple d'entiers relatifs non nuls \((x~;~y)\) est solution de (E), alors les entiers relatifs \(x\) et \(y\) sont premiers entre eux.
  4. Soit \((x;y)\) un couple de solution de \((E)\) alors
    \(x^2 – 8y^2 = 1\).
    D’après le théorème de Bezout, les nombres \(x^2\) et \(y^2\) sont donc premiers entre eux.
    Supposons que \(a\) soit un diviseur commun à \(x\) et \(y\).
    Alors \(a\) divise également \(x\times x = x^2\) et \(y \times y = y^2\).
    Or ces deux nombres sont premiers entre eux.
    Par conséquent \(x\) et \(y\) le sont également.

 

Partie C : lien avec le calcul matriciel


Soit \(x\) et \(y\) deux entiers relatifs. On considère la matrice \(A = \begin{pmatrix}3&8\\1&3\end{pmatrix}\). On définit les entiers relatifs \(x'\) et \(y'\) par l'égalité : \(\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\).

  1. Exprimer \(x'\) et \(y'\) en fonction de \(x\) et de \(y\).
  2. \(\quad\)
    \(\begin{pmatrix} x’ \\y’ \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x + 8y \\x+ 3y \end{pmatrix}\)
    Donc \(x’= 3x + 8y\) et \(y’ = x + 3y\).
  3. Déterminer la matrice \(A^{-1}\), puis exprimer \(x\) et \(y\) en fonction de \(x'\) et \(y'\).
  4. \(A^{-1} = \dfrac{1}{9 – 8} \begin{pmatrix} 3 &-8 \\-1& 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 &-8 \\-1& 3\end{pmatrix}\).
    \(\quad\)
    On a ainsi \(\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} x’ \\y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x’ – 8y’ \\-x’+ 3y’ \end{pmatrix}\)
    Donc \(x= 3x’ – 8y’\) et \(y = -x’ + 3y\).
  5. Démontrer que \((x~;~y)\) est solution de (E) si et seulement si \((x'~;~y')\) est solution de (E).
  6. Supposons que \((x;y)\) soit solution de \((E)\) alors :
    \[\begin{array}{rl} x’^2 – 8y’^2 &= (3x+8y)^2 – 8(x+3y)^2\\ &= 9x^2 +48xy + 64y^2 – 8x^2 -48xy -72y^2\\ &= x^2 – 8y^2\\ & = 1
    \end{array}\]
    Ainsi \((x';y’)\) est également solution de \((E)\).
    \(\quad\)
    Réciproquement, supposons que \((x';y’)\) soit solution de \((E)\) alors :
    \[\begin{array}{rl} x^2-8y^2 & = (3x’-8y’)^2 – 8(-x’+3y’)^2\\ & = 9x’^2 – 48x’y’ + 64y’^2 – 8x’^2 + 48x’y’ – 72y’^2\\ &= x’^2 – 8y’^2\\ &= 1
    \end{array}\]
    Ainsi \((x;y)\) est également solution de \((E)\).
  7. On considère les suites \(\left(x_n\right)\) et \(\left(y_n\right)\) définies par \(x_0 = 3\), \(y_0 = 1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}\). On admet que, ainsi définis, les nombres \(x_n\) et \(y_n\) sont des entiers naturels pour toute valeur de l'entier \(n\). Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), le couple \(\left(x_n~;~y_n\right)\) est solution de (E).
  8. Initialisation :
    si \(n=0\) alors \(x_0=3\) et \(y_0 = 1\)
    D’après la question B.1 le couple \((3;1)\) est solution de l’équation \((E)\).
    Ainsi la propriété est vraie au rang \(0\).
    \(\quad\)
    Hérédité :
    Supposons la propriété vraie au rang \(n\): \((x_n;y_n)\) est solution de \((E)\).
    Alors d’après la question C.3 le couple \((x';y’)\) défini par \(\begin{pmatrix} x’ \\y’ \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}\) est également solution de \((E)\).
    Donc \((x_{n+1};y_{n+1})\) est solution de \((E)\).
    La propriété est vraie au rang \(n+1\).
    \(\quad\)
    Conclusion :
    La propriété est vraie au rang \(0\) et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel \(n\), le couple \((x_n;y_n)\) est solution de \((E)\).

 

Partie D : retour au problème initial

 

À l'aide des parties précédentes, déterminer un nombre triangulaire supérieur à 2015 qui est le carré d'un entier.

\(N = 1 + 2 + \ldots + n\) est un nombre triangulaire supérieur à \(2~015\) et également le carré d’un entier alors il vérifie \(N \ge 2~015\) et \((2n +1)^2 – 8p^2 = 1\).
Si on prend \(n \geq 2~015\) alors la condition \(N \ge  2015\) est évidemment vérifiée.
Par conséquent \(2n+1 \ge 4031\).
On utilise la suite de couple \((x_n;y_n)\) définie dans la partie précédente. On cherche un couple tel que \(x_n \geq 4031\).

On obtient les couples suivants :

\((17;6)\)
\((99;35)\)
\((577;204)\)
\((3~363;1~189)\)
\((19~601;6~930)\)

Ainsi \(2n + 1 = 19~601\) soit \(n= 9~800\).

On a alors \(N = \dfrac{n(n+1)}{2} = 48~0824~900\) est un nombre triangulaire. De plus \(N\) est le carré de \(6~930\).
Ce n’est, cependant, pas le plus petit nombre cherché.

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