Baccalauréat S Amérique du Nord 2 juin 2015 : Spécialité

oui
non
S
Année 2015
Amérique du Nord
Spécialité
Calcul matriciel

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


On donne les matrices \(M = \begin{pmatrix}1& 1& 1\\1 &- 1& 1\\ 4 &2& 1\end{pmatrix}\) et \(I = \begin{pmatrix}1 &0& 0\\0& 1& 0\\ 0 &0 &1\end{pmatrix}\).
Partie A
  1. Déterminer la matrice \(M^2\). On donne \(M^3 = \begin{pmatrix}20& 10& 11\\12& 2& 9\\42& 20& 21 \end{pmatrix}\).
  2. Vérifier que \(M^3 = M^2 + 8M + 6I\).
  3. En déduire que \(M\) est inversible et que \(M^{-1} = \dfrac{1}{6} \left(M^2 - M - 8I\right)\).

Partie B Étude d'un cas particulier
On cherche à déterminer trois nombres entiers \(a\), \(b\) et \(c\) tels que la parabole d'équation \(y = ax^2 + bx + c\) passe par les points A(1;1), B\(( -1;-1)\) et C(2;5).
  1. Démontrer que le problème revient à chercher trois entiers \(a\), \(b\) et \(c\) tels que \[M\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\- 1\\5\end{pmatrix}.\]
  2. Calculer les nombres \(a\), \(b\) et \(c\) et vérifier que ces nombres sont des entiers.

Partie C Retour au cas général
Les nombres \(a\), \(b\), \(c\), \(p\), \(q\), \(r\) sont des entiers. Dans un repère \(\left(\text{O},\vec{i},\vec{j}\right)\), on considère les points A\((1;p)\), B\(( - 1;q)\) et C\((2;r)\). On cherche des valeurs de \(p\), \(q\) et \(r\) pour qu'il existe une parabole d'équation \(y = ax^2 + bx + c\) passant par A, B et C.
  1. Démontrer que si \(\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}= M^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\\r\end{pmatrix}\). avec \(a\), \(b\) et \(c\) entiers. alors \[\left\{\begin{array}{l c l}- 3p + q + 2r&\equiv &0\:[6]\\ 3p-3q &\equiv &0 \:[6]\\ 6p + 2q-2r &\equiv & 0\: [6] \end{array}\right.\]
  2. En déduire que \(\left\{\begin{array}{l c l} q- r &\equiv& 0 \:[3]\\ p - q &\equiv& 0 \:[2]\end{array}\right.\).
  3. Réciproquement, on admet que si \(\left\{\begin{array}{l c l}q- r&\equiv& 0 \:[3]\\ p - q &\equiv& 0\: [2] \\ \text{A, B, C }& \text{ne sont}&\text{ pas alignés } \end{array}\right.\)alors il existe trois entiers \(a\), \(b\) et \(c\) tels que la parabole d'équation \(y = ax^2 + bx + c\) passe par les points A, B et C.
    1. Montrer que les points A, B et C sont alignés si et seulement si \(2r + q - 3p = 0\).
    2. On choisit \(p = 7\). Déterminer des entiers \(q\), \(r\), \(a\), \(b\) et \(c\) tels que la parabole d'équation \(y = ax^2 + bx + c\) passe par les points A, B et C.
 

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


On donne les matrices \(M = \begin{pmatrix}1& 1& 1\\1 &- 1& 1\\ 4 &2& 1\end{pmatrix}\) et \(I = \begin{pmatrix}1 &0& 0\\0& 1& 0\\ 0 &0 &1\end{pmatrix}\).
Partie A
  1. Déterminer la matrice \(M^2\). On donne \(M^3 = \begin{pmatrix}20& 10& 11\\12& 2& 9\\42& 20& 21 \end{pmatrix}\).
  2. On obtient :
    \[M^2 = \begin{pmatrix}
    6 &2 &3 \\
    4 & 4 & 1 \\
    10 & 4 & 7
    \end{pmatrix}\]
  3. Vérifier que \(M^3 = M^2 + 8M + 6I\).
  4. \(\quad\)
    \(\begin{array} M^2 + 8M + 6I &= \begin{pmatrix}
    6 &2 &3 \\
    4 & 4 & 1 \\
    10 & 4 & 7
    \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
    8 &8 &8 \\
    8 & -8 & 8 \\
    32 & 16 & 8
    \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
    6 &0 &0 \\
    0 & 6 & 0 \\
    0 & 0 & 6
    \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix}
    20 &10 &11 \\
    12 & 2 & 9 \\
    12 & 20 & 21
    \end{pmatrix} \\ & = M^3
    \end{array}\)
  5. En déduire que \(M\) est inversible et que \(M^{-1} = \dfrac{1}{6} \left(M^2 - M - 8I\right)\).
  6. On a ainsi :
    \[\begin{array}{rl} M^3 = M^2 + 8M + 6I & \iff M^3 – M^2 – 8M = 6I \\ & \iff M\left(M^2 – M – 8I\right) = 6I \\ & \iff M \times \dfrac{1}{6} \left(M^2 – M – 8I\right) = I \end{array}\]
    Ainsi \(M\) est inversible d’inverse \(\dfrac{1}{6} \left(M^2 – M – 8I\right)\).

Partie B Étude d'un cas particulier
On cherche à déterminer trois nombres entiers \(a\), \(b\) et \(c\) tels que la parabole d'équation \(y = ax^2 + bx + c\) passe par les points A(1;1), B\(( -1;-1)\) et C(2;5).
  1. Démontrer que le problème revient à chercher trois entiers \(a\), \(b\) et \(c\) tels que \[M\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\- 1\\5\end{pmatrix}.\]
  2. Les points \(A\), \(B\) et \(C\) appartiennent à la parabole. Leurs coordonnées vérifient donc l’équation \(y=ax^2+bx+c\).
    On obtient ainsi :
    \(\begin{cases} a + b + c = 1 \\ a – b + c = -1 \\ 4a + 2b+ c = 5 \end{cases}\) \(\iff \begin{pmatrix}
    1 &1 &1 \\
    1 & -1 & 1 \\
    4 & 2 & 1
    \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\b\\c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\-1\\5\end{pmatrix}\)
    \(\quad\)
  3. Calculer les nombres \(a\), \(b\) et \(c\) et vérifier que ces nombres sont des entiers.
  4. On a ainsi \(\begin{pmatrix} a \\b\\c\end{pmatrix} = M^{-1}\begin{pmatrix} 1 \\-1\\5\end{pmatrix}\).
    \(\quad\)
    Or \(M^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ 1 & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix}\)
    \(\quad\)
    Par conséquent \(M^{-1}\begin{pmatrix} 1 \\-1\\5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\1 \\-1 \end{pmatrix}\)
    \(\quad\)

Partie C Retour au cas général
Les nombres \(a\), \(b\), \(c\), \(p\), \(q\), \(r\) sont des entiers. Dans un repère \(\left(\text{O},\vec{i},\vec{j}\right)\), on considère les points A\((1;p)\), B\(( - 1;q)\) et C\((2;r)\). On cherche des valeurs de \(p\), \(q\) et \(r\) pour qu'il existe une parabole d'équation \(y = ax^2 + bx + c\) passant par A, B et C.
  1. Démontrer que si \(\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}= M^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\\r\end{pmatrix}\). avec \(a\), \(b\) et \(c\) entiers. alors \[\left\{\begin{array}{l c l}- 3p + q + 2r&\equiv &0\:[6]\\ 3p-3q &\equiv &0 \:[6]\\ 6p + 2q-2r &\equiv & 0\: [6] \end{array}\right.\]
  2. \(\quad\)
    \[\begin{array}{rl} \begin{pmatrix} a \\b\\c \end{pmatrix} = M^{-1} \begin{pmatrix} p \\q\\r \end{pmatrix} & \iff \begin{pmatrix} a \\b\\c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
    -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ 1 & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p \\q\\r \end{pmatrix} \\ & \iff \begin{cases} -\dfrac{1}{2}p + \dfrac{1}{6}q + \dfrac{1}{3}r = a \\ \dfrac{1}{2}p – \dfrac{1}{2}q = b \\ a + \dfrac{1}{3}q – \dfrac{1}{3}r = c \end{cases} \\ & \iff \begin{cases} -3p + q + 2r = 6a \\ 3p – 3q = 6b \\ 6p + 2q – 2r = 6c
    \end{cases} \\ &\Rightarrow
    \begin{cases} -3p +q + 2r \equiv 0 ~[6] \\ 3p-3q \equiv 0 ~[6] \\ 6p + 2q – 2r \equiv 0 ~[6]
    \end{cases}
    \end{array}\]
    \(\quad\)
  3. En déduire que \(\left\{\begin{array}{l c l} q- r &\equiv& 0 \:[3]\\ p - q &\equiv& 0 \:[2]\end{array}\right.\).
  4. On considère l’équation \(3p – 3q \equiv 0~[6]\) \(\iff 3(p – q) \equiv 0 ~[6]\).
    Puisque \(3(p-q)\) est un multiple de \(6\), cela signifie donc que \(p-q\) doit être un multiple de \(2\) et par conséquent \(p-q \equiv 0~[2]\).
    Si, à partir du système précédent, on effectue le calcul \(2L_1 + L_3\) on obtient :
    \(4q + 2r \equiv 0 ~[6]\) \(\iff 2(2q+r) \equiv 0~[6]\)
    Par conséquent \(2q + r \equiv 0 ~[3]\) or \(2 \equiv -1 ~[3]\).
    On a ainsi \(-q+r \equiv 0~[3]\) soit \(q-r \equiv 0~[3]\)
    Donc
    \[\begin{cases} q-r \equiv 0~[3] \\ p-q \equiv 0~[2] \end{cases}\]
  5. Réciproquement, on admet que si \(\left\{\begin{array}{l c l}q- r&\equiv& 0 \:[3]\\ p - q &\equiv& 0\: [2] \\ \text{A, B, C }& \text{ne sont}&\text{ pas alignés } \end{array}\right.\) alors il existe trois entiers \(a\), \(b\) et \(c\) tels que la parabole d'équation \(y = ax^2 + bx + c\) passe par les points A, B et C.
    1. Montrer que les points A, B et C sont alignés si et seulement si \(2r + q - 3p = 0\).
    2. \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés si, et seulement si, \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires.
      Or \(\vec{AB}(-2;q-p)\) et \(\vec{AC}(1;r-p)\)
      Mais ces deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si :
      \(-2(r-p) = q-p\) \(\iff -2r +2p = q-p\) \( \iff 2r+q-3p = 0 \)
    3. On choisit \(p = 7\). Déterminer des entiers \(q\), \(r\), \(a\), \(b\) et \(c\) tels que la parabole d'équation \(y = ax^2 + bx + c\) passe par les points A, B et C.
    4. Puisque \(p=7\) et que \(p – q \equiv 0~[2]\) cela signifie qu’il existe \(k\in \mathbb Z\) tel que \(q = 7+2k\).
      Puisque \(q – r \equiv 0 ~[3]\) alors il existe \(k’ \in \mathbb Z\) tel que \(r=q + 3k’ = 7 + 2k + 3k’\).
      Il ne faut pas que \(2r + q – 3p = 0\)
      \( \iff 14 + 4k + 6k’ + 7 + 2k – 21 = 0\)
      \( \iff 6(k+k’) = 0\)
      \(\iff k’ = -k\).
      Prenons par exemple \(k=1\) alors \(k’ = 1\)
      On obtient ainsi \(q= 9\), \(r = 12\)
      En utilisant \(\begin{pmatrix} a \\b\\c \end{pmatrix} = M^{-1} \begin{pmatrix} p \\q\\r \end{pmatrix} \) on trouve :
      \[a=2 \qquad b = -1 \qquad c =6\]

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