Baccalauréat S Liban 27 mai 2015 : Spécialité

oui
non
S
Année 2015
Spécialité
Calcul matriciel

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Un fumeur décide d'arrêter de fumer. On choisit d'utiliser la modélisation suivante :

  • s'il ne fume pas un jour donné, il ne fume pas le jour suivant avec une probabilité de 0,9 ;
  • s'il fume un jour donné, il fume le jour suivant avec une probabilité de 0,6.

On appelle \(p_n\) la probabilité de ne pas fumer le \(n\)-ième jour après sa décision d'arrêter de fumer et \(q_n\), la probabilité de fumer le \(n\)-ième jour après sa décision d'arrêter de fumer. On suppose que \(p_0 = 0\) et \(q_0 = 1\).

  1. Calculer \(p_1\) et \(q_1\).
  2. On utilise un tableur pour automatiser le calcul des termes successifs des suites \(\left(p_n\right)\) et \(\left(q_n\right)\). Une copie d'écran de cette feuille de calcul est fournie ci-dessous : \[ \begin {array}{|c|c|c|c|c|}\hline &A &B &C &D\\ \hline 1 &n &p_n &q_n &\\ \hline 2 &0 &0 &1 &\\ \hline 3 &1 & & &\\ \hline 4 &2 & & &\\ \hline 5 &3 & & &\\ \hline \end {array} \]Dans la colonne A figurent les valeurs de l'entier naturel \(n\). Quelles formules peut-on écrire dans les cellules B3 et C3 de façon qu'en les recopiant vers le bas, on obtienne respectivement dans les colonnes B et C les termes successifs des suites \(\left(p_n\right)\) et \(\left(q_n\right)\) ?
  3. On définit les matrices \(M\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(X_n\) par \[M = \begin{pmatrix}0,9& 0,4\\0,1& 0,6\end{pmatrix}\quad \text{et}\quad X_n = \begin{pmatrix}p_n\\q_n \end{pmatrix}.\]On admet que \(X_{n+1} = M \times X_n\) et que, pour tout entier naturel \(n\),\: \(X_n = M^n \times X_0\). On définit les matrices \(A\) et \(B\) par \(A = \begin{pmatrix}0,8&0,8\\0,2&0,2\end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix}0,2& - 0,8\\- 0,2&0,8\end{pmatrix}\).
    1. Démontrer que \(M = A + 0,5B\).
    2. Vérifier que \(A^2 = A\), et que \(A \times B = B \times A = \begin{pmatrix}0& 0\\0& 0\end{pmatrix}\). On admet dans la suite que, pour tout entier naturel \(n\) strictement positif, \(A^n = A\) et \(B^n = B\).
    3. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\),  \(M^n = A + 0,5^n B\).
    4. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\)  \(p_n = 0,8 - 0,8 \times 0,5^n\).
    5. À long terme, peut-on affirmer avec certitude que le fumeur arrêtera de fumer ?
 

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Un fumeur décide d'arrêter de fumer. On choisit d'utiliser la modélisation suivante :

  • s'il ne fume pas un jour donné, il ne fume pas le jour suivant avec une probabilité de 0,9 ;
  • s'il fume un jour donné, il fume le jour suivant avec une probabilité de 0,6.

On appelle \(p_n\) la probabilité de ne pas fumer le \(n\)-ième jour après sa décision d'arrêter de fumer et \(q_n\), la probabilité de fumer le \(n\)-ième jour après sa décision d'arrêter de fumer. On suppose que \(p_0 = 0\) et \(q_0 = 1\).

  1. Calculer \(p_1\) et \(q_1\).
  2. On a \(p_1 = 0,9p_0 + 0,4q_0 = 0,4\) et \(q_1 = 1 – p_1 = 0,6\).
  3. On utilise un tableur pour automatiser le calcul des termes successifs des suites \(\left(p_n\right)\) et \(\left(q_n\right)\). Une copie d'écran de cette feuille de calcul est fournie ci-dessous : \[ \begin {array}{|c|c|c|c|c|}\hline &A &B &C &D\\ \hline 1 &n &p_n &q_n &\\ \hline 2 &0 &0 &1 &\\ \hline 3 &1 & & &\\ \hline 4 &2 & & &\\ \hline 5 &3 & & &\\ \hline \end {array} \]Dans la colonne A figurent les valeurs de l'entier naturel \(n\). Quelles formules peut-on écrire dans les cellules B3 et C3 de façon qu'en les recopiant vers le bas, on obtienne respectivement dans les colonnes B et C les termes successifs des suites \(\left(p_n\right)\) et \(\left(q_n\right)\) ?
  4. En \(B3\) on peut écrire : \(=0,9*B2+0,4*C2\) et en \(C3\) on peut écrire \(=1-B3\).
  5. On définit les matrices \(M\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(X_n\) par \[M = \begin{pmatrix}0,9& 0,4\\0,1& 0,6\end{pmatrix}\quad \text{et}\quad X_n = \begin{pmatrix}p_n\\q_n \end{pmatrix}.\]On admet que \(X_{n+1} = M \times X_n\) et que, pour tout entier naturel \(n\),\: \(X_n = M^n \times X_0\). On définit les matrices \(A\) et \(B\) par \(A = \begin{pmatrix}0,8&0,8\\0,2&0,2\end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix}0,2& - 0,8\\- 0,2&0,8\end{pmatrix}\).
    1. Démontrer que \(M = A + 0,5B\).
    2. \(\begin{align*} A+0,5B &= \begin{pmatrix} 0,8&0,8 \\0,2& 0,2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0,1&-0,4\\-0,1&0,4 \end{pmatrix}\\
      &= \begin{pmatrix} 0,9&0,4 \\0,1&0,6 \end{pmatrix}\\
      &= M
      \end{align*}\)
    3. Vérifier que \(A^2 = A\), et que \(A \times B = B \times A = \begin{pmatrix}0& 0\\0& 0\end{pmatrix}\). On admet dans la suite que, pour tout entier naturel \(n\) strictement positif, \(A^n = A\) et \(B^n = B\).
    4. \(A^2 = \begin{pmatrix} 0,8^2 + 0,8 \times 0,2&0,8^2 + 0,8 \times 0,2 \\0,8\times 0,2 + 0,2^2&0,2\times 0,8 + 0,2^2\end{pmatrix}\) \(=\begin{pmatrix} 0,8 & 0,8 \\0,2&0,2\end{pmatrix}\) \(=A\).
      \(\quad\)
      \(A \times B = \begin{pmatrix} 0,8 \times 0,2 – 0,8 \times 0,2 & -0,8^2+0,8^2 \\0,2^2 – 0,2^2 & -0,8 \times 0,2 + 0,2 \times 0,8\end{pmatrix}\) \(=\begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix}\)
      \(\quad\)
      \(B \times A = \begin{pmatrix} 0,2 \times 0,8 – 0,8 \times 0,2 & 0,2 \times 0,8 – 0,8\times 0,2 \\-0,2 \times 0,8 + 0,2 \times 0,8 & -0,2 \times 0,8 + 0,2 \times 0,8 \end{pmatrix}\) \(=\begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix}\).
      \(\quad\)
    5. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\),  \(M^n = A + 0,5^n B\).
    6. Montrons le résultat par récurrence.
      Initialisation : si \(n=0\) alors \(M^0 = \text{Id}\) et \(A+0,5^0B = A+B = \text{Id}\)
      La propriété est donc vraie au rang \(0\)
      \(\quad\)
      Hérédité : supposons la propriété vraie au rang \(n\) : \(M^n=A+0,5^nB\).
      \(\begin{align*} M^{n+1} &= M \times M^n\\ &=(A+0,5B)\left(A + 0,5^nB\right)\\ &=A^2 +0,5^nAB + 0,5AB + 0,5^{n+1}B\\ &= A+0,5^{n+1}B \end{align*}\)
      La propriété est donc vraie au rang \(n+1\)
      \(\quad\)
      Conclusion : La propriété est vraie au rang \(0\) et est héréditaire. Par conséquent, pour tout entier naturel \(n\), on a \(M^n = A +0,5^nB\).
      \(\quad\)
    7. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\)  \(p_n = 0,8 - 0,8 \times 0,5^n\).
    8. On a \(X_n = M^n \times X_0\)
      Or \(M^n = \begin{pmatrix} 0,8 + 0,5^n \times 0,2&0,8 – 0,5^n \times 0,8 \\0,2 – 0,5 ^n \times 0,2 & 0,2 + 0,5^n \times 0,8 \end{pmatrix}\)
      Et \(X_0 = \begin{pmatrix} 0\\1\end{pmatrix}\)
      Donc \(p_n = 0,8 – 0,5^n \times 0,8\)
      \(\quad\)
    9. À long terme, peut-on affirmer avec certitude que le fumeur arrêtera de fumer ?
    10. \(\lim\limits_{n \to +\infty} 0,5^n = 0\) donc \(\lim\limits_{n \to +\infty} p_n = 0,8\).
      Le fumeur a donc de grande chance d’arrêter de fumer mais, puisque \(\lim\limits_{n \to +\infty} p_n \neq 1\), on ne peut pas l’affirmer avec certitude.
 

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