Bac S 2014 Centres étrangers Spécialité

oui
S
Année 2014
Centres étrangers
Spécialité
 

Spécialité  5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A : préliminaires

    1. Soient \(n\) et \(N\) deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2, tels que : \[n^2 \equiv N -1\quad \text{modulo}\: N.\]Montrer que : \(n \times n^3 \equiv 1 \quad \text{modulo}\:\: N\).
    2. Déduire de la question précédente un entier \(k_{1}\) tel que: \(5k_{1} \equiv 1\quad \text{modulo}\:\: 26\). On admettra que l'unique entier \(k\) tel que : \( 0 \leqslant k \leqslant 25\) et \(5k \equiv 1 \quad \text{modulo}\:\: 26\) vaut 21.
  1. On donne les matrices : \(A = \begin{pmatrix}4&1\\3&2\end{pmatrix},\: B = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 3&4\end{pmatrix},\: X = \begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}\) et \(Y = \begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}\).
    1. Calculer la matrice \(6A - A^2\).
    2. En déduire que \(A\) est inversible et que sa matrice inverse, notée \(A^{- 1}\), peut s'écrire sous la forme \(A^{-1} = \alpha I + \beta A\), ou \(\alpha\) et \(\beta\) sont deux réels que l'on déterminera.
    3. Vérifier que : \(B = 5A^{-1}\).
    4. Démontrer que si \(A X = Y\), alors \(5X = B Y\).

Partie B : procédure de codage

Coder le mot «   ET »  , en utilisant la procédure de codage décrite ci-dessous.

  • Le mot à coder est remplacé par la matrice \(X = \begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}\), où \(x_{1}\) est l'entier représentant la première lettre du mot et \(x_{2}\) l'entier représentant la deuxième, selon le tableau de correspondance ci-dessous : \[\begin{array}{}\hline A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M\\ \hline 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline \hline N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\ \hline 13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline \end{array}\]
  • La matrice \(X\) est transformée en la matrice \(Y = \begin{pmatrix}y_{1}\\ y_{2} \end{pmatrix}\) telle que : \(Y = AX\).
  • La matrice \(Y\) est transformée en la matrice \(R = \begin{pmatrix}r_{1}\\r_{2}\end{pmatrix}\), où \(r_{1}\) est le reste de la division euclidienne de \(y_{1}\) par 26 et \(r_{2}\) le reste de la division euclidienne de \(y_{2}\) par 26.
  • Les entiers \(r_{1}\) et \(r_{2}\) donnent les lettres du mot codé, selon le tableau de correspondance ci-dessus.

Exemple : «   OU »   (mot à coder) \(\to X \begin{pmatrix}14\\20\end{pmatrix} \to Y = \begin{pmatrix}76\\82\end{pmatrix} \to R = \begin{pmatrix}24\\4 \end{pmatrix} \to \) «   YE »   (mot codé).

Partie C : procédure de décodage

(on conserve les mêmes notations que pour le codage) Lors du codage, la matrice \(X\) a été transformée en la matrice \(Y = \begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}\) telle que : \(Y = A X\).

  1. Démontrer que : \(\left\{\begin{array}{l c l} 5x_{1} &=& \phantom{-}2y_{1} - y_{2}\\ 5x_{2} &=&- 3y_{1} + 4y_{2} \end{array}\right..\)
  2. En utilisant la question 1. b. de la \textbf{partie A}, établir que: \[\left\{\begin{array}{l c l} x_{1}&\equiv&16y_{1} + 5y_{2}\\ x_{2}&\equiv&15y_{1} + 6y_{2} \end{array}\right. \quad \text{modulo}\:\: 26\]
  3. Décoder le mot «   QP »  .
 

Spécialité  5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A : préliminaires

    1. Soient \(n\) et \(N\) deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2, tels que : \[n^2 \equiv N -1\quad \text{modulo}\: N.\]Montrer que : \(n \times n^3 \equiv 1 \quad \text{modulo}\:\: N\).
    2. \(n \times n^3 = \left(n^2 \right)^2 \equiv (N-1)^2 [N]\)
      Or \((N-1)^2 = N^2 - 2N + 1 \equiv 1 [N]\)
      Donc \(n \times n^3 \equiv 1 [N]\)
    3. Déduire de la question précédente un entier \(k_{1}\) tel que: \(5k_{1} \equiv 1\quad \text{modulo}\:\: 26\). On admettra que l'unique entier \(k\) tel que : \( 0 \leqslant k \leqslant 25\) et \(5k \equiv 1 \quad \text{modulo}\:\: 26\) vaut 21.
    4. \(5^2 = 25 \equiv 26 - 1 [26]\)
      Donc \(5 \times 5^3\equiv 1 [26]\)
      par conséquent \(k_1 = 5^3= 125\)
  1. On donne les matrices : \(A = \begin{pmatrix}4&1\\3&2\end{pmatrix},\: B = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 3&4\end{pmatrix},\: X = \begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}\) et \(Y = \begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}\).
    1. Calculer la matrice \(6A - A^2\).
    2. \(A^2 = \begin{pmatrix}19&6 \\18&7 \end{pmatrix}\)
      Donc \(6A - A^2 = \begin{pmatrix} 5&0 \\0&5 \end{pmatrix}\) \(=5I\)
    3. En déduire que \(A\) est inversible et que sa matrice inverse, notée \(A^{- 1}\), peut s'écrire sous la forme \(A^{-1} = \alpha I + \beta A\), ou \(\alpha\) et \(\beta\) sont deux réels que l'on déterminera.
    4. On a donc \( A(6I - A) = 5I\)
      La matrice \(A\) est donc inversible, d’inverse \(A^{-1} =\dfrac{1}{5}(6I - A)\)
    5. Vérifier que : \(B = 5A^{-1}\).
    6. \(6I - A = \begin{pmatrix} 2&-1\\-3&4 \end{pmatrix}\)
      Donc \(B = 5A^{-1}\).
    7. Démontrer que si \(A X = Y\), alors \(5X = B Y\).
    8. \[ \begin{array} AX=Y & \Leftrightarrow X=A^{-1}Y\\ & \Leftrightarrow X = \dfrac{1}{5}BY\\ &\Leftrightarrow 5X = BY \end{array} \]
Partie B : procédure de codage

Coder le mot «   ET »  , en utilisant la procédure de codage décrite ci-dessous.

  • Le mot à coder est remplacé par la matrice \(X = \begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}\), où \(x_{1}\) est l'entier représentant la première lettre du mot et \(x_{2}\) l'entier représentant la deuxième, selon le tableau de correspondance ci-dessous : \[\begin{array}{}\hline A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M\\ \hline 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline \hline N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\ \hline 13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline \end{array}\]
  • La matrice \(X\) est transformée en la matrice \(Y = \begin{pmatrix}y_{1}\\ y_{2} \end{pmatrix}\) telle que : \(Y = AX\).
  • La matrice \(Y\) est transformée en la matrice \(R = \begin{pmatrix}r_{1}\\r_{2}\end{pmatrix}\), où \(r_{1}\) est le reste de la division euclidienne de \(y_{1}\) par 26 et \(r_{2}\) le reste de la division euclidienne de \(y_{2}\) par 26.
  • Les entiers \(r_{1}\) et \(r_{2}\) donnent les lettres du mot codé, selon le tableau de correspondance ci-dessus.

Exemple : «   OU »   (mot à coder) \(\to X \begin{pmatrix}14\\20\end{pmatrix} \to Y = \begin{pmatrix}76\\82\end{pmatrix} \to R = \begin{pmatrix}24\\4 \end{pmatrix} \to \) «   YE »   (mot codé).

« ET » est remplacé par \(X = \begin{pmatrix} 4\\19 \end{pmatrix} \)
Donc \(Y = AX = \begin{pmatrix} 35\\50 \end{pmatrix}\)
Par conséquent \(R = \begin{pmatrix} 9\\24 \end{pmatrix}\)
Donc « ET » est codé par « JY »

Partie C : procédure de décodage

(on conserve les mêmes notations que pour le codage) Lors du codage, la matrice \(X\) a été transformée en la matrice \(Y = \begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}\) telle que : \(Y = A X\).

  1. Démontrer que : \(\left\{\begin{array}{l c l} 5x_{1} &=& \phantom{-}2y_{1} - y_{2}\\ 5x_{2} &=&- 3y_{1} + 4y_{2} \end{array}\right..\)

  2. \[\begin{array} Y = AX & \Leftrightarrow X = A^{-1}Y\\ &\Leftrightarrow 5X = BY\\ &\Leftrightarrow \begin{cases} 5x_1=2y_1-y_2\\5x_2=-3y_1+4y_2 \end{cases} \end{array}\]
  3. En utilisant la question 1. b. de la \textbf{partie A}, établir que: \[\left\{\begin{array}{l c l} x_{1}&\equiv&16y_{1} + 5y_{2}\\ x_{2}&\equiv&15y_{1} + 6y_{2} \end{array}\right. \quad \text{modulo}\:\: 26\]
  4. D’après la question 1.b de la partie A on a \(5 \times 21 \equiv 1 [26]\)
    Donc en multipliant les \(2\) lignes du système précédent par \(21\) on obtient :
    \[\begin{cases} 21 \times 5x_1=42y_1- 21y_2\\21 \times 5x_2=-63y_1+84y_2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_1 \equiv 16y_1+5y_2 [26]\\x_2 \equiv 15y_1+6y_2 [26] \end{cases}\]
  5. Décoder le mot «   QP »  .
  6. « QP » est associé à \(\begin{pmatrix} 16\\15 \end{pmatrix}\)
    Donc \[\begin{cases} x_1 \equiv 16y_1+5y_2 [26]\\x_2 \equiv 15y_1+6y_2 [26] \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_1 \equiv 331 [26]\\x_2 \equiv 330 [26] \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_1 = 19\\x_2 = 18 \end{cases}\]
    Le mot de départ est donc « TS »

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