Bac S 2014 Métropole Spécialité

oui
S
Année 2014
Métropole Juin
Spécialité

 

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Un pisciculteur dispose de deux bassins A et B pour l'élevage de ses poissons. Tous les ans à la même période :

  • il vide le bassin B et vend tous les poissons qu'il contenait et transfère tous les poissons du bassin A dans le bassin B ;
  • la vente de chaque poisson permet l'achat de deux petits poissons destinés au bassin A.
  • Par ailleurs, le pisciculteur achète en plus \(200\) poissons pour le bassin A et \(100\) poissons pour le bassin B.

Pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 1, on note respectivement \(a_{n}\) et \(b_{n}\) les effectifs de poissons des bassins A et B au bout de \(n\) années.
En début de première année, le nombre de poissons du bassin A est \(a_{0} = 200\) et celui du bassin B est \(b_{0} = 100\).

  1. Justifier que \(a_{1} = 400\) et \(b_{1} = 300\) puis calculer \(a^2\) et \(b^2\).
  2. On désigne par \(A\) et \(B\) les matrices telles que \(A = \begin{pmatrix}0&2\\1&0\end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix}200\\100\end{pmatrix}\) et pour tout entier naturel \(n\), on pose \(X_{n} = \begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}\).
    1. Expliquer pourquoi pour tout entier naturel \(n\), \(X_{n+1} = AX_{n} + B\).
    2. Déterminer les réels \(x\) et \(y\) tels que \(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} + B\).
    3. Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(Y_{n} = \begin{pmatrix}a_{n} + 400\\ b_{n} + 300\end{pmatrix}\). Démontrer que pour tout entier naturel \(n,\:\: Y_{n+1} = AY_{n}\).
  3. Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(Z_{n} = Y_{2n}\).
    1. Démontrer que pour tout entier naturel \(n,\: Z_{n+1} = A^2 Z_{n}\). En déduire que pour tout entier naturel \(n, Z_{n+1} = 2Z_{n}\).
    2. On admet que cette relation de récurrence permet de conclure que pour tout entier naturel \(n\), \[Y_{2n} = 2Z_{n}.\]En déduire que \(Y_{2n + 1} = 2^nY_{1}\) puis démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \[a_{2n} = 600 \times 2^n - 400\quad \text{et}\quad a_{2n+1} = 800 \times 2^n - 400.\]
  4. Le bassin A a une capacité limitée à  10 000  poissons.
    1. On donne l'algorithme suivant. \[\begin{array} {|l |l|}\hline \text{ Variables : } & a, p \text{ et } n \text{sont des entiers naturels.}\\ \text{Initialisation :}& \text{ Demander à l'utilisateur la valeur de } p.\\ \text{ Traitement : } &\text{ Si } p \text{ est pair }\\ &\begin{array}{|l} \text{ Affecter à } n \text{ la valeur } \dfrac{p}{2}\\ \text{ Affecter à a la valeur } 600 \times 2^n - 400.\\ \end{array}\\ &\text{ Sinon }\\ &\begin{array}{|l} \text{ Affecter à } n \text{ la valeur } \dfrac{p - 1}{2}\\ \text{ Affecter à } a \text{ la valeur } 800 \times 2^n - 400.\\ \end{array}\\ &\text{ Fin de Si. }\\ \text{ Sortie : } & \text{ Afficher } a.\\ \hline \end{array}\]Que fait cet algorithme ? Justifier la réponse.
    2. Écrire un algorithme qui affiche le nombre d'années pendant lesquelles le pisciculteur pourra utiliser le bassin A.

 

 

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Un pisciculteur dispose de deux bassins A et B pour l'élevage de ses poissons. Tous les ans à la même période :
  • il vide le bassin B et vend tous les poissons qu'il contenait et transfère tous les poissons du bassin A dans le bassin B ;
  • la vente de chaque poisson permet l'achat de deux petits poissons destinés au bassin A.
  • Par ailleurs, le pisciculteur achète en plus \(200\) poissons pour le bassin A et \(100\) poissons pour le bassin B.
Pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 1, on note respectivement \(a_{n}\) et \(b_{n}\) les effectifs de poissons des bassins A et B au bout de \(n\) années.
En début de première année, le nombre de poissons du bassin A est \(a_{0} = 200\) et celui du bassin B est \(b_{0} = 100\).
  1. Justifier que \(a_{1} = 400\) et \(b_{1} = 300\) puis calculer \(a^2\) et \(b^2\).

  2. On a \(a-1 = 2b_0+200 = 400\) et \(b_1 = a_0 + 100 = 300\)
    \(~\)
    \(a_2=2b_1+200 = 800\) et \(b_2 = a_1 + 100 = 400\)
    On a donc \(a_{n+1} = 2b_n+200\) et \(b_{n+1}=a_n+100\)
  3. On désigne par \(A\) et \(B\) les matrices telles que \(A = \begin{pmatrix}0&2\\1&0\end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix}200\\100\end{pmatrix}\) et pour tout entier naturel \(n\), on pose \(X_{n} = \begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}\).
    1. Expliquer pourquoi pour tout entier naturel \(n\), \(X_{n+1} = AX_{n} + B\).

    2. \[\begin{array} AX_n+B &= \begin{pmatrix}2b_n \\\\a_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}200\\\\100 \end{pmatrix} \\\\
      &= \begin{pmatrix} 2b_n+200 \\\\a_n + 100 \end{pmatrix} \\\\
      &=X_{n+1}
      \end{array}\]
    3. Déterminer les réels \(x\) et \(y\) tels que \(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} + B\).
    4. On cherche les valeurs de \((x;y)\) telles que :
      \[\begin{array}{cccc} \begin{cases} x=2y+200 \\\\y=x+100 \end{cases} & \Leftrightarrow \begin{cases} x=2y+200 \\\\y=2y+200+100 \end{cases} \\\\ & \Leftrightarrow \begin{cases} x=2y+200 \\\\ y=-300\end{cases} \\\\ & \Leftrightarrow \begin{cases} x=-400 \\\\ y=-300\end{cases} \end{array}\]
    5. Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(Y_{n} = \begin{pmatrix}a_{n} + 400\\ b_{n} + 300\end{pmatrix}\). Démontrer que pour tout entier naturel \(n,\:\: Y_{n+1} = AY_{n}\).

    6. \[\begin{array} Y_{n+1} &= \begin{pmatrix} a_{n+1}+400 \\\\b_{n+1}+300 \end{pmatrix} \\\\
      &= \begin{pmatrix} 2b_n+200 + 400 \\\\a_n+100 + 300 \end{pmatrix} \\\\
      &=\begin{pmatrix} 2(b_n + 300) \\\\a_n + 400 \end{pmatrix} \\\\
      &=AY_n
      \end{array}\]
  4. Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(Z_{n} = Y_{2n}\).
    1. Démontrer que pour tout entier naturel \(n,\: Z_{n+1} = A^2 Z_{n}\). En déduire que pour tout entier naturel \(n, Z_{n+1} = 2Z_{n}\).

    2. \(Z_{n+1} = Y_{2(n+1)} = Y_{2n+2} = AY_{2n+1} = A^2Y_{2n} = A^2Z_n\)
      \(~\)
      On a \(A^2 = 2I\) où \(I\) est la matrice identité.
      Par conséquent \(Z_{n+1}=2Z_n\).
    3. On admet que cette relation de récurrence permet de conclure que pour tout entier naturel \(n\), \[Y_{2n} = 2Z_{n}.\]En déduire que \(Y_{2n + 1} = 2^nY_{1}\) puis démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \[a_{2n} = 600 \times 2^n - 400\quad \text{et}\quad a_{2n+1} = 800 \times 2^n - 400.\]
    4. \(Y_{2n+1} = AY_{2n}=2^nAY_0= 2^nY_1\)
      Or \(Y_0 = \begin{pmatrix} 600\\\\400 \end{pmatrix}\) donc \(Y_{2n} = \begin{pmatrix} a_{2n} + 400\\\\b_{2n}+300 \end{pmatrix} = 2^n \begin{pmatrix} 600\\\\400 \end{pmatrix}\)
      Par conséquent \(a_{2n} = 600 \times 2^n – 400\)
      \(~\)
      \(Y_1 = \begin{pmatrix} 800\\\\600 \end{pmatrix}\) donc \(Y_{2n+1} = \begin{pmatrix} a_{2n+1} + 400\\\\b_{2n+1}+300 \end{pmatrix} = 2^n \begin{pmatrix} 800\\\\600 \end{pmatrix}\)
      Par conséquent \(a_{2n} = 800 \times 2^n – 400\)
  5. Le bassin A a une capacité limitée à 10 000 poissons.
    1. On donne l'algorithme suivant. \[\begin{array} {|l |l|}\hline \text{ Variables : } & a, p \text{ et } n \text{sont des entiers naturels.}\\ \text{Initialisation :}& \text{ Demander à l'utilisateur la valeur de } p.\\ \text{ Traitement : } &\text{ Si } p \text{ est pair }\\ &\begin{array}{|l} \text{ Affecter à } n \text{ la valeur } \dfrac{p}{2}\\ \text{ Affecter à a la valeur } 600 \times 2^n - 400.\\ \end{array}\\ &\text{ Sinon }\\ &\begin{array}{|l} \text{ Affecter à } n \text{ la valeur } \dfrac{p - 1}{2}\\ \text{ Affecter à } a \text{ la valeur } 800 \times 2^n - 400.\\ \end{array}\\ &\text{ Fin de Si. }\\ \text{ Sortie : } & \text{ Afficher } a.\\ \hline \end{array}\]Que fait cet algorithme ? Justifier la réponse.

    2. Si \(p\) est pair alors \(p = 2k\) par conséquent, dans l’algorithme, \(n=k\) et on calcule \(a_{2k}=a_p\) d’après la question précédente.
      Si \(p\) est impaire alors \(p=2k+1\) par conséquent, dans l’algorithme, \(n= \dfrac{p-1}{2} = k\) et on calcule \(a_{2k+1} = a_p\)d’après la question précédente.
      Dans tous les cas on calcule la population du bassin A au bout de \(p\) années.
    3. Écrire un algorithme qui affiche le nombre d'années pendant lesquelles le pisciculteur pourra utiliser le bassin A.
    4. \[\begin{array} {|l |l|}\hline \text{ Variables : } & a, p \text{ et } n \text{sont des entiers naturels.}\\ \text{Initialisation :}& p \text{ prend la valeur } 0.\\ & a \text{ prend la valeur } 200.\\ \text{ Traitement : } & \\ & \text{ Tant que : } a\leq 10 000 \\ & p \text{ prend la valeur } p+1 \\ \text{ Traitement : } &\text{ Si } p \text{ est pair }\\ &\begin{array}{|l} \text{ Affecter à } n \text{ la valeur } \dfrac{p}{2}\\ \text{ Affecter à a la valeur } 600 \times 2^n - 400.\\ \end{array} \\ &\text{ Sinon }\\ &\begin{array}{|l} \text{ Affecter à } n \text{ la valeur } \dfrac{p - 1}{2}\\ \text{ Affecter à } a \text{ la valeur } 800 \times 2^n - 400.\\ \end{array}\\ &\text{ Fin de Si. }\\ & \text{ Fin de Tant que. } \\ \text{ Sortie : } & \text{ Afficher } p.\\ \hline \end{array}\]

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