Baccalauréat S Asie 18 juin 2013 Spécialité

oui
non
S
Année 2013
Asie
Spécialité
Calcul matriciel
 

Exercice 4 5 points : Spécialité


Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité

Un logiciel permet de transformer un élément rectangulaire d'une photographie.

Ainsi, le rectangle initial OEFG est transformé en un rectangle OE\('\)F\('\)G\('\), appelé image de OEFG.


L'objet de cet exercice est d'étudier le rectangle obtenu après plusieurs transformations successives.
Partie A
Le plan est rapporté à un repère orthonormé \(\left(\text{O},  \vec{i}, \vec{j}\right)\).

Les points E, F et G ont pour coordonnées respectives (2 ; 2), \((-1 ; 5)\) et \((-3 ; 3)\).

La transformation du logiciel associe à tout point \(M(x ; y)\) du plan le point \(M'(x' ; y')\), image du point \(M\) tel que:
\[\left\{\begin{array}{l c l} x'&=&\dfrac{5}{4}x + \dfrac{3}{4}y\\ y'&=&\dfrac{3}{4}x + \dfrac{5}{4}y \end{array}\right.\]

    1. Calculer les coordonnées des points E\('\), F\('\) et G\('\), images des points E, F et G par cette transformation.
    2. Comparer les longueurs OE et OE\('\) d'une part, OG et OG\('\) d'autre part. Donner la matrice carrée d'ordre 2, notée \(A\), telle que: \(\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}= A \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}\).

Partie B
Dans cette partie, on étudie les coordonnées des images successives du sommet F du rectangle OEFG lorsqu'on applique plusieurs fois la transformation du logiciel.

  1. On considère l'algorithme suivant destiné à afficher les coordonnées de ces images successives. Une erreur a été commise. Modifier cet algorithme pour qu'il permette d'afficher ces coordonnées.
    \[\begin{array}{|c|l|}\hline \text{Entrée } &\text{ Saisir un entier naturel non nul } N\\ \hline \text{Initialisation }& \text{Affecter à x la valeur } - 1\\ &\text{ Affecter à }y \text{ la valeur 5 }\\ \hline \text{Traitement}&\text{ POUR } i \text{ allant de 1 à } N\\ &\text{Affecter à } a \text{ la valeur } \frac{5}{4} x + \frac{3}{4}y\\ &\text{Affecter à } b \text{ la valeur } \frac{3}{4}x + \frac{5}{4}y\\ &\text{Affecter à } x \text{ la valeur } a\\ &\text{Affecter à } y \text{ la valeur } b\\ &\text{FIN POUR}\\ \hline \text{Sortie} &\text{Afficher } x, \text{ afficher }y\\ \hline \end{array}\]

  2. On a obtenu le tableau suivant :
    \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline i &1 &2 &3 &4 &5 &10 &15\\ \hline x &2,5 &7,25 &15,625 &31,8125 &63,9063 &2047,9971 &65535,9999 \\ \hline y &5,5 &8,75 &16,375 &32,1875 &64,0938 &2048,0029 &65536,0001 \\ \hline \end{array}\]Conjecturer le comportement de la suite des images successives du point F.


Partie C

Dans cette partie, on étudie les coordonnées des images successives du sommet E du rectangle OEFG. On définit la suite des points \(E_{n}\left(x_{n} ; y_{n}\right)\) du plan par \(E_{0} =\) E et la relation de récurrence :
\[\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix},\]
où \(\left(x_{n+1} ; y_{n+1}\right)\) désignent les coordonnées du point \(E_{n+1}\).
Ainsi \(x_{0} = 2\) et \(y_{0} = 2\).

  1. On admet que, pour tout entier \(n \geqslant 1\), la matrice \(A^n\) peut s'écrire sous la forme : \(A^{n} = \begin{pmatrix}\alpha_{n}&\beta_{n}\\\beta_{n}&\alpha_{n}\end{pmatrix}\).
    Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n \geqslant 1\), on a : \[\alpha_{n} = 2^{n-1} + \dfrac{1}{2^{n+1}} \quad \text{et}\quad \beta_{n} = 2^{n-1} - \dfrac{1}{2^{n+1}}.\]
    1. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\), le point \(E_{n}\) est situé sur la droite d'équation \(y = x\). On pourra utiliser que, pour tout entier naturel \(n\), les coordonnées \(\left(x_{n} ; y_{n}\right)\) du point \(E_{n}\) vérifient :
      \[\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix} = A^n \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}.\]
    2. Démontrer que la longueur O\(E_{n}\) tend vers \(+ \infty\) quand \(n\) tend vers \(+ \infty\).
 

Exercice 4 5 points


Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité

Un logiciel permet de transformer un élément rectangulaire d'une photographie.

Ainsi, le rectangle initial OEFG est transformé en un rectangle OE\('\)F\('\)G\('\), appelé image de OEFG.


L'objet de cet exercice est d'étudier le rectangle obtenu après plusieurs transformations successives.
Partie A
Le plan est rapporté à un repère orthonormé \(\left(\text{O},  \vec{i}, \vec{j}\right)\).

Les points E, F et G ont pour coordonnées respectives (2 ; 2), \((-1 ; 5)\) et \((-3 ; 3)\).

La transformation du logiciel associe à tout point \(M(x ; y)\) du plan le point \(M'(x' ; y')\), image du point \(M\) tel que:
\[\left\{\begin{array}{l c l} x'&=&\dfrac{5}{4}x + \dfrac{3}{4}y\\ y'&=&\dfrac{3}{4}x + \dfrac{5}{4}y \end{array}\right.\]

    1. Calculer les coordonnées des points E\('\), F\('\) et G\('\), images des points E, F et G par cette transformation.
    2. Pour \(E’\) : \(\begin{cases} x’=\dfrac{5}{4} \times 2 + \dfrac{3}{4} \times 2 \\\\y’ = \dfrac{3}{4} \times 2 + \dfrac{5}{4} \times 2 \end{cases}\) \( \Leftrightarrow \begin{cases} x’=4 \\\\y’=4 \end{cases}\)
      Pour \(F’\) : \(\begin{cases} x’ = \dfrac{5}{4} \times (-1) + \dfrac{3}{4} \times 5 \\\\y’ = \dfrac{3}{4} \times (-1) + \dfrac{5}{4} \times 5 \end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} x’=2,5 \\\\y’=5,5 \end{cases}\)
      Pour \(G’\) : \(\begin{cases} x’ = \dfrac{5}{4} \times (-3) + \dfrac{3}{4} \times 3 \\\\y’ = \dfrac{3}{4} \times (-3) + \dfrac{5}{4} \times 3 \end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} x’=-1,5 \\\\y’=1,5 \end{cases}\)
      \(~\)
    3. Comparer les longueurs OE et OE\('\) d'une part, OG et OG\('\) d'autre part. Donner la matrice carrée d'ordre 2, notée \(A\), telle que: \(\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}= A \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}\).
    4. \(OE = \sqrt{2^2+2^2} = \sqrt{8}\) \(\quad OE’ = \sqrt{4^2+4^2} = \sqrt{32}\). Donc \(OE’ = 2OE\)
      \(OG = \sqrt{(-3)^2+3^2} = \sqrt{18}\) \(\quad OG’ = \sqrt{(-1,5)^2+1,5^2} = \sqrt{4,5}\). Donc \(OG = 2OG’\)
      On a donc : \(A = \begin{pmatrix} \dfrac{5}{4}&\dfrac{3}{4} \\\\ \dfrac{3}{4}&\dfrac{5}{4} \end{pmatrix}\)

Partie B
Dans cette partie, on étudie les coordonnées des images successives du sommet F du rectangle OEFG lorsqu'on applique plusieurs fois la transformation du logiciel.

  1. On considère l'algorithme suivant destiné à afficher les coordonnées de ces images successives. Une erreur a été commise. Modifier cet algorithme pour qu'il permette d'afficher ces coordonnées.
    \[\begin{array}{|c|l|}\hline \text{Entrée } &\text{ Saisir un entier naturel non nul } N\\ \hline \text{Initialisation }& \text{Affecter à x la valeur } - 1\\ &\text{ Affecter à }y \text{ la valeur 5 }\\ \hline \text{Traitement}&\text{ POUR } i \text{ allant de 1 à } N\\ &\text{Affecter à } a \text{ la valeur } \frac{5}{4} x + \frac{3}{4}y\\ &\text{Affecter à } b \text{ la valeur } \frac{3}{4}x + \frac{5}{4}y\\ &\text{Affecter à } x \text{ la valeur } a\\ &\text{Affecter à } y \text{ la valeur } b\\ &\text{FIN POUR}\\ \hline \text{Sortie} &\text{Afficher } x, \text{ afficher }y\\ \hline \end{array}\]

  2. On veut afficher les images successives. Pour cela, il faut intégrer dans la boucle « Pour », l’affiche de \(x\) et de \(y\).
    \(\ldots\)
    Affecter à \(x\) la valeur \(a\)
    Affecter à \(y\) la valeur \(b\)
    Afficher \(x\)
    Afficher \(y\)
    FIN POUR
    \(~\)
  3. On a obtenu le tableau suivant :
    \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline i &1 &2 &3 &4 &5 &10 &15\\ \hline x &2,5 &7,25 &15,625 &31,8125 &63,9063 &2047,9971 &65535,9999 \\ \hline y &5,5 &8,75 &16,375 &32,1875 &64,0938 &2048,0029 &65536,0001 \\ \hline \end{array}\]Conjecturer le comportement de la suite des images successives du point F.
  4. La suite constituée des abscisses des points semble être croissante et aurait pour limite \(+\infty\).
    Il en est de même pour les ordonnées.


Partie C

Dans cette partie, on étudie les coordonnées des images successives du sommet E du rectangle OEFG. On définit la suite des points \(E_{n}\left(x_{n} ; y_{n}\right)\) du plan par \(E_{0} =\) E et la relation de récurrence :
\[\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix},\]
où \(\left(x_{n+1} ; y_{n+1}\right)\) désignent les coordonnées du point \(E_{n+1}\).
Ainsi \(x_{0} = 2\) et \(y_{0} = 2\).

  1. On admet que, pour tout entier \(n \geqslant 1\), la matrice \(A^n\) peut s'écrire sous la forme : \(A^{n} = \begin{pmatrix}\alpha_{n}&\beta_{n}\\\beta_{n}&\alpha_{n}\end{pmatrix}\).
    Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n \geqslant 1\), on a : \[\alpha_{n} = 2^{n-1} + \dfrac{1}{2^{n+1}} \quad \text{et}\quad \beta_{n} = 2^{n-1} - \dfrac{1}{2^{n+1}}.\]
  2. Initialisation : Pour \(n=1\) : \(2^0+\dfrac{1}{2^2} = \dfrac{5}{4}\) et \(2^0 – \dfrac{1}{2^2} = \dfrac{3}{4}\)
    La propriété est donc vraie au rang \(1\).
    initialisation : Supposons la propriété vraie au rang \(n\).
    \(A^{n+1} = A \times A^n\)
    Alors \(\alpha_{n+1} = \dfrac{5}{4}\alpha_n+\dfrac{3}{4}\beta_n = \left(\dfrac{5}{4}+\dfrac{3}{4} \right)2^{n-1} + \left(\dfrac{5}{4} – \dfrac{3}{4} \right) \times \dfrac{1}{2^{n+1}}\) \(=2\times 2^{n-1} + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2^{n+1}} \) \(=2^n + \dfrac{1}{2^{n+2}}\).
    \(\beta_{n+1} = \dfrac{3}{4}\alpha_n+\dfrac{5}{4}\beta_n = \left(\dfrac{5}{4}+\dfrac{3}{4} \right)2^{n-1} + \left(\dfrac{3}{4} – \dfrac{5}{4} \right) \times \dfrac{1}{2^{n+1}}\) \(=2\times 2^{n-1} – \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2^{n+1}} \) \(=2^n – \dfrac{1}{2^{n+2}}\).
    La propriété est donc vraie au rang \(n+1\).
    Conclusion : La propriété est vraie au rang \(1\).
    En la supposant vraie au rang \(n\), elle reste vraie au rang suivant.
    Donc pour tout entier naturel \(n \ge 1\) on a : \(\alpha_n = 2^{n-1}+\dfrac{1}{2^{n+1}}\) et \(\beta_n = 2^{n-1} – \dfrac{1}{2^{n+1}}\).
    \(~\)
    1. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\), le point \(E_{n}\) est situé sur la droite d'équation \(y = x\). On pourra utiliser que, pour tout entier naturel \(n\), les coordonnées \(\left(x_{n} ; y_{n}\right)\) du point \(E_{n}\) vérifient :
      \[\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix} = A^n \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}.\]
    2. On a \(\begin{pmatrix}x_n \\\\y_n \end{pmatrix} =A^n \begin{pmatrix} 2\\\\2 \end{pmatrix}\).
      Donc \(x_n = 2\alpha_n + 2\beta_n\) et \(y_n=2\beta_n+2\alpha_n\) donc \(x_n=y_n\).
      \(~\)
    3. Démontrer que la longueur O\(E_{n}\) tend vers \(+ \infty\) quand \(n\) tend vers \(+ \infty\).
    4. \(OE_n = \sqrt{x_n^2+y_n^2}\). Or \(\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} 2^n = +\infty\) et \(\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1}{2^{n+1}} = 0\).
      Donc \[\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \alpha_n = \lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \beta_n = +\infty\]
      Par conséquent \[\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} x_n = \lim\limits_{n \rightarrow + \infty} y_n = +\infty\]
      Finalement :\[\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} OE_n = +\infty\]

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