Baccalauréat S Amérique du Sud 21 novembre 2013 : Spécialité

oui
non
S
Année 2013
Amérique du Sud
Spécialité
 

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Le gestionnaire d'un site web, composé de trois pages web numérotées de 1 à 3 et reliées entre elles par des liens hypertextes, désire prévoir la fréquence de connexion sur chacune de ses pages web.
Des études statistiques lui ont permis de s'apercevoir que :

  • Si un internaute est sur la page no 1, alors il ira, soit sur la page no 2 avec la probabilité \(\dfrac{1}{4}\), soit sur la page nosup> 3 avec la probabilité \(\dfrac{3}{4}\).

  • Si un internaute est sur la page no 2, alors, soit il ira sur la page no 1 avec la probabilité \(\dfrac{1}{2}\) soit il restera sur la page no 2 avec la probabilité \(\dfrac{1}{4}\), soit il ira sur la page no 3 avec la probabilité \(\dfrac{1}{4}\).

  • Si un internaute est sur la page no 3, alors, soit il ira sur la page no 1 avec la probabilité \(\dfrac{1}{2}\), soit il ira sur la page no 2 avec la probabilité \(\dfrac{1}{4}\),soit il restera sur la page no 3 avec la probabilité \(\dfrac{1}{4}\).


Pour tout entier naturel \(n\), on définit les évènements et les probabilités suivants :
\(A_{n}\) : «Après la \(n\)-ième navigation, l'internaute est sur la page no 1 » et on note \(a_{n} = P\left(A_{n}\right)\).

\(B_{n}\) : «Après la \(n\)-ième navigation, l'internaute est sur la page no 2 » et on note \(b_{n} = P\left(B_{n}\right)\).

\(C_{n}\) : «Après la \(n\)-ième navigation, l'internaute est sur la page no 3 » et on note \(c_{n} = P\left(C_{n}\right)\).

  1. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a \(a_{n+1} = \dfrac{1}{2} b_{n} + \dfrac{1}{2}c_{n}\).
    On admet que, de m\^eme, \(b_{n+1} = \dfrac{1}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}\) et \(c_{n+1} = \dfrac{3}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}\).
    Ainsi :
    \[\left\{\begin{array}{l c l} a_{n+1} &=& \dfrac{1}{2} b_{n} + \dfrac{1}{2}c_{n}\\ b_{n+1} &=& \dfrac{1}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}\\ c_{n+1} &=& \dfrac{3}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n} \end{array}\right.\]
  2. Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(U_{n} = \begin{pmatrix} a_{n}\\b_{n}\\c_{n}\end{pmatrix}\).
    \(U_{0} = \begin{pmatrix} a_{0}\\b_{0}\\c_{0}\end{pmatrix}\) représente la situation initiale, avec \(a_{0} + b_{0} + c_{0} = 1\).
    Montrer que, pour tout entier naturel \(n, U_{n+1} = MU_{n}\) où \(M\) est une matrice \(3 \times 3\) que l'on précisera.
    En déduire que, pour tout entier naturel \(n, U_{n} = M^nU_{0}\).
  3. Montrer qu'il existe une seule matrice colonne \(U =\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\) telle que : \(x + y + z = 1\) et \(MU = U\).
  4. Un logiciel de calcul formel a permis d'obtenir l'expression de \(M^n, n\) étant un entier naturel non nul :
    \[M^n = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} + \frac{\left( \frac{- 1}{2}\right)^n \times 2}{3}&\frac{1}{3} + \frac{\left( \frac{- 1}{2}\right)^n }{- 3}&\frac{1}{3} + \frac{\left(\frac{- 1}{2}\right)^n}{- 3}\\ \frac{1}{4}&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\ \frac{5}{12} + \frac{\left(-\left(\frac{- 1}{2}\right)^n\right) \times 2}{3}&\frac{5}{12} + \frac{-\left(\frac{- 1}{2}\right)^n}{-3}&\frac{5}{12} + \frac{-\left(\frac{- 1}{2}\right)^n }{- 3} \end{pmatrix}\]
    Pour tout entier naturel \(n\) non nul, exprimer \(a_{n},   b_{n}\) et \(c_{n}\) en fonction de \(n\). En déduire que les suites \(\left(a_{n}\right),   \left(b_{n}\right)\) et \(\left(c_{n}\right)\) convergent vers des limites que l'on précisera.
  5. Interpréter les résultats obtenus et donner une estimation des pourcentages de fréquentation du site à long terme.

 

 

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Le gestionnaire d'un site web, composé de trois pages web numérotées de 1 à 3 et reliées entre elles par des liens hypertextes, désire prévoir la fréquence de connexion sur chacune de ses pages web.
Des études statistiques lui ont permis de s'apercevoir que :

  • Si un internaute est sur la page no 1, alors il ira, soit sur la page no 2 avec la probabilité \(\dfrac{1}{4}\), soit sur la page nosup> 3 avec la probabilité \(\dfrac{3}{4}\).

  • Si un internaute est sur la page no 2, alors, soit il ira sur la page no 1 avec la probabilité \(\dfrac{1}{2}\) soit il restera sur la page no 2 avec la probabilité \(\dfrac{1}{4}\), soit il ira sur la page no 3 avec la probabilité \(\dfrac{1}{4}\).

  • Si un internaute est sur la page no 3, alors, soit il ira sur la page no 1 avec la probabilité \(\dfrac{1}{2}\), soit il ira sur la page no 2 avec la probabilité \(\dfrac{1}{4}\),soit il restera sur la page no 3 avec la probabilité \(\dfrac{1}{4}\).


Pour tout entier naturel \(n\), on définit les évènements et les probabilités suivants :
\(A_{n}\) : «Après la \(n\)-ième navigation, l'internaute est sur la page no 1 » et on note \(a_{n} = P\left(A_{n}\right)\).

\(B_{n}\) : «Après la \(n\)-ième navigation, l'internaute est sur la page no 2 » et on note \(b_{n} = P\left(B_{n}\right)\).

\(C_{n}\) : «Après la \(n\)-ième navigation, l'internaute est sur la page no 3 » et on note \(c_{n} = P\left(C_{n}\right)\).

  1. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a \(a_{n+1} = \dfrac{1}{2} b_{n} + \dfrac{1}{2}c_{n}\).
    On admet que, de m\^eme, \(b_{n+1} = \dfrac{1}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}\) et \(c_{n+1} = \dfrac{3}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}\).
    Ainsi :
    \[\left\{\begin{array}{l c l} a_{n+1} &=& \dfrac{1}{2} b_{n} + \dfrac{1}{2}c_{n}\\ b_{n+1} &=& \dfrac{1}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}\\ c_{n+1} &=& \dfrac{3}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n} \end{array}\right.\]
  2. Après la \((n+1)\)-ème navigation, si l’internaute est la page n°\(1\), à la \(n\)-ième navigation il était donc soit sur la page n° \(2\) soit sur la page n°\(3\).
    Par conséquent \(a_{n+1} = \dfrac{1}{2}b_n + \dfrac{1}{2}c_n\)
  3. Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(U_{n} = \begin{pmatrix} a_{n}\\b_{n}\\c_{n}\end{pmatrix}\).
    \(U_{0} = \begin{pmatrix} a_{0}\\b_{0}\\c_{0}\end{pmatrix}\) représente la situation initiale, avec \(a_{0} + b_{0} + c_{0} = 1\).
    Montrer que, pour tout entier naturel \(n, U_{n+1} = MU_{n}\) où \(M\) est une matrice \(3 \times 3\) que l'on précisera.
    En déduire que, pour tout entier naturel \(n, U_{n} = M^nU_{0}\).
  4. \(U_{n+1} = \left(\begin{array}{l} \dfrac{1}{2}b_n+\dfrac{1}{2}c_n \\\\ \dfrac{1}{4}a_n + \dfrac{1}{4}b_n + \dfrac{1}{4}c_n \\\\ \dfrac{3}{4}a_n + \dfrac{1}{4}b_n + \dfrac{1}{4}c_n \end{array} \right)\)
    \(U_{n+1} = \left( \begin{matrix} 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\\\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\\\ \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{matrix} \right) U_n = M\times U_n\) avec \(M = \left( \begin{matrix} 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\\\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\\\ \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{matrix} \right)\)
    Montrons par récurrence que \(U_n = M^nU_0\)
    Initialisation : si \(n=0\) alors \(U_0 = I U_0\) (où \(i\) est la matrice identité).
    La propriété est donc vraie au rang \(0\).
    Hérédité : supposons la propriété vraie au rang \(n\) : \(U_n = M^nU_0\).
    \(U_{n+1} = MU_n = MM^nU_0 = M^{n+1}U_0\).
    La propriété est donc vraie ua rang \(n+1\).
    Conclusion : La propriété est vraie au rang \(0\). En la supposant vraie au rang \(n\), elle est encore vraie au rang suivant.
    Par conséquent, pour tout entier naturel \(n\), \(U_n = M^n U_0\)
  5. Montrer qu'il existe une seule matrice colonne \(U =\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\) telle que : \(x + y + z = 1\) et \(MU = U\).
  6. Soit \(U = \left( \begin{matrix} x\\\\ y \\\\ z \end{matrix} \right)\) telle que \(x+y+z = 1\) et \(U = MU\).
    \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x+y+z=1 \\\\x = \frac{1}{2}y + \frac{1}{2}z \\\\y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}y + \frac{1}{4}z \\\\z = \frac{3}{4}x + \frac{1}{4}y + \frac{1}{4}z \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x+y+z=1 \\\\2x=y+z\\\\4y=x+y+z \\\\4z=3x+y+z\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} z=2x-y \\\\x+y+2x-y = 1\\\\x-3y+2x-y=0 \\\\3x+y-3(2x-y)=0 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} z=2x-y \\\\3x=1\\\\3x-4y=0 \\\\-3x+4y=0 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} z=2x-y \\\\x=\dfrac{1}{3}\\\\y = \dfrac{1}{4} \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=\dfrac{1}{3}\\\\y = \dfrac{1}{4} \\\\ z=\dfrac{5}{12} \end{array} \right.\)
    Il existe donc une seule matrice \(U = \left( \begin{matrix} x\\\\ y \\\\ z \end{matrix} \right)\) telle que \(x+y+z = 1\) et \(U = MU\).
  7. Un logiciel de calcul formel a permis d'obtenir l'expression de \(M^n, n\) étant un entier naturel non nul :
    \[M^n = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} + \frac{\left( \frac{- 1}{2}\right)^n \times 2}{3}&\frac{1}{3} + \frac{\left( \frac{- 1}{2}\right)^n }{- 3}&\frac{1}{3} + \frac{\left(\frac{- 1}{2}\right)^n}{- 3}\\ \frac{1}{4}&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\ \frac{5}{12} + \frac{\left(-\left(\frac{- 1}{2}\right)^n\right) \times 2}{3}&\frac{5}{12} + \frac{-\left(\frac{- 1}{2}\right)^n}{-3}&\frac{5}{12} + \frac{-\left(\frac{- 1}{2}\right)^n }{- 3} \end{pmatrix}\]
    Pour tout entier naturel \(n\) non nul, exprimer \(a_{n}, b_{n}\) et \(c_{n}\) en fonction de \(n\). En déduire que les suites \(\left(a_{n}\right), \left(b_{n}\right)\) et \(\left(c_{n}\right)\) convergent vers des limites que l'on précisera.
  8. \(\left\{ \begin{array}{l} a_n = \left( \dfrac{1}{3} + \dfrac{\left( \dfrac{-1}{2} \right)^n \times 2}{3} \right) a_0 + \left( \dfrac{1}{3} + \dfrac{\left( \dfrac{-1}{2} \right)^n }{-3} \right) b_0 + \left( \dfrac{1}{3} + \dfrac{\left( \dfrac{-1}{2} \right)^n }{-3} \right) c_0 \\\\ b_n = \dfrac{1}{4} (a_0 + b_0 + c_0) \\\\ c_n = \left( \dfrac{5}{12} + \dfrac{-\left( \dfrac{-1}{2} \right)^n \times 2}{3} \right) a_0 + \left( \dfrac{5}{12} + \dfrac{\left( \dfrac{-1}{2} \right)^n }{-3} \right) b_0 + \left( \dfrac{5}{12} + \dfrac{-\left( \dfrac{-1}{2} \right)^n }{-3} \right) c_0 \end{array} \right.\)
    \(\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \left(\dfrac{-1}{2} \right)^n = 0\)
    Donc \(\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} a_n = \dfrac{1}{3}\) , \(\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} b_n = \dfrac{1}{4}\) et \(\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} c_n = \dfrac{5}{12}\) (car \(a_0 + b_0 + c_0 = 1\)).
  9. Interpréter les résultats obtenus et donner une estimation des pourcentages de fréquentation du site à long terme.
  10. Au bout d’un certain temps la page \(1\) du site sera consultée \(33,33 \%\) du temps, la page \(2\) sera consultée \(25 \%\) du temps et la page \(3\) sera consultée \(41,67 \%\) du temps.

 

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