Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 14 novembre 2013 : Spécialité

oui
non
S
Année 2013
Nouvelle Calédonie
Spécialité
 

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On note \(E\) l'ensemble des vingt-sept nombres entiers compris entre \(0\) et \(26\).

On note \(A\) l'ensemble dont les éléments sont les vingt-six lettres de l'alphabet et un séparateur entre deux mots, noté «\(\star\) » considéré comme un caractère.

Pour coder les éléments de \(A\), on procède de la façon suivante :
Premièrement : On associe à chacune des lettres de l'alphabet, rangées par ordre alphabétique, un nombre entier naturel compris entre 0 et 25, rangés par ordre croissant. On a donc \(a \to 0,\: b \to 1, \ldots z \to 25\).

On associe au séparateur «\(\star\) » le nombre 26.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline a&b&c&d&e&f&g&h&i&j&k&l&m&n\\ \hline 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\ \hline \end{array}\]
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline o&p&q&r&s&t&u&v&w&x&y&z&\star \\ \hline 14&15&13&17&18&19&20&21&22&23&24&25&26 \\ \hline \end{array}\]
On dit que \(a\) a pour rang \(0, b\) a pour rang 1, ... , \(z\) a pour rang \(25\) et le séparateur «\(\star\) » a pour rang \(26\).

Deuxièmement : à chaque élément \(x\) de \(E\), l'application \(g\) associe le reste de la division euclidienne de \(4x + 3\) par \(27\).

On remarquera que pour tout \(x\) de \(E,\: g(x)\) appartient à \(E\).

Troisièmement : Le caractère initial est alors remplacé par le caractère de rang \(g(x)\). Exemple : \(s \to 18, \quad g(18) = 21\) et \(21 \to v\). Donc la lettre \(s\) est remplacée lors du codage par la lettre \(v\).

  1. Trouver tous les entiers \(x\) de \(E\) tels que \(g(x) = x\) c'est-à-dire invariants par \(g\).
    En déduire les caractères invariants dans ce codage.
  2. Démontrer que, pour tout entier naturel \(x\) appartenant à \(E\) et tout entier naturel \(y\) appartenant à \(E\), si \(y \equiv 4x + 3\) modulo 27 alors \(x \equiv 7y + 6\) modulo 27. En déduire que deux caractères distincts sont codés par deux caractères distincts.
  3. Proposer une méthode de décodage.
  4. Décoder le mot «\(vfv\) ».
 

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On note \(E\) l'ensemble des vingt-sept nombres entiers compris entre \(0\) et \(26\).

On note \(A\) l'ensemble dont les éléments sont les vingt-six lettres de l'alphabet et un séparateur entre deux mots, noté «\(\star\) » considéré comme un caractère.

Pour coder les éléments de \(A\), on procède de la façon suivante :
Premièrement : On associe à chacune des lettres de l'alphabet, rangées par ordre alphabétique, un nombre entier naturel compris entre 0 et 25, rangés par ordre croissant. On a donc \(a \to 0,\: b \to 1, \ldots z \to 25\).

On associe au séparateur «\(\star\) » le nombre 26.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline a&b&c&d&e&f&g&h&i&j&k&l&m&n\\ \hline 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\ \hline \end{array}\]
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline o&p&q&r&s&t&u&v&w&x&y&z&\star \\ \hline 14&15&13&17&18&19&20&21&22&23&24&25&26 \\ \hline \end{array}\]
On dit que \(a\) a pour rang \(0, b\) a pour rang 1, ... , \(z\) a pour rang \(25\) et le séparateur «\(\star\) » a pour rang \(26\).

Deuxièmement : à chaque élément \(x\) de \(E\), l'application \(g\) associe le reste de la division euclidienne de \(4x + 3\) par \(27\).

On remarquera que pour tout \(x\) de \(E,\: g(x)\) appartient à \(E\).

Troisièmement : Le caractère initial est alors remplacé par le caractère de rang \(g(x)\). Exemple : \(s \to 18, \quad g(18) = 21\) et \(21 \to v\). Donc la lettre \(s\) est remplacée lors du codage par la lettre \(v\).

  1. Trouver tous les entiers \(x\) de \(E\) tels que \(g(x) = x\) c'est-à-dire invariants par \(g\).
    En déduire les caractères invariants dans ce codage.
  2. On cherche les valeurs de \(x\) telles que \(4x+3 \equiv x [27]\).
    \(\Leftrightarrow 3x + 3 \equiv 0 [27]\)
    \(\Leftrightarrow 3(x + 1) \equiv 0 [27]\)
    \(\Leftrightarrow\) il existe \(k\in \mathbb Z\) tel que \(3(x+1) = 27k\)
    \(\Leftrightarrow\) il existe \(k\in \mathbb Z\) tel que \(x+1 = 9k\)
    \(\Leftrightarrow\) il existe \(k\in \mathbb Z\) tel que \(x = 9k – 1\)
    \(\Leftrightarrow x \in \{8;17;26\}\)
    Les seuls caractères invariants sont donc \(i\), \(r\) et \(\star\)
  3. Démontrer que, pour tout entier naturel \(x\) appartenant à \(E\) et tout entier naturel \(y\) appartenant à \(E\), si \(y \equiv 4x + 3\) modulo 27 alors \(x \equiv 7y + 6\) modulo 27. En déduire que deux caractères distincts sont codés par deux caractères distincts.
  4. Si \(u \equiv 4x + 3 [27]\) alors\( 7y+6 \equiv 28x + 21 + 6 [27] \equiv 28x [27] \equiv x[27]\)
    Considérons \(2\) caractères distincts codés par les nombres \(x\) et \(z\).
    On sait que \(0 \le x \le 26\) et \(0 \le z \le 26\).
    Si \(g(x) = g(z) = y\) alors \(x \equiv 7y +6 [27]\) et \(z \equiv 7y+6\) et par conséquent \(x \equiv z [27]\).
    Ce qui est impossible puisque les caractères étaient distincts.
    Donc \(2\) caractères distincts sont codés par \(2\) caractères distincts.
  5. Proposer une méthode de décodage.
  6. Pour décoder un caractère \(y\) il suffit de calculer \(7y+6\) modulo \(27\).
  7. Décoder le mot «\(vfv\) ».
  8. \(v\) est codé par \(21\) et \(f\) est codé par \(5\).
    \(7 \times 21 + 6 = 153 \equiv 18 [27]\) : caratère \(s\)
    \(7 \times 5 + 6 = 41 \equiv 14 [27]\) : caractère \(o\)
    Par conséquent \(vfv\) est décodé en \(sos\).

 

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