Baccalauréat S Métropole 12 septembre 2013 : Spécialité

oui
non
S
Année 2013
Métropole Septembre
Spécialité
 

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.
Dans un village imaginaire isolé, une nouvelle maladie contagieuse mais non mortelle a fait son apparition. Rapidement les scientifiques ont découvert qu'un individu pouvait être dans l'un des trois états suivants :

  • \(S\) : «l'individu est sain, c'est-à-dire non malade et non infecté »,
  • \(I\) : «l'individu est porteur sain, c'est-à-dire non malade mais infecté »,
  • \(M\) : «l'individu est malade et infecté ».


Partie A
Les scientifiques estiment qu'un seul individu est à l'origine de la maladie sur les \(100\) personnes que compte la population et que, d'une semaine à la suivante, un individu change d'état suivant le processus suivant :

  • parmi les individus sains, la proportion de ceux qui deviennent porteurs sains est égale à \(\dfrac{1}{3}\) et la proportion de ceux qui deviennent malades est égale à \(\dfrac{1}{3}\),
  • parmi les individus porteurs sains, la proportion de ceux qui deviennent malades est égale à \(\dfrac{1}{2}\).

La situation peut être représentée par un graphe probabiliste comme ci-dessous.

France Metropole septembre 2013 Ex4 spe
On note \(P_{n} = \left(s_{n}\quad i_{n}\quad m_{n}\right)\) la matrice ligne donnant l'état probabiliste au bout de \(n\) semaines où \(s_{n}, i_{n}\) et \(m_{n}\)désignent respectivement la probabilité que l'individu soit sain, porteur sain ou malade la \(n\)-ième semaine.
On a alors \(P_{0} = (0,99\quad 0\quad 0,01)\) et pour tout entier naturel \(n\),
\[\left\{\begin{array}{l c l} s_{n+1}&=&\dfrac{1}{3}s_{n}\\ i_{n+1}&=&\dfrac{1}{3}s_{n} + \dfrac{1}{2}i_{n}\\ m_{n+1}&=&\dfrac{1}{3}s_{n} + \dfrac{1}{2}i_{n} + m_{n} \end{array}\right.\]

  1. Écrire la matrice \(A\) appelée \emph{matrice de transition}, telle que pour tout entier naturel \(n,\:\) \(P_{n+1} = P_{n} \times A\).
  2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(P_{n} = P_{0} \times A^n\).
  3. Déterminer l'état probabiliste \(P_{4}\) au bout de quatre semaines. On pourra arrondir les valeurs à \(10^{- 2}\). Quelle est la probabilité qu'un individu soit sain au bout de quatre semaines ?


Partie B
La maladie n'évolue en réalité pas selon le modèle précédent puisqu'au bout de 4 semaines de recherche, les scientifiques découvrent un vaccin qui permet d'enrayer l'endémie et traitent immédiatement l'ensemble de la population. L'évolution hebdomadaire de la maladie après vaccination est donnée par la matrice de transition :
\[B = \begin{pmatrix}\dfrac{5}{12}&\dfrac{1}{4} &\dfrac{1}{3}\\ \dfrac{5}{12}&\dfrac{1}{4} &\dfrac{1}{3}\\ \dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{3} \end{pmatrix}.\]On note \(Q_{n}\) la matrice ligne donnant l'état probabiliste au bout de \(n\) semaines après la mise en place de ces nouvelles mesures de vaccination. Ainsi, \(Q_{n} = \left(S_{n}\quad I_{n}\quad M_{n}\right)\) où \(S_{n},\: I_{n}\) et \(M_{n}\) désignent respectivement la probabilité que l'individu soit sain, porteur sain et malade la \(n\)-ième semaine après la vaccination.
Pour tout entier naturel \(n\), on a alors \(Q_{n+1} = Q_{n} \times B\).
D'après la partie A, \(Q_{0} = P_{4}\). Pour la suite, on prend \(Q_{0} = (0,01\quad 0,10\quad 0,89)\) où les coefficients ont été arrondis à \(10^{–2}\).

  1. Exprimer \(S_{n+1}, I_{n+1}\) et \(M_{n+1}\) en fonction de \(S_{n},\: I_{n}\) et \(M_{n}\).
  2. Déterminer la constante réelle \(k\) telle que \(B^2 = kJ\) où \(J\) est la matrice carrée d'ordre 3 dont tous les coefficients sont égaux à 1.
  3. On en déduit que pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 2, \(B^n = B^2\).
    1. Démontrer que pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 2, \(Q_{n} = \left(\dfrac{1}{3}\quad \dfrac{1}{3}\quad \dfrac{1}{3}\right)\) .
    2. Interpréter ce résultat en terme d'évolution de la maladie. Peut-on espérer éradiquer la maladie grâce au vaccin ?

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.
Dans un village imaginaire isolé, une nouvelle maladie contagieuse mais non mortelle a fait son apparition. Rapidement les scientifiques ont découvert qu'un individu pouvait être dans l'un des trois états suivants :

  • \(S\) : «l'individu est sain, c'est-à-dire non malade et non infecté »,
  • \(I\) : «l'individu est porteur sain, c'est-à-dire non malade mais infecté »,
  • \(M\) : «l'individu est malade et infecté ».


Partie A
Les scientifiques estiment qu'un seul individu est à l'origine de la maladie sur les \(100\) personnes que compte la population et que, d'une semaine à la suivante, un individu change d'état suivant le processus suivant :

  • parmi les individus sains, la proportion de ceux qui deviennent porteurs sains est égale à \(\dfrac{1}{3}\) et la proportion de ceux qui deviennent malades est égale à \(\dfrac{1}{3}\),
  • parmi les individus porteurs sains, la proportion de ceux qui deviennent malades est égale à \(\dfrac{1}{2}\).

La situation peut être représentée par un graphe probabiliste comme ci-dessous.

France Metropole septembre 2013 Ex4 spe
On note \(P_{n} = \left(s_{n}\quad i_{n}\quad m_{n}\right)\) la matrice ligne donnant l'état probabiliste au bout de \(n\) semaines où \(s_{n}, i_{n}\) et \(m_{n}\)désignent respectivement la probabilité que l'individu soit sain, porteur sain ou malade la \(n\)-ième semaine.
On a alors \(P_{0} = (0,99\quad 0\quad 0,01)\) et pour tout entier naturel \(n\),
\[\left\{\begin{array}{l c l} s_{n+1}&=&\dfrac{1}{3}s_{n}\\ i_{n+1}&=&\dfrac{1}{3}s_{n} + \dfrac{1}{2}i_{n}\\ m_{n+1}&=&\dfrac{1}{3}s_{n} + \dfrac{1}{2}i_{n} + m_{n} \end{array}\right.\]

  1. Écrire la matrice \(A\) appelée \emph{matrice de transition}, telle que pour tout entier naturel \(n,\:\) \(P_{n+1} = P_{n} \times A\).
  2. La matrice de transition est donnée par :
    \[ A = \left(\begin{matrix} \frac{1}{3}& \frac{1}{3}& \frac{1}{3} \\\\0& \frac{1}{2}& \dfrac{1}{2} \\\\0& 0 &1 \end{matrix} \right)\]
  3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(P_{n} = P_{0} \times A^n\).
  4. Initialisation : si \(n=1\) alors \(P_1 = P_0 \times A = P_0 \times A^1\).
    La propriété est vraie au rang \(1\).
    Hérédité : supposons la propriété vraie au rang \(n\), c’est-à-dire, \(P_n = P_0 \times A^n\).
    Alors \(P_{n+1} = P_n \times A = P_0 \times A^n \times A = P_0 \times A^{n+1}\).
    La propriété est vraie au rang \(n+1\).
    Conclusion : la proprité est vraie au rang \(1\). En la supposant vraie au rang \(n\), elle est encore vraie au rang \(n+1\).
    Par conséquent, pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a \(P_n = P_0 \times A^n\).
  5. Déterminer l'état probabiliste \(P_{4}\) au bout de quatre semaines. On pourra arrondir les valeurs à \(10^{- 2}\). Quelle est la probabilité qu'un individu soit sain au bout de quatre semaines ?
  6. Au bout de \(4\) semaines, \(P_4 = P_0 \times A^4 = (0,01~0,10~0,89)\) arrondi à \(10^{-2}\) près.
    La probabilité qu’un individu soit sain au bout de \(4\) semaines est donc de \(0,01\).


Partie B
La maladie n'évolue en réalité pas selon le modèle précédent puisqu'au bout de 4 semaines de recherche, les scientifiques découvrent un vaccin qui permet d'enrayer l'endémie et traitent immédiatement l'ensemble de la population. L'évolution hebdomadaire de la maladie après vaccination est donnée par la matrice de transition :
\[B = \begin{pmatrix}\dfrac{5}{12}&\dfrac{1}{4} &\dfrac{1}{3}\\ \dfrac{5}{12}&\dfrac{1}{4} &\dfrac{1}{3}\\ \dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{3} \end{pmatrix}.\]On note \(Q_{n}\) la matrice ligne donnant l'état probabiliste au bout de \(n\) semaines après la mise en place de ces nouvelles mesures de vaccination. Ainsi, \(Q_{n} = \left(S_{n}\quad I_{n}\quad M_{n}\right)\) où \(S_{n},\: I_{n}\) et \(M_{n}\) désignent respectivement la probabilité que l'individu soit sain, porteur sain et malade la \(n\)-ième semaine après la vaccination.
Pour tout entier naturel \(n\), on a alors \(Q_{n+1} = Q_{n} \times B\).
D'après la partie A, \(Q_{0} = P_{4}\). Pour la suite, on prend \(Q_{0} = (0,01\quad 0,10\quad 0,89)\) où les coefficients ont été arrondis à \(10^{–2}\).

  1. Exprimer \(S_{n+1}, I_{n+1}\) et \(M_{n+1}\) en fonction de \(S_{n},\: I_{n}\) et \(M_{n}\).
  2. \(Q_{n+1} = Q_n \times B \)
    \(Q_{n+1}= \left( \frac{5}{12}S_n+\frac{5}{12}I_n+\frac{1}{6}M_n\quad \frac{1}{4}S_n+\frac{1}{4}I_n+\frac{1}{3}M_n\quad \frac{1}{3}S_n+\frac{1}{3}I_n+\frac{1}{3}M_n \right)\)
    Donc \(S_{n+1} = \frac{5}{12}S_n+\frac{5}{12}I_n+\frac{1}{6}M_n\)
    \(I_{n+1} \frac{1}{4}S_n+\frac{1}{4}I_n+\frac{1}{3}M_n \)
    \(M_{n+1} = \frac{1}{3}S_n+\frac{1}{3}I_n+\frac{1}{3}M_n\)
  3. Déterminer la constante réelle \(k\) telle que \(B^2 = kJ\) où \(J\) est la matrice carrée d'ordre 3 dont tous les coefficients sont égaux à 1.
  4. On en déduit que pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 2, \(B^n = B^2\).
  5. \(B^2 = \dfrac{1}{3}J\)
    Montrons par récurrence que \(B^n=B^2\) pour tout \(n \ge 2\).
    Initialisation : si \(n = 2\) c’est évident.
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang \(n\).
    Alors \(B^{n+1} = B^n \times B = B^2 \times B = \dfrac{1}{3}J \times B = \dfrac{1}{3}J = B^2\).
    La propriété est donc vraie au rang \(n+1\).
    Conclusion : la propriété est vraie au rang \(2\). En la supposant vraie au rang \(n\), elle est encore vraie au rang \(n+1\).
    Par conséquent, pour tout \(n \ge 2\), on a \(B^n = B^2\).
    1. Démontrer que pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 2, \(Q_{n} = \left(\dfrac{1}{3}\quad \dfrac{1}{3}\quad \dfrac{1}{3}\right)\) .
    2. Si \(n \ge 2\), on a donc \(Q_n = Q_0 \times B^n = Q_0 \times B^2 = \dfrac{1}{3} Q_0 \times J = \left(\frac{1}{3} \quad \frac{1}{3} \quad\frac{1}{3} \right)\).
    3. Interpréter ce résultat en terme d'évolution de la maladie. Peut-on espérer éradiquer la maladie grâce au vaccin ?
  6. Avec ce vaccin, \(\dfrac{1}{3}\) sont sains, \(\dfrac{1}{3}\) sont porteurs sains et \(\dfrac{1}{3}\)sont malades.
    On n’a donc pas éradiqué la maladie.

 

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