BAC S 2014 ANTILLES-GUYANE : septembre Spécialité

oui
non
S
Année 2014
Antilles Guyanne
Spécialité
Calcul matriciel

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Dans une ville, une enseigne de banque nationale possède deux agences, appelées X et Y. D'une année sur l'autre, une partie des fonds de l'agence X est transférée à l'agence Y, et réciproquement. De plus, chaque année, le siège de la banque transfère une certaine somme à chaque agence.


Soit \(n\) un entier naturel. On note \(x_{n}\) la quantité de fonds détenue par l'agence X, et \(y_{n}\) la quantité de fonds détenue par l'agence Y au 1er janvier de l'année \(2014 + n\), exprimées en millions d'euros. On note \(U_{n}\) la matrice \(\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}\) et on note \(I = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\). On suppose que le 1er janvier de l'année 2014, l'agence X possède 50 millions d'euros et l'agence Y possède 10 millions d'euros. L'évolution de la quantité de fonds est régie par la relation suivante : \[U_{n+1} = AU_{n} + B,\: \text{où}\:\: A = \begin{pmatrix}0,6&0,15\\0,2&0,4\end{pmatrix} \:\:\text{et}\:\ B = \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}.\]

  1. Interpréter dans le contexte de l'exercice le coefficient 0,6 de la matrice \(A\) et le coefficient 3 de la matrice \(B\).
  2. Donner la matrice \(U_{0}\) puis calculer la quantité de fonds détenue par chacune des agences X et Y en 2015, exprimée en millions d'euros.
  3. On note \(D = \begin{pmatrix}0,3&0\\0&0,7\end{pmatrix},\: P = \begin{pmatrix}1&3\\- 2&2\end{pmatrix}\) et \(Q = \begin{pmatrix}0,25&- 0,375\\0,25 &0,125\end{pmatrix}\).
    1. Donner sans détailler le calcul, la matrice \(P DQ\).
    2. Expliciter le calcul du coefficient de la première ligne et de la deuxième colonne du produit matriciel \(QP\). Dans la suite, on admettra que \(QP = I\).

    On admettra dans la suite de cet exercice que pour tout entier naturel non nul \(n,\) \(A^n = P D^nQ\).
  4. On pose pour tout entier naturel \(n,\: V_{n} = U_{n} - \begin{pmatrix}5\\20/3\end{pmatrix}\).
    1. Démontrer que pour tout entier naturel \(n,\: V_{n+1} = AV_{n}\).
    2. Déterminer \(V_{0}\) puis pour tout entier naturel \(n\), donner l'expression de \(V_{n}\) en fonction de \(A,\, n\) et \(V_{0}\).
  5. Soit \(n\) un entier naturel. On admet que \[A^n = \begin{pmatrix}0,25 \times 0,3^n + 0,75 \times 0,7^n&0,375\left(- 0,3^n + 0,7^n\right)\\ 0,5\left(- 0,3^n + 0,7^n\right)& 0,75 \times 0,3^n + 0,25 \times 0,7^n\end{pmatrix}.\]
    1. Déterminer le coefficient de la première ligne de la matrice \(V_{n}\) en détaillant les calculs.
    2. En déduire l'expression de \(x_{n}\) en fonction de \(n\).
    3. Déterminer la limite de \(x_{n}\) quand \(n\) tend vers \(+ \infty\) et interpréter ce résultat dans le cadre du problème.
 

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Dans une ville, une enseigne de banque nationale possède deux agences, appelées X et Y. D'une année sur l'autre, une partie des fonds de l'agence X est transférée à l'agence Y, et réciproquement. De plus, chaque année, le siège de la banque transfère une certaine somme à chaque agence.


Soit \(n\) un entier naturel. On note \(x_{n}\) la quantité de fonds détenue par l'agence X, et \(y_{n}\) la quantité de fonds détenue par l'agence Y au 1er janvier de l'année \(2014 + n\), exprimées en millions d'euros. On note \(U_{n}\) la matrice \(\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}\) et on note \(I = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\). On suppose que le 1er janvier de l'année 2014, l'agence X possède 50 millions d'euros et l'agence Y possède 10 millions d'euros. L'évolution de la quantité de fonds est régie par la relation suivante : \[U_{n+1} = AU_{n} + B,\: \text{où}\:\: A = \begin{pmatrix}0,6&0,15\\0,2&0,4\end{pmatrix} \:\:\text{et}\:\ B = \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}.\]

  1. Interpréter dans le contexte de l'exercice le coefficient 0,6 de la matrice \(A\) et le coefficient 3 de la matrice \(B\).
  2. L’agence \(X\) conserve \(60\%\) de ses fonds d’une année sur l’autre.
    \(\quad\)
    Chaque année le siège de la banque transfère \(3\) millions d’euros à l’agence \(Y\).
  3. Donner la matrice \(U_{0}\) puis calculer la quantité de fonds détenue par chacune des agences X et Y en 2015, exprimée en millions d'euros.
  4. \(U_0=\begin{pmatrix} 50 \\\\10 \end{pmatrix}\).
  5. On note \(D = \begin{pmatrix}0,3&0\\0&0,7\end{pmatrix},\: P = \begin{pmatrix}1&3\\- 2&2\end{pmatrix}\) et \(Q = \begin{pmatrix}0,25&- 0,375\\0,25 &0,125\end{pmatrix}\).
    1. Donner sans détailler le calcul, la matrice \(P DQ\).
    2. \(PDQ = \begin{pmatrix} 0,6&0,15 \\\\0,2&0,4 \end{pmatrix} = A\).
    3. Expliciter le calcul du coefficient de la première ligne et de la deuxième colonne du produit matriciel \(QP\). Dans la suite, on admettra que \(QP = I\).
    4. Ce coefficient est obtenu à partir du calcul suivant : \(0,25 \times 3 – 0,375 \times (2) = 0\)

    On admettra dans la suite de cet exercice que pour tout entier naturel non nul \(n,\) \(A^n = P D^nQ\).
  6. On pose pour tout entier naturel \(n,\: V_{n} = U_{n} - \begin{pmatrix}5\\20/3\end{pmatrix}\).
    1. Démontrer que pour tout entier naturel \(n,\: V_{n+1} = AV_{n}\).
    2. \[\begin{array}{ll} V_{n+1} &= U_{n+1} – \begin{pmatrix} 5 \\ 20/3 \end{pmatrix} \\ &= AU_n+B – \begin{pmatrix} 5 \\ 20/3 \end{pmatrix} \\ &=AU_n + \begin{pmatrix} -4 \\ -11/3 \end{pmatrix} \end{array}\]
      Or \(A\begin{pmatrix} -5 \\-20/3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\-11/3 \end{pmatrix}\)
      Donc \(V_{n+1}=AV_n\).
    3. Déterminer \(V_{0}\) puis pour tout entier naturel \(n\), donner l'expression de \(V_{n}\) en fonction de \(A,\, n\) et \(V_{0}\).
    4. \(V_0 = \begin{pmatrix} = 45 \\ 10/3 \end{pmatrix}\).
      On a ainsi \(V_n = A^nV_0\) pour tout \(n \in \mathbb N\).
  7. Soit \(n\) un entier naturel. On admet que \[A^n = \begin{pmatrix}0,25 \times 0,3^n + 0,75 \times 0,7^n&0,375\left(- 0,3^n + 0,7^n\right)\\ 0,5\left(- 0,3^n + 0,7^n\right)& 0,75 \times 0,3^n + 0,25 \times 0,7^n\end{pmatrix}.\]
    1. Déterminer le coefficient de la première ligne de la matrice \(V_{n}\) en détaillant les calculs.
    2. Ce coefficient est donné par :
      \[\begin{array}{ll} v &= 45(0,25\times 0,3^n+0,75 \times 0,7^n) + \dfrac{10}{3}\left[0,375(-0,3^n+0,7^n)\right] \\ &= 10 \times 0,3^n+35\times 0,7^n \end{array}\]
    3. En déduire l'expression de \(x_{n}\) en fonction de \(n\).
    4. On a ainsi \(x_n = 10 \times 0,3^n+35\times 0,7^n + 5\)
    5. Déterminer la limite de \(x_{n}\) quand \(n\) tend vers \(+ \infty\) et interpréter ce résultat dans le cadre du problème.
    6. \(-1<0,3<1\) et \(-1<0,7<1\).
      Par conséquent \(\lim\limits_{n \to +\infty} 0,3^n = \lim\limits_{n \to +\infty} 0,7^n = 0\).
      Donc \(\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = 5\).
      Au bout d’un grand nombre d’année, les fonds disponibles de l’agence X seront de \(5\) millions d’euros.

 

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