Bac S 2013 Pondichéry Spécialité

oui
non
S
Année 2013
Pondichéry
Spécialité
Calcul matriciel

Exercice 3 5 points

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
On étudie l'évolution dans le temps du nombre de jeunes et d'adultes dans une population d'animaux.
Pour tout entier naturel \(n\), on note \(j_{n}\) le nombre d'animaux jeunes après \(n\) années d'observation et \(a_{n}\) le nombre d'animaux adultes après \(n\) années d'observation.
Il y a au début de la première année de l'étude, 200 animaux jeunes et 500 animaux adultes.
Ainsi \(j_{0} = 200\) et \(a_{0} = 500\).
On admet que pour tout entier naturel \(n\) on a : \[\left\{\begin{array}{l c l} j_{n+ 1}& =&0,125j_{n} + 0,525a_{n}\\ a_{n+1} &=& 0,625j_{n} + 0,625a_{n} \end{array}\right.\]
On introduit les matrices suivantes :
\(A = \begin{pmatrix} 0,125 &0,525\\ 0,625& 0,625\\ \end{pmatrix}\) et, pour tout entier naturel \(n, U_{n} = \begin{pmatrix}j_{n}\\a_{n}\end{pmatrix}\).

    1. Montrer que pour tout entier naturel \(n, U_{n+ 1} = A \times U_{n}\).
    2. Calculer le nombre d'animaux jeunes et d'animaux adultes après un an d'observation puis après deux ans d'observation (résultats arrondis à l'unité près par défaut).
    3. Pour tout entier naturel \(n\) non nul, exprimer \(U_{n}\) en fonction de \(A^n\) et de \(U_{0}\).
    On introduit les matrices suivantes \(Q = \begin{pmatrix}7&3\\-5& 5\\ \end{pmatrix}\) et \(D = \begin{pmatrix}- 0,25&0\\0& 1\end{pmatrix}\).
    1. On admet que la matrice \(Q\) est inversible et que \(Q^{- 1} = \begin{pmatrix} 0,1&-0,06\\0,1& 0,14\end{pmatrix}\). Montrer que \(Q \times D \times Q^{- 1} = A\).
    2. Montrer par récurrence sur \(n\) que pour tout entier naturel \(n\) non nul : \(A^n = Q \times D^n \times Q^{- 1}\).
    3. Pour tout entier naturel \(n\) non nul, déterminer \(D^n\) en fonction de \(n\).
    On admet que pour tout entier naturel \(n\) non nul,\[A^n = \begin{pmatrix}0,3 + 0,7 \times (- 0,25)^n&0,42 - 0,42 \times (- 0,25)^n \\ 0,5 - 0,5 \times (- 0,25)^n& 0,7\phantom{0} + 0,3\phantom{0} \times (- 0,25)^n\\ \end{pmatrix}\]
    1. En déduire les expressions de \(j_{n}\) et \(a_{n}\) en fonction de \(n\) et déterminer les limites de ces deux suites.
    2. Que peut-on en conclure pour la population d'animaux étudiée ?
 
 

Exercice 3 5 points

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
On étudie l'évolution dans le temps du nombre de jeunes et d'adultes dans une population d'animaux.
Pour tout entier naturel \(n\), on note \(j_{n}\) le nombre d'animaux jeunes après \(n\) années d'observation et \(a_{n}\) le nombre d'animaux adultes après \(n\) années d'observation.
Il y a au début de la première année de l'étude, 200 animaux jeunes et 500 animaux adultes.
Ainsi \(j_{0} = 200\) et \(a_{0} = 500\).
On admet que pour tout entier naturel \(n\) on a : \[\left\{\begin{array}{l c l} j_{n+ 1}& =&0,125j_{n} + 0,525a_{n}\\ a_{n+1} &=& 0,625j_{n} + 0,625a_{n} \end{array}\right.\]
On introduit les matrices suivantes :
\(A = \begin{pmatrix} 0,125 &0,525\\ 0,625& 0,625\\ \end{pmatrix}\) et, pour tout entier naturel \(n, U_{n} = \begin{pmatrix}j_{n}\\a_{n}\end{pmatrix}\).

    1. Montrer que pour tout entier naturel \(n, U_{n+ 1} = A \times U_{n}\).
    2. \[A \times U_n = \begin{pmatrix} 0,125j_n+0,525a_n\\\\0,625j_n+0,625a_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} j_{n+1} \\\\a_{n+1} \end{pmatrix}=U_{n+1}\]
    3. Calculer le nombre d'animaux jeunes et d'animaux adultes après un an d'observation puis après deux ans d'observation (résultats arrondis à l'unité près par défaut).
    4. On cherche donc \(U_1\) et \(U_2\) \[U_1 = A\times U_0 = \begin{pmatrix} 287,5 \\\\437,5 \end{pmatrix}\]
      Il y a donc 287 animaux jeunes et 437 animaux adultes (arrondis par défaut) la première année.
      \[U_2 = A \times U_1 = \begin{pmatrix} 265,62 \\\\453,12 \end{pmatrix}\]
      Il y a donc 265 animaux jeunes et 453 animaux adultes (arrondis par défaut) la deuxième année.
    5. Pour tout entier naturel \(n\) non nul, exprimer \(U_{n}\) en fonction de \(A^n\) et de \(U_{0}\).
    6. Puisque, pour tout \(n, U_{n+1} = A \times U_n\), on peut écrire que \(Un_=A^n×U_0\).
    On introduit les matrices suivantes \(Q = \begin{pmatrix}7&3\\-5& 5\\ \end{pmatrix}\) et \(D = \begin{pmatrix}- 0,25&0\\0& 1\end{pmatrix}\).
    1. On admet que la matrice \(Q\) est inversible et que \(Q^{- 1} = \begin{pmatrix} 0,1&-0,06\\0,1& 0,14\end{pmatrix}\). Montrer que \(Q \times D \times Q^{- 1} = A\).
      • Initialisation :\(Q \times D \times Q^{-1} = A\) donc la la propriété est vraie au rang 1.
      • Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang \(n : A^n = Q\times D^n \times Q^{-1}\).
        Alors \(A^{n+1} = A^n \times A = Q \times D^n \times Q^{-1} \times Q \times A \times Q^{-1}\) \(= Q \times D^{n+1} \times Q^{-1}\).
        La propriété est donc vraie au rang \(n+1\).
        La propriété est donc vraie au rang n+1.
      • Conclusion : La propriété est vraie au rang \(1\). En la supposant vraie au rang \(n\), elle est encore vraie au rang suivant.
        Par conséquent, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(A^n = Q \times D^n \times Q{-1}\).
      • Montrer par récurrence sur \(n\) que pour tout entier naturel \(n\) non nul : \(A^n = Q \times D^n \times Q^{- 1}\).
      • Pour tout entier naturel \(n\) non nul, déterminer \(D^n\) en fonction de \(n\).
      • Pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(D^n = \begin{pmatrix} (-0,25)^n&0 \\\\0&1 \end{pmatrix}\)
    On admet que pour tout entier naturel \(n\) non nul,\[A^n = \begin{pmatrix}0,3 + 0,7 \times (- 0,25)^n&0,42 - 0,42 \times (- 0,25)^n \\ 0,5 - 0,5 \times (- 0,25)^n& 0,7\phantom{0} + 0,3\phantom{0} \times (- 0,25)^n\\ \end{pmatrix}\]
    1. En déduire les expressions de \(j_{n}\) et \(a_{n}\) en fonction de \(n\) et déterminer les limites de ces deux suites.
    2. On a donc :
      \(U_n = \begin{pmatrix} 60 +140\times (-0,25)^n+210-210 \times (-0,25)^n \\\\100-100\times (-0,25)^n+350+150\times(-0,25)^n \end{pmatrix}\) \(=\begin{pmatrix} 270-70\times (-025)^n \\\\450+50\times(-0,25)^n \end{pmatrix}\)
      \(~\)
      Par conséquent \(j_n = 270 – 70 \times (-0,25)^n\) et \(a_n=450 + 50\times (-0,25)^n\)

      \(~\)
    3. Que peut-on en conclure pour la population d'animaux étudiée ?
    4. Ayant \(-1< 0,25 <1 \) on  déduit \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}(-0,25)^n = 0\) donc \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} j_n = 270\) et \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} a_n = 450\).
      Au bout d’un grand nombre d’années, la population des jeunes animaux sera de \(270\) et celle des adultes de \(450\).

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