Baccalauréat S Amérique du Sud --12 novembre 2018 Spécialité

oui
non
S
Année 2018
Amérique du Sud
Spécialité

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Pour tout entier naturel \(n\) , on note \(F_n\) le \(n\)-ième nombre de Fermat. Il est défini par \[F_n = 2^{2^n} + 1.\]

Partie A


Pierre de Fermat, leur inventeur, a conjecturé que : < div align="center"> « Tous les nombres de Fermat sont premiers », L'objectif est de tester cette conjecture.

    1. Calculer \(F_0\), \(F_1\), \(F_2\) et \(F_3\).
    2. Peut-on en déduire que tous les nombres de Fermat sont premiers ?
  1. On considère l'algorithme ci-dessous: \[\begin{array}{ |l|}\hline F \gets 2^{2^5} + 1 \\ N \gets 2 \\ \text{ Tant que } F\%N \ne 0 \\ \hspace{0,5cm} N \gets N + 1 \\ \text{ Fin Tant que }\\ \text{ Afficher } N \\ \hline \end{array}\]\(F\%N\) désigne le reste de la division euclidienne de \(F\) par \(N\).
    La valeur affichée à la fin de l'exécution est 641. Que peut-on en déduire ?

 

Partie B


L'objectif est de prouver que deux nombres de Fermat distincts sont toujours premiers entre eux.

  1. Démontrer que pour tout entier naturel \(n\) non nul on a \(F_n = \left(F_{n-1} - 1\right)^2 + 1\).
  2. Pour tout entier naturel \(n\) on note : \[\displaystyle\prod_{i=0}^n F_i = F_0 \times F_1 \times F_2 \times \ldots \times F_{n-1} \times F_n.\]On a donc \(\displaystyle\prod_{i=0}^{n} F_i = \left(\prod_{i=0}^{n-1} F_i\right) \times F_n\). Montrer par récurrence et en utilisant le résultat de la question précédente que pour tout entier naturel \(n\) non nul on a : \[\displaystyle\prod_{i=0}^{n-1} F_i = F_n - 2.\]
  3. Justifier que, pour tous entiers naturels \(n\) et \(m\) tels que \(n > m\), il existe un entier naturel \(q\) tel que \(F_n -qF_m = 2\).
  4. En déduire que deux nombres de Fermat sont toujours premiers entre eux.

 

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Pour tout entier naturel \(n\) , on note \(F_n\) le \(n\)-ième nombre de Fermat. Il est défini par \[F_n = 2^{2^n} + 1.\]

Partie A


Pierre de Fermat, leur inventeur, a conjecturé que : < div align="center"> « Tous les nombres de Fermat sont premiers », L'objectif est de tester cette conjecture.

    1. Calculer \(F_0\), \(F_1\), \(F_2\) et \(F_3\).
    2. \(F_0=2^{2^0}+1=3\)
      \(F_1=2^{2^1}+1=5\)
      \(F_2=2^{2^2}+1=17\)
      \(F_3=2^{2^3}+1=257\)
      \(\quad\)
    3. Peut-on en déduire que tous les nombres de Fermat sont premiers ?
    4. Ces \(4\) nombres sont premiers mais cela ne prouve pas que les suivants le sont également.
      \(\quad\)
  1. On considère l'algorithme ci-dessous: \[\begin{array}{ |l|}\hline F \gets 2^{2^5} + 1 \\ N \gets 2 \\ \text{ Tant que } F\%N \ne 0 \\ \hspace{0,5cm} N \gets N + 1 \\ \text{ Fin Tant que }\\ \text{ Afficher } N \\ \hline \end{array}\]\(F\%N\) désigne le reste de la division euclidienne de \(F\) par \(N\).
    La valeur affichée à la fin de l'exécution est 641. Que peut-on en déduire ?
  2. Cela signifie que \(F_5\) est divisible par \(631\) et donc que \(F_5\) n’est pas un nombre premier.
    \(\quad\)

 

Partie B


L'objectif est de prouver que deux nombres de Fermat distincts sont toujours premiers entre eux.

  1. Démontrer que pour tout entier naturel \(n\) non nul on a \(F_n = \left(F_{n-1} - 1\right)^2 + 1\).
  2. Pour tout entier naturel \(n\) non nul on a :
    \(\left(F_{n-1}-1\right)^2+1=\left(2^{2^{n-1}}\right)^2+1=2^{2^{n-1}\times 2}+1=2^{2^n}+1=F_n\)
    \(\quad\)
  3. Pour tout entier naturel \(n\) on note : \[\displaystyle\prod_{i=0}^n F_i = F_0 \times F_1 \times F_2 \times \ldots \times F_{n-1} \times F_n.\]On a donc \(\displaystyle\prod_{i=0}^{n} F_i = \left(\prod_{i=0}^{n-1} F_i\right) \times F_n\). Montrer par récurrence et en utilisant le résultat de la question précédente que pour tout entier naturel \(n\) non nul on a : \[\displaystyle\prod_{i=0}^{n-1} F_i = F_n - 2.\]
  4. Initialisation : Si \(n=1\) alors
    \(\displaystyle \prod_{i=0}^0 F_i=F_0=3=5-2=F_1-2\)
    La propriété est vraie au rang \(1\).
    \(\quad\)
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang \(n\) :
    \(\displaystyle \prod_{i=0}^{n-1} F_i=F_n-2\)
    Montrons que la propriété est vraie au rang \(n+1\) c’est-à-dire que \(\displaystyle \prod_{i=0}^{n} F_i=F_{n+1}-2\)
    \(\displaystyle \begin{align*}\prod_{i=0}^{n} F_i&=\prod_{i=0}^{n-1} F_i \times F_n \\
    &=\left(F_n-2\right)\times F_n \\
    &={F_n}^2-2F_n \\
    &={F_n}^2-2F_n+1-1 \\
    &=\left(F_n-1\right)^2-1 \\
    &=F_{n+1}-2
    \end{align*}\)
    La propriété est donc vraie au rang \(n+1\).
    \(\quad\)
    Conclusion : La propriété est vraie au rang \(1\) et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel \(n\) non nul on a
    \(\displaystyle \prod_{i=0}^{n-1} F_i=F_n-2\)
    \(\quad\)
  5. Justifier que, pour tous entiers naturels \(n\) et \(m\) tels que \(n > m\), il existe un entier naturel \(q\) tel que \(F_n -qF_m = 2\).
  6. Pour tous entiers naturels \(n\) et \(m\) tels que \(n>m\) on a :
    \(\begin{align*} & \displaystyle \prod_{i=0}^{n-1} F_i=F_n-2 \\
    &\iff F_n-\prod_{i=0}^{n-1} F_i= 2 \\
    &\iff F_n-F_m\times \prod_{\begin{array}{l}i=0 \\i\neq m\end{array}}^{n-1} F_i= 2 \end{align*}\)
    Il existe donc un entier naturel \(\displaystyle q=\prod_{\begin{array}{l}i=0 \\i\neq m\end{array}}^{n-1} F_i\) tel que \(F_n-qF_m=2\)
    \(\quad\)
  7. En déduire que deux nombres de Fermat sont toujours premiers entre eux.
  8. D’après la question précédente le PGCD de \(F_n\) et \(F_m\) doit diviser \(F_n-qF_m\) c’est-à-dire \(2\).
    Ainsi ce PGCD vaut \(1\) ou \(2\).
    Or, pour tout entier naturel \(n\), on a \(2^{2^n}>0\) donc \(F_n\) est un nombre impair et n’est alors pas divisible par \(2\).
    Le PGCD de \(F_n\) et \(F_m\) vaut donc \(1\) et deux nombres de Fermat sont toujours premiers entre eux.
    \(\quad\)

 

 

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