Baccalauréat S Métropole--La Réunion 13 septembre 2018 Spécialité

oui
non
S
Année 2018
Métropole Septembre
Spécialité

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

 

Partie A


On considère la suite \(\left(u_n\right)\) définie par : \(u_0 = 1\), \(u_1 = 6\) et, pour tout entier naturel \(n\) : \[u_{n+2} = 6u_{n+1} - 8u_n.\]

  1. Calculer \(u_2\) et \(u_3\) .
  2. On considère la matrice \(A = \begin{pmatrix}0&1\\-8&6\end{pmatrix}\) et la matrice colonne \(U_n = \begin{pmatrix}u_n\\u_{n+1}\end{pmatrix}\). Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(U_{n+1} = AU_n\).
  3. On considère de plus les matrices \(B = \begin{pmatrix}2&-0,5\\4&- 1\end{pmatrix}\) et \(C = \begin{pmatrix}- 1&0,5\\- 4&2\end{pmatrix}\).
    1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(A^n = 2^nB + 4^nC\).
    2. On admet que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(U_n = A^nU_0\). Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(u_n = 2 \times 4^n - 2^n\).

Partie B


On dit qu'un entier naturel \(N\) est parfait lorsque la somme de ses diviseurs (positifs) est égale à \(2N\). Par exemple, 6 est un nombre parfait car ses diviseurs sont 1, 2, 3 et 6 et on a : \(1 + 2 + 3 + 6 = 12 = 2 \times 6\). Dans cette partie, on cherche des nombres parfaits parmi les termes de la suite \(\left(u_n\right)\) étudiée dans la partie A.

  1. Vérifier que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(u_n = 2^np_n\) avec \(p_n = 2^{n+1} - 1\).
  2. On considère l'algorithme suivant où \(N\), \(S\), \(U\), \(P\) et \(K\) sont des entiers naturels. \[ \begin{array}{|l|}\hline S\gets 0 \\ ~\\ \text{ Demander à l'utilisateur la valeur de } N \\ P \gets 2^{N+1} - 1 \\ U \gets 2^N P \\ ~\\ \text{ Pour } K \text{ variant de } 1 \text{ à } U \\ \hspace{0.6cm}\text{ Si } \frac{U}{K} \text{ est un nombre entier }\\ \hspace{1.1cm} S \gets S + K \\ \hspace{0.6cm} \text{ Fin Si }\\ \text{ Fin Pour }\\ ~\\ \text{ Si } S = 2U \\ \hspace{0.6cm} \text{ Afficher } « \text{ oui } »\\ Sinon\\ \hspace{0.6cm}\text{ Afficher } « \text{ non } »\\ \text{Fin Si }\\ \hline \end{array}\]
    1. À quelle question permet de répondre cet algorithme ? Compléter, sans justification, les cases vides du tableau donné en annexe. Il n'est pas demandé au candidat de programmer l'algorithme.
    2. Faire une conjecture donnant une condition suffisante sur \(P\) pour que l'algorithme affiche « oui ».
  3. Dans cette question, on suppose que \(p_n\) est un nombre premier. On note \(S_n\) la somme des diviseurs de \(u_n\).
    1. Montrer que \(S_n = \left(1 + p_n\right)p_n\).
    2. En déduire que \(u_n\) est un nombre parfait.

Annexe à remettre avec la copie : Affichage de l'algorithme pour les premières valeurs de \(N\)

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline N & P & U & S &\text{ Affichage final }\\ \hline 0 &1 &1 &1 &\text{ non}\\ \hline 1 &3 &6 &12 &\text{ oui }\\ \hline 2 &7 & & &\\ \hline 3 &15 & &360 &\\ \hline 4 &31 & &992 & oui\\ \hline 5 &63 & & 6552 &\text{ non }\\ \hline 6 &127 & 8128 & 16256 &\\ \hline \end{array}\]

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Partie A


On considère la suite \(\left(u_n\right)\) définie par : \(u_0 = 1\), \(u_1 = 6\) et, pour tout entier naturel \(n\) : \[u_{n+2} = 6u_{n+1} - 8u_n.\]
  1. Calculer \(u_2\) et \(u_3\) .
  2. On a \(u_0=1\), \(u_1=6\) et \(u_{n+2}=6u_{n+1}-8u_n\)
    alors \(u_2=6u_1-8u_0=28\) et \(u_3=6u_2-8u_1=120\)
    \(\quad\)
  3. On considère la matrice \(A = \begin{pmatrix}0&1\\-8&6\end{pmatrix}\) et la matrice colonne \(U_n = \begin{pmatrix}u_n\\u_{n+1}\end{pmatrix}\). Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(U_{n+1} = AU_n\).
  4. Pour tout entier naturel \(n\) on a :
    \(AU_n=\begin{pmatrix}0&1\\-8&6\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}u_n\\u_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} u_{n+1}\\-8u_n+6u_{n+1}\end{pmatrix}=U_{n+1}\)
    \(\quad\)
  5. On considère de plus les matrices \(B = \begin{pmatrix}2&-0,5\\4&- 1\end{pmatrix}\) et \(C = \begin{pmatrix}- 1&0,5\\- 4&2\end{pmatrix}\).
    1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(A^n = 2^nB + 4^nC\).
    2. Initialisation : Si \(n=0\) alors \(2^0B+4^0C=B+C=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=A^0\).
      La propriété est donc vraie au rang \(0\).
      \(\quad\)
      Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang \(n\) : \(A^n=2^nB+4^nC\).
      Montrons que la propriété est encore vraie au rang \(n+1\), c’est-à-dire que \(A^{n+1}=2^{n+1}B+4^{n+1}C\).
      \(\begin{align*} A^{n+1}&=A\times A^n \\
      &=A\left(2^nB+4^nC\right) \\
      &=2^nA\times B+4^nA\times C\end{align*}\)
      Or \(AB=\begin{pmatrix}4&-1\\8&-2\end{pmatrix}=2B\)
      et \(AC=\begin{pmatrix}-4&2\\16&8\end{pmatrix}=4C\)
      Par conséquent \(A^{n+1}=2^n\times 2B+4^n\times 4C=2^{n+1}B+4^{n+1}C\).
      La propriété est vraie au rang \(n+1\).
      \(\quad\)
      Conclusion : La propriété est vraie au rang \(0\) et est héréditaire.
      Par conséquent, pour tout entier naturel \(n\), on a \(A^n=2^nB+4^nC\).
      \(\quad\)
    3. On admet que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(U_n = A^nU_0\). Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(u_n = 2 \times 4^n - 2^n\).
    4. On sait que \(U_0=\begin{pmatrix}1\\6\end{pmatrix}\).
      Pour tout entier naturel \(n\) on a \(U_n=A^nU_0=2^nBU_0+4^nCU_0\)
      Or \(BU_0=\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}\) et \(CU_0=\begin{pmatrix}2\\8\end{pmatrix}\)
      Par conséquent, \(U_n=\begin{pmatrix}2^n+2\times 4^n\\-2^{n+1}+8\times 4^n\end{pmatrix}\)
      Donc \(u_n=2^n+2\times 4^n\) pour tout entier naturel \(n\).
      \(\quad\)

Partie B


On dit qu'un entier naturel \(N\) est parfait lorsque la somme de ses diviseurs (positifs) est égale à \(2N\). Par exemple, 6 est un nombre parfait car ses diviseurs sont 1, 2, 3 et 6 et on a : \(1 + 2 + 3 + 6 = 12 = 2 \times 6\). Dans cette partie, on cherche des nombres parfaits parmi les termes de la suite \(\left(u_n\right)\) étudiée dans la partie A.
  1. Vérifier que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(u_n = 2^np_n\) avec \(p_n = 2^{n+1} - 1\).
  2. Pour tout entier naturel \(n\) on a :
    \(2^np_n=2^n\left(2^{n+1}-1\right)=2^{2n+1}-2^n=2\times 2^{2n}-2^n=2\times 4^n-2^n\).
    \(\quad\)
  3. On considère l'algorithme suivant où \(N\), \(S\), \(U\), \(P\) et \(K\) sont des entiers naturels. \[ \begin{array}{|l|}\hline S\gets 0 \\ ~\\ \text{ Demander à l'utilisateur la valeur de } N \\ P \gets 2^{N+1} - 1 \\ U \gets 2^N P \\ ~\\ \text{ Pour } K \text{ variant de } 1 \text{ à } U \\ \hspace{0.6cm}\text{ Si } \frac{U}{K} \text{ est un nombre entier }\\ \hspace{1.1cm} S \gets S + K \\ \hspace{0.6cm} \text{ Fin Si }\\ \text{ Fin Pour }\\ ~\\ \text{ Si } S = 2U \\ \hspace{0.6cm} \text{ Afficher } « \text{ oui } »\\ Sinon\\ \hspace{0.6cm}\text{ Afficher } « \text{ non } »\\ \text{Fin Si }\\ \hline \end{array}\]
    1. À quelle question permet de répondre cet algorithme ? Compléter, sans justification, les cases vides du tableau donné en annexe. Il n'est pas demandé au candidat de programmer l'algorithme.
    2. Dans \(S\) on a stocké la somme des diviseurs entiers positifs de \(U\).
      On teste si \(S=2U\), c’est-à-dire si \(U\) est un nombre parfait.
      L’algorithme permet donc de déterminer si, pour un entier naturel \(N\) donné, le nombre \(2^N\left(2^{n+1}-1\right)\) est parfait, c’est-à-dire, par conséquent, si \(u_N\) est un nombre parfait.
      \(\quad\)
      On obtient le tableau suivant :
      \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
      \hline
      N&P&U&S&\text{Affichage final}\\
      \hline
      0&1&1&1&\text{non}\\
      \hline
      1&3&6&12&\text{oui}\\
      \hline
      2&7&28&56&\text{oui}\\
      \hline
      3&15&120&360&\text{non}\\
      \hline
      4&31&496&992&\text{oui}\\
      \hline
      5&63&2~016&6~552&\text{non}\\
      \hline
      6&127&8~128&16~256&\text{oui}\\
      \hline
      \end{array}\]
      \(\quad\)
    3. Faire une conjecture donnant une condition suffisante sur \(P\) pour que l'algorithme affiche « oui ».
    4. Il semblerait que si \(P\) est un nombre premier alors l’algorithme affiche “oui”.
      \(\quad\)
  4. Dans cette question, on suppose que \(p_n\) est un nombre premier. On note \(S_n\) la somme des diviseurs de \(u_n\).
    1. Montrer que \(S_n = \left(1 + p_n\right)p_n\).
    2. On a \(u_n=2^np_n\) et \(p_n\) est un nombre premier.
      Les seuls diviseurs de \(u_n\) sont donc de la forme \(2^k\) et \(2^kp_n\) avec \(k\in \left\{0;1;\ldots;n\right\}\).
      Par conséquent
      \(\begin{align*} S_n&=2^0+2^1+\ldots+2^n+p_n+2p_n+2^2p_n+\ldots+2^np_n \\
      &=\left(2^0+2^1+\ldots +2^n\right)\left(1+p_n\right) \\
      &=\dfrac{1-2^{n+1}}{1-2}\left(1+p_n\right) \\
      &=\left(2^{n+1}-1\right)\left(1+p_n\right) \\
      &=p_n\left(1+p_n\right) \end{align*}\)
      \(\quad\)
    3. En déduire que \(u_n\) est un nombre parfait.
    4. \(u_n=2^np_n\) et \(p_n\) est un nombre premier.
      On a, d’après la question précédente :
      \(\begin{align*} S_n&=\left(1+p_n\right)p_n \\
      &=\left(2^{n+1}+1-1\right)p_n \\
      &=2^{n+1}p_n\\
      &=2\times 2^np_n\\
      &=2u_n
      \end{align*}\)
      Le nombre \(u_n\) est donc parfait.
      \(\quad\)
 

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