Baccalauréat S Antilles-Guyane 6 septembre 2018 Spécialité

oui
non
S
Année 2018
Spécialité

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Soit la suite \(\left(u_n\right)\) définie par \(u_0 = 0\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = 3u_n + 1\).
On admet que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\) est entier.

  1. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(u_n\) et \(u_{n+1}\) sont premiers entre eux.
  2. Démontrer que les termes de la suite \(\left(u_n\right)\) sont alternativement pairs et impairs.
  3. L'affirmation suivante est-elle vraie ? Justifier. Affirmation: « Si \(p\) est un nombre premier impair, alors \(u_p\) est premier. »
    1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(2u_n = 3^n - 1\).
    2. Déterminer le plus petit entier naturel non nul \(n\) tel que \(3^n\) est congru à 1 modulo 7.
    3. En déduire que \(u_{ 2\,022 }\) est divisible par \(7\).
    1. Calculer le reste de la division euclidienne par 5 de chacun des cinq premiers termes de la suite \(\left(u_n\right)\).
    2. Sans justification, recopier et compléter le tableau suivant : \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Reste de la division euclidienne de } m \text{ par } 5 &0 &1 &2 &3 &4\\ \hline \text{Reste de la division euclidienne de } 3m + 1 \text{ par } 5& & & & &\\ \hline \end{array}\]
    3. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), si \(u_n\) est congru à 4 modulo 5, alors \(u_{n+4}\) est congru à 4 modulo 5.
    4. Existe-t-il un entier naturel \(n\) tel que le reste de la division euclidienne de \(u_n\) par 5 soit égal à 2 ?

 

 

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Soit la suite \(\left(u_n\right)\) définie par \(u_0 = 0\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = 3u_n + 1\).
On admet que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\) est entier.

  1. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(u_n\) et \(u_{n+1}\) sont premiers entre eux.
  2. Pour tout entier naturel \(n\) on a \(u_{n+1}=3u_n+1 \iff 1\times u_{n+1}-3\times u_n=1\).
    \(1\) et \(3\) sont premiers entre eux. D’après le théorème de Bezout, \(u_n\) et \(u_{n+1}\) le sont également.
    \(\quad\)
  3. Démontrer que les termes de la suite \(\left(u_n\right)\) sont alternativement pairs et impairs.
  4. Si \(u_n\) est pair alors il existe un entier naturel \(a\) tel que \(u_n=2a\).
    Ainsi \(u_{n+1}=3\times 2a+1= 2\times 3a+1\). \(u_{n+1}\) est donc impair.
    Si \(u_n\) est impair alors il existe un entier naturel \(a\) tel que \(u_n=2a+1\).
    Ainsi \(u_{n+1}=3\times (2a+1)+1=6a+3+1=2\times (3a+2)\). \(u_{n+1}\) est donc pair.
    Les termes de la suite \(\left(u_n\right)\) sont donc alternativement pairs et impairs.
    \(\quad\)
  5. L'affirmation suivante est-elle vraie ? Justifier. Affirmation: « Si \(p\) est un nombre premier impair, alors \(u_p\) est premier. »
  6. On a \(u_0=0\), \(u_1=1\), \(u_2=4\), \(u_3=13\), \(u_4=40\) et \(u_5=121\).
    \(5\) est un nombre premier impair et \(u_5=121=11^2\) n’est pas premier.
    L’affirmation est donc fausse.
    \(\quad\)
    1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(2u_n = 3^n - 1\).
    2. a. Initialisation : Si \(n=0\) alors \(2u_0=0\) et \(3^n-1=1-1=0\).
      La propriété est vraie au rang \(0\).
      \(\quad\)
      Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang \(n\) : \(2u_n=3^n-1\).
      Montrons que la propriété est vraie au rang \(n+1\), c’est-à-dire que \(2u_{n+1}=3^{n+1}-1\).
      \(\begin{align*} 2u_{n+1}&=2\times 3u_n+2 \\
      &=3\times 2u_n+2 \\
      &=3\times \left(3^n-1\right)+2 \\
      &=3^{n+1}-3+2 \\
      &=3^{n+1}-1
      \end{align*}\)
      La propriété est vraie au rang \(n+1\).
      \(\quad\)
      Conclusion : La propriété est vraie au rang \(0\) et est héréditaire.
      Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), on a \(2u_n=3^n-1\).
      \(\quad\)
    3. Déterminer le plus petit entier naturel non nul \(n\) tel que \(3^n\) est congru à 1 modulo 7.
    4. \(\quad\)
      \(\begin{array}{|c|c|c|}
      \hline
      n&3^n&3^n ~\text{modulo}~7 \\
      \hline
      1&3&3\\
      \hline
      2&9&2\\
      \hline
      3&27&6\\
      \hline
      4&81&4\\
      \hline
      5&243&5\\
      \hline
      6&729&1\\
      \hline
      \end{array}\)
      Le plus petit entier naturel non nul \(n\) tel que \(3^n\) est congru à \(1\) modulo \(7\) est donc \(6\).
      \(\quad\)
    5. En déduire que \(u_{ 2\,022 }\) est divisible par \(7\).
    6. On a \(2u_{2~022}=3^{2~022}-1=3^{6\times 337}-1=\left(3^6\right)^{337}-1\).
      Par conséquent \(2u_{2~022}\equiv 1^{337}-1 ~[7] \equiv 0~[7]\).
      Il existe donc un entier naturel \(p\) tel que \(2u_n=7q\).
      \(2\) et \(7\) sont premiers entre eux. D’après le théorème de Gauss \(7\) divise donc \(u_{2~022}\).
      \(\quad\)
    1. Calculer le reste de la division euclidienne par 5 de chacun des cinq premiers termes de la suite \(\left(u_n\right)\).
    2. On a \(u_0=0 \equiv 0~[5]\)
      \(u_1=1\equiv 1~[5]\)
      \(u_2=4 \equiv 4~[5]\)
      \(u_3=13 \equiv 3~[5]\)
      \(u_4=40\equiv 0~[5]\)
      \(u_5=121 \equiv 1~[5]\)
      \(\quad\)
    3. Sans justification, recopier et compléter le tableau suivant : \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Reste de la division euclidienne de } m \text{ par } 5 &0 &1 &2 &3 &4\\ \hline \text{Reste de la division euclidienne de } 3m + 1 \text{ par } 5& & & & &\\ \hline \end{array}\]
    4. On obtient :
      \[\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|} \hline \text{Reste de la division euclidienne de } m \text{ par } 5 &0&1&2&3&4\\ \hline \text{Reste de la division euclidienne de } 3m+1 \text{ par } 5 &1&4&2&0&3\\ \hline \end{array}\]
      \(\quad\)
    5. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), si \(u_n\) est congru à 4 modulo 5, alors \(u_{n+4}\) est congru à 4 modulo 5.
    6. Si \(u_n\) est congru à \(4\) modulo \(5\) alors \(u_{n+1}=3u_n+1\) est congru à \(3\) modulo \(5\).
      Par conséquent \(u_{n+2}=3u_{n+1}+1\) est congru à \(0\) modulo \(5\).
      Ainsi \(u_{n+3}=3u_{n+2}+1\) est congru à \(1\) modulo \(5\).
      Donc \(u_{n+4}=3u_{n+3}+1\) est congru à \(4\) modulo \(5\).
      \(\quad\)
    7. Existe-t-il un entier naturel \(n\) tel que le reste de la division euclidienne de \(u_n\) par 5 soit égal à 2 ?
    8. D’après les questions 5.a. et 5.b. le reste de la division euclidienne de \(u_n\) par \(5\) est successivement \(0\),\(1\),\(4\) et \(3\).
      Il n’existe donc d’entier naturel \(n\) tel que le reste de la division euclidienne de \(u_n\) par \(5\) soit égal à \(2\).
      \(\quad\)

ImprimerE-mail

Statistiques

Visiteurs
173
Articles
1392
Compteur d'affichages des articles
8118663