Baccalauréat S Asie 21 juin 2018 Spécialité

oui
non
S
Année 2018
Asie
Spécialité

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


On s'intéresse à la figure suivante, dans laquelle \(a\), \(b\) et \(c\) désignent les longueurs des hypoténuses des trois triangles rectangles en O dessinés ci-dessous.
Spe
Problème :on cherche les couples de nombres entiers naturels non nuls \((u,~v)\) tels que \(ab = c\).

  1. Modélisation Démontrer que les solutions du problème sont des solutions de l'équation : \[(E) :\quad v^2 - 2u^2 = 1\quad (v \text{ et }\: u \: \text{ étant des entiers naturels non nuls}).\]
  2. Recherche systématique de solutions de l'équation \((E)\) Recopier et compléter l'algorithme suivant pour qu'il affiche au cours de son exécution tous les couples solutions de l'équation pour lesquels \(1 \leqslant u \leqslant 1\;000 \) et \(1 \leqslant v \leqslant 1\;000 \). \[\begin{array}{ |l |l| }\hline \text{Pour } u \text{ allant de 1 à } \ldots \text{ faire }& \text{ Au cours de son exécution,}\\ \hspace{0.5cm}\text{Pour } \ldots& \text{ l'algorthme affiche : }\\ \hspace{1cm}\text{ Si }\ldots& 2 \quad 3\\ \hspace{1.5cm}\text{Afficher } u \text{ et } v &12 \quad 17\\ \hspace{1cm}\text{ Fin Si } &70 \quad 99\\ \hspace{0.5cm}\text{ Fin Pour }&408 \quad 577\\ \text{Fin Pour }&\\ \hline \end{array}\]
  3. Analyse des solutions éventuelles de l'équation \((E)\) On suppose que le couple \((u,~v)\) est une solution de l'équation \((E)\).
    1. Établir que \(u < v\).
    2. Démontrer que \(n\) et \(n^2\) ont la même parité pour tout entier naturel \(n\).
    3. Démontrer que \(v\) est un nombre impair.
    4. Établir que \(2u^2 =(v-1)(v+1)\). En déduire que \(u\) est un nombre pair.
  4. Une famille de solutions On assimile un couple de nombres entiers \((u,~v)\) à la matrice colonne \(X = \begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}\). On définit également la matrice \(A = \begin{pmatrix}3&2\\4&3\end{pmatrix}\).
    1. Démontrer que si une matrice colonne \(X\) est une solution de l'équation \((E)\), alors \(AX\) est aussi une solution de l'équation \((E)\).
    2. Démontrer que si une matrice colonne \(X\) est une solution de l'équation \((E)\), alors pour tout entier naturel \(n\),  \(A^n X\) est aussi une solution de l'équation \((E)\).
    3. À l'aide de la calculatrice, donner un couple \((u,~v)\) solution de l'équation \((E)\) tel que \(v > 1\;0000 \).

 

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


On s'intéresse à la figure suivante, dans laquelle \(a\), \(b\) et \(c\) désignent les longueurs des hypoténuses des trois triangles rectangles en O dessinés ci-dessous.
Spe
Problème :on cherche les couples de nombres entiers naturels non nuls \((u,~v)\) tels que \(ab = c\).

  1. Modélisation : Démontrer que les solutions du problème sont des solutions de l'équation : \[(E) :\quad v^2 - 2u^2 = 1\quad (v \text{ et }\: u \: \text{ étant des entiers naturels non nuls}).\]
  2. On applique le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle en \(O\) d’hypoténuse de longueur \(a\).
    On obtient alors : \(a^2=1^2+1^1=2\).
    On faisant de même dans les deux autres triangles rectangles on peut écrire :
    \(b^2=1^2+u^2=1+u^2\) et \(c^2=1^2+v^2=1+v^2\).
    \(\quad\)
    Si \(ab=c\) alors \(a^2b^2=c^2\).
    Par conséquent \(2\left(1+u^2\right)=1+v^2\)
    Soit \(2+2u^2=1+v^2\)
    Et donc \(v^2-2u^2=1\).
    \(\quad\)
    Les solutions du problème sont par conséquent également les solutions \((u,v)\) de l’équation \((E) : v^2-2u^2=1\) où \(u\) et \(v\) sont des entiers naturels non nuls.
    \(\quad\)
  3. Recherche systématique de solutions de l'équation \((E)\) Recopier et compléter l'algorithme suivant pour qu'il affiche au cours de son exécution tous les couples solutions de l'équation pour lesquels \(1 \leqslant u \leqslant 1\;000 \) et \(1 \leqslant v \leqslant 1\;000 \). \[\begin{array}{ |l |l| }\hline \text{Pour } u \text{ allant de 1 à } \ldots \text{ faire }& \text{ Au cours de son exécution,}\\ \hspace{0.5cm}\text{Pour } \ldots& \text{ l'algorthme affiche : }\\ \hspace{1cm}\text{ Si }\ldots& 2 \quad 3\\ \hspace{1.5cm}\text{Afficher } u \text{ et } v &12 \quad 17\\ \hspace{1cm}\text{ Fin Si } &70 \quad 99\\ \hspace{0.5cm}\text{ Fin Pour }&408 \quad 577\\ \text{Fin Pour }&\\ \hline \end{array}\]
  4. \[\begin{array}{ |l |l| }\hline \text{Pour } u \text{ allant de 1 à } 1~000 \text{ faire }& \text{ Au cours de son exécution,}\\ \hspace{0.5cm}\text{Pour } v \text{ allant de 1 à } 1~000 \text{ faire }& \text{ l'algorthme affiche : }\\ \hspace{1cm}\text{ Si }v^2-2u^2=1& 2 \quad 3\\ \hspace{1.5cm}\text{Afficher } u \text{ et } v &12 \quad 17\\ \hspace{1cm}\text{ Fin Si } &70 \quad 99\\ \hspace{0.5cm}\text{ Fin Pour }&408 \quad 577\\ \text{Fin Pour }&\\ \hline \end{array}\]
  5. Analyse des solutions éventuelles de l'équation \((E)\) On suppose que le couple \((u,~v)\) est une solution de l'équation \((E)\).
    1. Établir que \(u < v\).
    2. Si le couple \((u,v)\) est une solution de l’équation \((E)\) et que \(u \geq v\) alors \(2u^2>2v^2\).
      Ainsi \(2u^2 > v^2\) et \(v^2-2u^2<0\).
      Cela contredit le fait \(v^2-2u^2=1\).
      Par conséquent \(u<v\).
      \(\quad\)
    3. Démontrer que \(n\) et \(n^2\) ont la même parité pour tout entier naturel \(n\).
    4. Supposons que \(n\) soit pair. Il existe alors un entier naturel \(k\) tel que \(n=2k\).
      Par conséquent \(n^2=(2k)^2=4k^2=2\left(2k^2\right)\) et \(n^2\) est pair.
      Supposons que \(n\) soit impair. Il existe alors une entier naturel \(k\) tel que \(n=2k+1\).
      Alors \(n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2\left(2k^2+2k\right)+1\) et \(n^2\) est impair.
      Donc \(n\) et \(n^2\) ont la même parité.
      \(\quad\)
    5. Démontrer que \(v\) est un nombre impair.
    6. On considère un couple solution \((u,v)\) du problème.
      Alors \(v^2-2u^2=1 \iff v^2=2u^2+1\).
      \(v^2\) est donc impair. Par conséquent, d’après la question précédente \(v\) l’est aussi.
      \(\quad\)
    7. Établir que \(2u^2 =(v-1)(v+1)\). En déduire que \(u\) est un nombre pair.
    8. On a \(v^2-2u^2=1 \iff 2u^2=v^2-1 \iff 2u^2=(v-1)(v+1)\).
      \(v\) est impair donc \(v-1\) et \(v+1\) sont pairs.
      Il existe ainsi un entier naturel \(k\) tel que \(v-1=2k\) et \(v+1=2(k+1)\).
      Alors \(2u^2=2k\times 2(k+1) \iff u^2=2k(k+1)\).
      \(u^2\) est donc pair.
      D’après la question 3.b. \(u\) est par conséquent pair.
      \(\quad\)
  6. Une famille de solutions On assimile un couple de nombres entiers \((u,~v)\) à la matrice colonne \(X = \begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}\). On définit également la matrice \(A = \begin{pmatrix}3&2\\4&3\end{pmatrix}\).
    1. Démontrer que si une matrice colonne \(X\) est une solution de l'équation \((E)\), alors \(AX\) est aussi une solution de l'équation \((E)\).
    2. Soit \(X\) est une solution de l’équation \((E)\).
      \(AX=\begin{pmatrix} 3u+2v\\4u+3v\end{pmatrix}\).
      \(\begin{align*} (4u+3v)^2-2(3u+2v)^2&=16u^2+9v^2+24uv-2\left(9u^2+4v^2+12uv\right) \\
      &=16u^2+9v^2+24uv-18u^2-8v^2-24uv \\
      &=v^2-2u^2\\
      &=1
      \end{align*}\)
      \(AX\) est donc une solution de l’équation \((E)\).
      \(\quad\).
    3. Démontrer que si une matrice colonne \(X\) est une solution de l'équation \((E)\), alors pour tout entier naturel \(n\),  \(A^n X\) est aussi une solution de l'équation \((E)\).
    4. Montrons à l’aide d’un raisonnement par récurrence sur \(n\) que si une matrice colonne \(X\) est une solution de l’équation \((E)\) alors \(A^nX\) est aussi une solution de l’équation \((E)\).
      On suppose que la matrice colonne \(X\) est une solution de l’équation \((E)\)
      Initialisation : 
      si \(n=0\) alors \(A^nX=X\) et donc \(A^nX\) est une solution de l’équation \((E)\).
      La propriété est vraie au rang \(0\).
      \(\quad\)
      Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang \(n\) : \(A^nX\) est aussi une solution de l’équation \((E)\).
      Montrons qu’elle est encore vraie au rang suivant, c’est-à-dire que \(A^{n+1}X\) est une solution de l’équation \((E)\).
      \(A^{n+1}X=A\left(A^nX\right)\).
      \(A^nX\) est aussi une solution de l’équation \((E)\) donc d’après la question précédente \(A\left(A^nX\right)\) est également une solution de l’équation \((E)\).
      la propriété est vraie au rang \(n+1\).
      \(\quad\)
      Conclusion : La propriété est vraie au rang \(0\) et est héréditaire.
      Par conséquent pour tout entier naturel \(n\) la matrice colonne \(A^nX\) est aussi une solution de l’équation \((E)\).
      \(\quad\)
    5. À l'aide de la calculatrice, donner un couple \((u,~v)\) solution de l'équation \((E)\) tel que \(v > 1\;0000 \).
    6. \(3^2-2\times 2^2=9-8=1\).
      Le couple \((2;3)\) est une solution de l’équation \((E)\).
      On obtient \(A^5X=\begin{pmatrix} 13~860\\19~601\end{pmatrix}\).
      D’après la question précédente, le couple \((13~860;19~601)\) est solution de l’équation \((E)\) et \(v>10~000\).
      \(\quad\)
 

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