Baccalauréat S Amérique du Nord 29 mai 2018 Spécialité

oui
non
S
Année 2018
Amérique du Nord
Spécialité

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Dans une région, on s'intéresse à la cohabitation de deux espèces animales : les campagnols et les renards, les renards étant les prédateurs des campagnols.
Au 1er juillet 2012, on estime qu'il y a dans cette région approximativement deux millions de campagnols et cent-vingt renards.
On note \(u_n\) le nombre de campagnols et \(v_n\) le nombre de renards au 1er juillet de l'année \(2012+ n\).

Partie A - Un modèle simple


On modélise l'évolution des populations par les relations suivantes : \[\left\{\begin{array}{l c r} u_{n+1}& =& 1,1u_n - 2000 v_n\\ v_{n+1} & =& 2 \times 10^{-5}u_n + 0,6v_n \end{array}\right. \quad \text{pour tout entier }\:n \geqslant 0,\: \text{avec } \:u_0 = 2000000 \: \text{et} \: v_0 = 120.\]

    1. On considère la matrice colonne \(U_n = \begin{pmatrix}u_n\\v_n\end{pmatrix}\) pour tout entier \(n \geqslant 0\). Déterminer la matrice \(A\) telle que \(U_{n+1} = A \times U_n\) pour tout entier \(n\) et donner la matrice \(U_0\).
    2. Calculer le nombre de campagnols et de renards estimés grâce à ce modèle au 1er juillet 2018.
  1. Soit les matrices \(P = \begin{pmatrix} 20000 & 5000 \\1&1\end{pmatrix} , \: D = \begin{pmatrix}1&0\\0&0,7\end{pmatrix}\) et \(P^{- 1} = \dfrac{1}{ 15000} \begin{pmatrix}1& -5000 \\- 1& 20000 \end{pmatrix}\). On admet que \(P^{- 1}\) est la matrice inverse de la matrice \(P\) et que \(A = P \times D \times P^{- 1}\).
    1. Montrer que pour tout entier naturel \(n\), \(U_n = P \times D^n \times P^{- 1} \times U_0\).
    2. Donner sans justification l'expression de la matrice \(D^n\) en fonction de \(n\).
    3. On admet que, pour tout entier naturel \(n\) : \[\left\{\begin{array}{l c r} u_n &=& \dfrac{2,8 \times 10^7 + 2 \times 10^6 \times 0,7^n}{15}\\ v_n &=&\dfrac{ 1400 + 400 \times 0,7^n}{15} \end{array}\right.\]Décrire l'évolution des deux populations.

 

Partie B - Un modèle plus conforme à la réalité


Dans la réalité, on observe que si le nombre de renards a suffisamment baissé, alors le nombre de campagnols augmente à nouveau, ce qui n'est pas le cas avec le modèle précédent. On construit donc un autre modèle, plus précis, qui tient compte de ce type d'observations à l'aide des relations suivantes : \[\left\{\begin{array}{l c r} u_{n+1} &=& 1,1u_n - 0,001 u_n \times v_n\\ v_{n+1} &=& 2 \times 10^{-7} u_n \times v_n + 0,6v_n \end{array}\right.\quad \text{pour tout entier }\:n \geqslant 0,\: \text{avec }\:u_0 = 2000000 \: \text{et }\: v_0 = 120.\]
Le tableau ci-dessous présente ce nouveau modèle sur les \(25\) premières années en donnant les effectifs des populations arrondis à l'unité :

  1. Quelles formules faut-il écrire dans les cellules B4 et C4 et recopier vers le bas pour remplir les colonnes B et C ?
  2. Avec le deuxième modèle, à partir de quelle année observe-t-on le phénomène décrit (baisse des renards et hausse des campagnols) ?

 

Partie C


Dans cette partie on utilise le modèle de la partie B. Est - il possible de donner à \(u_0\) et \(v_0\) des valeurs afin que les deux populations restent stables d'une année sur l'autre, c'est-à-dire telles que pour tout entier naturel \(n\) on ait \(u_{n+1} = u_n\) et \(v_{n+1} = v_n\) ? (On parle alors d'état stable.)

 

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Dans une région, on s'intéresse à la cohabitation de deux espèces animales : les campagnols et les renards, les renards étant les prédateurs des campagnols.
Au 1er juillet 2012, on estime qu'il y a dans cette région approximativement deux millions de campagnols et cent-vingt renards.
On note \(u_n\) le nombre de campagnols et \(v_n\) le nombre de renards au 1er juillet de l'année \(2012+ n\).

Partie A - Un modèle simple


On modélise l'évolution des populations par les relations suivantes : \[\left\{\begin{array}{l c r} u_{n+1}& =& 1,1u_n - 2000 v_n\\ v_{n+1} & =& 2 \times 10^{-5}u_n + 0,6v_n \end{array}\right. \quad \text{pour tout entier }\:n \geqslant 0,\: \text{avec } \:u_0 = 2000000 \: \text{et} \: v_0 = 120.\]

    1. On considère la matrice colonne \(U_n = \begin{pmatrix}u_n\\v_n\end{pmatrix}\) pour tout entier \(n \geqslant 0\). Déterminer la matrice \(A\) telle que \(U_{n+1} = A \times U_n\) pour tout entier \(n\) et donner la matrice \(U_0\).
    2. On a
      \(\begin{pmatrix} u_{n+1}\\v_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1,1&2~000\\2\times 10^-5&0,6\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}u_n\\v_n\end{pmatrix}\)
      Donc \(A=\begin{pmatrix} 1,1&2~000\\2\times 10^-5&0,6\end{pmatrix}\).
      Et \(U_0=\begin{pmatrix}2~000~000\\120\end{pmatrix}\).
      \(\quad\)
    3. Calculer le nombre de campagnols et de renards estimés grâce à ce modèle au 1er juillet 2018.
    4. Au \(1^\text{er}\) juillet 2018 on a \(n=6\).
      Donc \(U_6=A^6\times U_0 \approx \begin{pmatrix} 1~882~353\\96\end{pmatrix}\)
      Il y aura donc environ \(1~882~353\) campagnols et \(96\) renards.
      \(\quad\)
  1. Soit les matrices \(P = \begin{pmatrix} 20000 & 5000 \\1&1\end{pmatrix} , \: D = \begin{pmatrix}1&0\\0&0,7\end{pmatrix}\) et \(P^{- 1} = \dfrac{1}{ 15000} \begin{pmatrix}1& -5000 \\- 1& 20000 \end{pmatrix}\). On admet que \(P^{- 1}\) est la matrice inverse de la matrice \(P\) et que \(A = P \times D \times P^{- 1}\).
    1. Montrer que pour tout entier naturel \(n\), \(U_n = P \times D^n \times P^{- 1} \times U_0\).
    2. Montrons ce résultat par récurrence.
      Initialisation : si \(n=0\) alors \(P\times D^n\times P^{-1}\times U_0=P\times I_2\times P^{-1}\times U_0=U_0\)
      La propriété est vraie au rang \(0\).
      \(\quad\)
      Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang \(n\) : \(U_n=P\times D^n\times P^{-1}\times U_0\).
      Montrons qu’elle est encore vraie au rang \(n+1\), c’est-à-dire que \(U_{n+1}=P\times D^{n+1}\times P^{-1}\times U_0\).
      \(\begin{align*} U_{n+1}&=A\times U_n \\
      &=P\times D\times P^{-1} \times P\times D^n\times P^{-1}\times U_0 \\
      &=P\times D \times D^n\times P^{-1}\times U_0 \\
      &=P\times D^{n+1}\times P^{-1}\times U_0
      \end{align*}\)
      La propriété est vraie au rang \(n+1\).
      \(\quad\)
      Conclusion : La propriété est vraie au rang \(0\) et est héréditaire.
      Par conséquent, pour tout entier naturel \(n\) on a \(U_n=P\times D^n\times P^{-1}\times U_0\).
      \(\quad\)
    3. Donner sans justification l'expression de la matrice \(D^n\) en fonction de \(n\).
    4. Pour tout entier naturel \(n\) on a \(D_n=\begin{pmatrix}1&0\\0&0,7^n\end{pmatrix}\).
      \(\quad\)
    5. On admet que, pour tout entier naturel \(n\) : \[\left\{\begin{array}{l c r} u_n &=& \dfrac{2,8 \times 10^7 + 2 \times 10^6 \times 0,7^n}{15}\\ v_n &=&\dfrac{ 1400 + 400 \times 0,7^n}{15} \end{array}\right.\]Décrire l'évolution des deux populations.
    6. Pour tout entier naturel \(n\) on a :
      \(u_n=\dfrac{2,8\times 10^7}{15}+\dfrac{2\times 10^6}{15}\times 0,7^n\) et \(v_n=\dfrac{1400}{15}+\dfrac{400}{15}\times 0,7^n\).
      Puisque \(0<0,7<1\), cela signifie que la suite géométrique de raison \(0,7\) est décroissante et que \(\lim\limits_{n \to +\infty} 0,7^n=0\)
      Par conséquent les suite \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) sont décroissantes.
      De plus \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=\dfrac{2,8\times 10^7}{15}\) et \(\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=\dfrac{1400}{15}=\dfrac{280}{3}\)
      \(\quad\)
      Le nombre de renards et de campagnols va donc décroître pour se stabiliser à environ \(93\) individus pour les renards et environ \(1~866~667\) pour les campagnols.
      \(\quad\)

 

Partie B - Un modèle plus conforme à la réalité


Dans la réalité, on observe que si le nombre de renards a suffisamment baissé, alors le nombre de campagnols augmente à nouveau, ce qui n'est pas le cas avec le modèle précédent. On construit donc un autre modèle, plus précis, qui tient compte de ce type d'observations à l'aide des relations suivantes : \[\left\{\begin{array}{l c r} u_{n+1} &=& 1,1u_n - 0,001 u_n \times v_n\\ v_{n+1} &=& 2 \times 10^{-7} u_n \times v_n + 0,6v_n \end{array}\right.\quad \text{pour tout entier }\:n \geqslant 0,\: \text{avec }\:u_0 = 2000000 \: \text{et }\: v_0 = 120.\]
Le tableau ci-dessous présente ce nouveau modèle sur les \(25\) premières années en donnant les effectifs des populations arrondis à l'unité :

  1. Quelles formules faut-il écrire dans les cellules B4 et C4 et recopier vers le bas pour remplir les colonnes B et C ?
  2. En \(B4\) on a pu écrire \(=1,1\times B3-0,001\times B3\times C3\).
    En \(C4\) on a pu écrire \(=2\times 10^{-7}\times B3\times C3+0,6\times C3\).
  3. Avec le deuxième modèle, à partir de quelle année observe-t-on le phénomène décrit (baisse des renards et hausse des campagnols) ?
  4. En utilisant le menu table de la calculatrice on constate qu’à partir de \(n=104\) on observe le phénomène décrit, soit à partir de l’année 2116.
    \(\quad\)

 

Partie C

 

Dans cette partie on utilise le modèle de la partie B. Est - il possible de donner à \(u_0\) et \(v_0\) des valeurs afin que les deux populations restent stables d'une année sur l'autre, c'est-à-dire telles que pour tout entier naturel \(n\) on ait \(u_{n+1} = u_n\) et \(v_{n+1} = v_n\) ? (On parle alors d'état stable.)

On appelle \(\begin{pmatrix} U&V\end{pmatrix}\) l’état stable
On veut donc résoudre le système
\(\begin{align*} \begin{cases} U=1,1U\times -0,001U\times V\\V=2\times 10^{-7}U\times V+0,6V\end{cases}&\iff \begin{cases} 0,1U=0,001U\times V \\0,4V=2\times 10^{-7}U\times V \end{cases} \\
&\iff \begin{cases} 0,1U(1-0,01V)=0\\2V\left(0,2-10^{-7}V\right)=0\end{cases} \quad (*)\\
&\iff \begin{cases} V=100\\U=2\times 10^6\end{cases}\end{align*}\)
\((*)\) \(U\) et \(V\) ne sont pas nuls.
S’il y a \(2~000~000\) campagnols et \(100\) renards alors les deux populations sont stables.
\(\quad\)

Si on ne suppose pas que les deux populations sont présentes, on peut prendre une suite constante égale à 0 pour \(U\) ou pour \(V\), mais cela rend caduc le modèle (s’il y a 0 campagnols, que mangent lesrenards? ou s’il n’y a pas de renards pour manger les campagnols, qui limitera la croissance de la population de campagnols?)

 

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