Baccalauréat S Liban 29 mai 2018 Spécialité

oui
non
S
Année 2018
Liban
Spécialité

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


On définit la suite de réels \(\left(a_n\right)\) par : \[\left\{\begin{array}{l c l} a_0 &= &0\\ a_1 &= &1\\ a_{n+1} &=& a_n + a_{n-1}\: \text{ pour }\: n \geqslant 1. \end{array}\right.\]On appelle cette suite la suite de Fibonacci.

  1. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'à la fin de son exécution la variable \(A\) contienne le terme \(a_n\). \[\begin{array}{|c c|}\hline 1&A \gets 0\\ 2& B \gets 1\\ 3& \text{Pour } i \text{ allant de 2 à } n :\\ 4& \hspace{0.4cm} C \gets A + B \\ 5& \hspace{0.4cm} A \gets \ldots \\ 6& \hspace{0.4cm} B \gets \ldots \\ 7& \text{Fin Pour}\\ \hline \end{array} \]On obtient ainsi les premières valeurs de la suite \(a_n\) : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline a_n &0 & 1 &1 &2 &3 &5 &8 &13 &21 &34 &55\\ \hline \end{array} \]
  2. Soit la matrice \(A = \begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\). Calculer \(A^2\), \(A^3\) et \(A^4\). Vérifier que \(A^5 = \begin{pmatrix}8&5\\5&3\end{pmatrix}\).
  3. On peut démontrer, et nous admettrons, que pour tout entier naturel \(n\) non nul, \[A^n = \begin{pmatrix}a_{n+1}&a_n\\a_n&a_{n-1}\end{pmatrix}.\]
    1. Soit \(p\) et \(q\) deux entiers naturels non nuls. Calculer le produit \(A^p \times A^q\) et en déduire que \[a_{p+q} = a_p \times a_{q+1} + a_{p-1} \times a_q.\]
    2. En déduire que si un entier \(r\) divise les entiers \(a_p\) et \(a_q\), alors \(r\) divise également \(a_{p+q}\).
    3. Soit \(p\) un entier naturel non nul. Démontrer, en utilisant un raisonnement par récurrence sur \(n\), que pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(a_p\) divise \(a_{np}\).
    1. Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 5. Montrer que si \(n\) est un entier naturel qui n'est pas premier, alors \(a_n\) n'est pas un nombre premier.
    2. On peut calculer \(a_{19} = 4181 = 37 \times 113\). Que penser de la réciproque de la propriété obtenue dans la question 4. a. ?

 

 

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


On définit la suite de réels \(\left(a_n\right)\) par : \[\left\{\begin{array}{l c l} a_0 &= &0\\ a_1 &= &1\\ a_{n+1} &=& a_n + a_{n-1}\: \text{ pour }\: n \geqslant 1. \end{array}\right.\]On appelle cette suite la suite de Fibonacci.

  1. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'à la fin de son exécution la variable \(A\) contienne le terme \(a_n\). \[\begin{array}{|c c|}\hline 1&A \gets 0\\ 2& B \gets 1\\ 3& \text{Pour } i \text{ allant de 2 à } n :\\ 4& \hspace{0.4cm} C \gets A + B \\ 5& \hspace{0.4cm} A \gets \ldots \\ 6& \hspace{0.4cm} B \gets \ldots \\ 7& \text{Fin Pour}\\ \hline \end{array} \]On obtient ainsi les premières valeurs de la suite \(a_n\) : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline a_n &0 & 1 &1 &2 &3 &5 &8 &13 &21 &34 &55\\ \hline \end{array} \]
  2. On obtient l’algorithme suivant :
    \[\begin{array}{|c c|}\hline 1&A \gets 0\\ 2& B \gets 1\\ 3& \text{Pour } i \text{ allant de 2 à } n :\\ 4& \hspace{0.4cm} C \gets A + B \\ 5& \hspace{0.4cm} A \gets B \\ 6& \hspace{0.4cm} B \gets C \\ 7& \text{Fin Pour}\\ \hline \end{array} \]On obtient ainsi les premières valeurs de la suite \(a_n\) : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline a_n &0 & 1 &1 &2 &3 &5 &8 &13 &21 &34 &55\\ \hline \end{array} \]
    Remarque : la valeur de départ \(i=2\) donnée par l’énoncé est fausse. Il faut en effet que la boucle commence à \(i=1\) pour que l’algorithme réponde précisément à la question posée. Une autre alternative serait par exemple de faire varier la variable \(i\) de \(2\) à \(n+1\).
    \(\quad\)
  3. Soit la matrice \(A = \begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\). Calculer \(A^2\), \(A^3\) et \(A^4\). Vérifier que \(A^5 = \begin{pmatrix}8&5\\5&3\end{pmatrix}\).
  4. On a \(A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\)
    Donc \(A^2=\begin{pmatrix} 1+1&1+0\\1+0&1+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\)
    \(A^3=\begin{pmatrix}2+1&1+1\\2+0&1+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2\\2&1\end{pmatrix}\)
    \(A^4=\begin{pmatrix}5+2&2+1\\3+0&2+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&3\\3&2\end{pmatrix}\)
    \(A^5=\begin{pmatrix}5+3&3+2\\5+0&3+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8&5\\5&3\end{pmatrix}\).
    \(\quad\)
  5. On peut démontrer, et nous admettrons, que pour tout entier naturel \(n\) non nul, \[A^n = \begin{pmatrix}a_{n+1}&a_n\\a_n&a_{n-1}\end{pmatrix}.\]
    1. Soit \(p\) et \(q\) deux entiers naturels non nuls. Calculer le produit \(A^p \times A^q\) et en déduire que \[a_{p+q} = a_p \times a_{q+1} + a_{p-1} \times a_q.\]
    2. On a \(A^p\times A^q=A^{p+q}\)
      \(A^p=\begin{pmatrix} a_{p+1}&a_p\\a_p&a_{p-1}\end{pmatrix}\)
      \(A^q=\begin{pmatrix} a_{q+1}&a_p\\a_q&a_{q-1}\end{pmatrix}\)
      Dans le produit \(A_p\times A_q\) on regarde le terme situé sur la deuxième ligne et la première colonne.
      Ainsi \(a_{p+q}=a_p\times a_{q+1}+a_{p-1}\times a_q\).
      \(\quad\)
    3. En déduire que si un entier \(r\) divise les entiers \(a_p\) et \(a_q\), alors \(r\) divise également \(a_{p+q}\).
    4. Si \(r\) divise \(a_p\) et \(a_q\) alors :
      \(a_p\times a_{q+1} \equiv 0~~[r]\) et \(a_{p-1}\times a_q\equiv 0~~[r]\).
      Donc, par somme, \(a_{p+q}\equiv 0~~[r]\).
      \(r\) divise également \(a_{p+q}\).
      \(\quad\)
    5. Soit \(p\) un entier naturel non nul. Démontrer, en utilisant un raisonnement par récurrence sur \(n\), que pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(a_p\) divise \(a_{np}\).
    6. Initialisation : Si \(n=1\) alors \(a_{np}=a_p\). \(a_p\) divise donc \(a_{np}\)
      \(\quad\)
      Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang \(n\) non nul : \(a_p\) divise \(a_{np}\).
      alors \(a_{(n+1)p}=a_{np+p}\)
      \(a_p\) divise \(a_p\) et \(a_{np}\) donc, d’après la question précédente, \(a_p\) divise également \(a_{(n+1)p}\).
      \(\quad\)
      Conclusion : La propriété est vraie au rang \(1\) et est héréditaire.
      Par conséquent, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(a_p\) divise \(a_{np}\).
      \(\quad\)
    1. Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 5. Montrer que si \(n\) est un entier naturel qui n'est pas premier, alors \(a_n\) n'est pas un nombre premier.
    2. Si \(n\) est un entier naturel supérieur ou égal à \(5\) qui n’est pas premier alors il existe deux entiers naturels non nul \(p\) et \(q\) tels que \(n=pq\).
      Ainsi d’après la question précédente \(a_p\) divise \(a_{pq}=a_n\).
      Par conséquent \(a_n\) n’est pas un nombre premier.
      \(\quad\)
    3. On peut calculer \(a_{19} = 4181 = 37 \times 113\). Que penser de la réciproque de la propriété obtenue dans la question 4. a. ?
    4. La réciproque de la propriété obtenue à la question 4.a. est “Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(5\). Si \(a_n\) n’est pas un nombre premier alors \(n\) n’est pas un nombre premier.
      Or \(a_{19}\) n’est pas un nombre premier alors que \(19\) l’est.
      La réciproque est donc fausse.
      \(\quad\)

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