Baccalauréat S Métropole - La Réunion 12 septembre 2017 Spécialité

oui
non
S
Année 2017
Métropole Septembre
Spécialité

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)\), on considère les points A\((1~;~5~;~- 2)\), B\((7~;~- 1~;~3)\) et C\((- 2~;~7~;~-2)\) et on note \(P\) le plan (ABC). On cherche une équation cartésienne du plan \(P\) sous la forme : \(ax + by + cz = 73\), où \(a,\: b\) et \(c\) sont des nombres réels. On note \(X\) et \(Y\) les matrices colonnes : \(X = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) et \(Y = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\).

  1. Montrer que \(X\) vérifie la relation : \(MX = 73Y\), où \(M\) est la matrice \(M = \begin{pmatrix}1&5&- 2\\7&- 1&3\\- 2&7&- 2\end{pmatrix}\).
  2. Soit \(N\) la matrice : \(N = \begin{pmatrix}19&4&- 13\\- 8&6&17\\- 47&17&36\end{pmatrix}\). À l'aide d'une calculatrice, on a calculé les produits \(M \times N\) et \(N \times M\), et on a obtenu les copies d'écran suivantes : \[ \begin{array}{cc} \text{Pour } M \times N : & \text{Pour }N \times M : \\ \begin{array}{|r| r r r|}\hline {}{Ans}& {c}{1}&{c}{2}& {c}{3}\\\hline 1& 73&0&0\\ 2&0&73&0\\ 3& 0 &0 &73\\ \hline \end{array}&\begin{array}{|r |r r r|}\hline {}{Ans}& {c}{1}&{c}{2}& {c}{3}\\\hline 1& 73&0&0\\ 2&0&73&0\\ 3& 0 &0 &73\\ \hline \end{array}\\ \end{array} \]À l'aide de ces informations, justifier que la matrice \(M\) est inversible et exprimer sa matrice inverse \(M^{-1}\) en fonction de la matrice \(N\).
  3. Montrer alors que : \(X = NY\). En déduire que le plan \(P\) admet pour équation cartésienne : \(10x + 15y + 6z = 73\).

Partie B

L'objectif de cette partie est l'étude des points à coordonnées entières du plan \(P\) ayant pour équation cartésienne : \(10x + 15y + 6z = 73\).

  1. Soit \(M(x~;~y~;~z)\) un point appartenant au plan \(P\) et au plan d'équation \(z = 3\). On suppose que les coordonnées \(x\), \(y\) et \(z\) appartiennent à l'ensemble \(\mathbb{Z}\) des entiers relatifs.
    1. Montrer que les entiers \(x\) et \(y\) sont solutions de l'équation \((E)\) : \(2x + 3y = 11\).
    2. Justifier que le couple \((7~;~- 1)\) est une solution particulière de \((E)\) puis résoudre l'équation \((E)\) pour \(x\) et \(y\) appartenant à \(\mathbb{Z}\).
    3. Montrer qu'il existe exactement deux points appartenant au plan \(P\) et au plan d'équation \(z = 3\) et dont les coordonnées appartiennent à l'ensemble \(\mathbb{N}\) des entiers naturels. Déterminer les coordonnées de ces deux points.
  2. Dans cette question, on se propose de déterminer tous les points \(M(x~;~y~;~z)\) du plan \(P\) dont les coordonnées sont des entiers naturels. Soient \(x\), \(y\) et \(z\) des entiers naturels tels que \(10x + 15y + 6z = 73\).
    1. Montrer que \(y\) est impair.
    2. Montrer que: \(x \equiv 1 \quad[3]\). On admet que : \(z \equiv 3 \quad[5]\).
    3. On pose alors : \(x = 1 + 3p\), \(y= 1 + 2q\) et \(z = 3 + 5r\), où \(p\), \(q\) et \(r\) sont des entiers naturels. Montrer que le point \(M(x~;~y;~z)\) appartient au plan \(P\) si et seulement si \(p + q + r = 1\).
    4. En déduire qu'il existe exactement trois points du plan \(P\) dont les coordonnées sont des entiers naturels. Déterminer les coordonnées de ces points.
 
 

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)\), on considère les points A\((1~;~5~;~- 2)\), B\((7~;~- 1~;~3)\) et C\((- 2~;~7~;~-2)\) et on note \(P\) le plan (ABC). On cherche une équation cartésienne du plan \(P\) sous la forme : \(ax + by + cz = 73\), où \(a,\: b\) et \(c\) sont des nombres réels. On note \(X\) et \(Y\) les matrices colonnes : \(X = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) et \(Y = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\).

  1. Montrer que \(X\) vérifie la relation : \(MX = 73Y\), où \(M\) est la matrice \(M = \begin{pmatrix}1&5&- 2\\7&- 1&3\\- 2&7&- 2\end{pmatrix}\).
  2. Le point \(A(1;5;-2)\) appartient au plan \(\mathcal{P}\). Par conséquent \(a+5b-2c=73\).
    Le point \(B(7;-1;3)\) appartient au plan \(\mathcal{P}\). Par conséquent \(7a-b+3c=73\).
    Le point \(C(-2;7;-2)\) appartient au plan \(\mathcal{P}\). Par conséquent \(-2a+7b-2c=73\).
    On obtient ainsi le système suivant :
    \(\begin{cases} a+5b-2c=73\\7a-b+3c=73\\-2a+7b-2c=73\end{cases}\)
    Par conséquent \(X\) vérifie bien la relation \(MX=73Y\).
  3. Soit \(N\) la matrice : \(N = \begin{pmatrix}19&4&- 13\\- 8&6&17\\- 47&17&36\end{pmatrix}\). À l'aide d'une calculatrice, on a calculé les produits \(M \times N\) et \(N \times M\), et on a obtenu les copies d'écran suivantes : \[ \begin{array}{cc} \text{Pour } M \times N : & \text{Pour }N \times M : \\ \begin{array}{|r| r r r|}\hline {}{Ans}& {c}{1}&{c}{2}& {c}{3}\\\hline 1& 73&0&0\\ 2&0&73&0\\ 3& 0 &0 &73\\ \hline \end{array}&\begin{array}{|r |r r r|}\hline {}{Ans}& {c}{1}&{c}{2}& {c}{3}\\\hline 1& 73&0&0\\ 2&0&73&0\\ 3& 0 &0 &73\\ \hline \end{array}\\ \end{array} \]À l'aide de ces informations, justifier que la matrice \(M\) est inversible et exprimer sa matrice inverse \(M^{-1}\) en fonction de la matrice \(N\).
  4. On note \(I_3\) la matrice identité d’ordre \(3\).
    On a donc d’après ces copies d’écran \(M\times N=N \times N=73 I_3\)
    Par conséquent \(M^{-1}=\dfrac{1}{73}N\).
  5. Montrer alors que : \(X = NY\). En déduire que le plan \(P\) admet pour équation cartésienne : \(10x + 15y + 6z = 73\).
  6. \(MX=73Y \iff X=73M^{-1}Y\iff X=NY\)
    Ainsi \(X=\begin{pmatrix}19&4&-13\\-8&6&17\\-47&17&36\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\15\\6\end{pmatrix}\)
    Par conséquent, une équation cartésienne du plan \(\mathcal{P}\) est \(10x+15y+6z=73\).

Partie B

L'objectif de cette partie est l'étude des points à coordonnées entières du plan \(P\) ayant pour équation cartésienne : \(10x + 15y + 6z = 73\).

  1. Soit \(M(x~;~y~;~z)\) un point appartenant au plan \(P\) et au plan d'équation \(z = 3\). On suppose que les coordonnées \(x\), \(y\) et \(z\) appartiennent à l'ensemble \(\mathbb{Z}\) des entiers relatifs.
    1. Montrer que les entiers \(x\) et \(y\) sont solutions de l'équation \((E)\) : \(2x + 3y = 11\).
    2. On sait donc que \(M(x;y;3)\) appartient au plan \(\mathcal{P}\).
      Ainsi \(10x+15y+18=73 \iff 10x+15y=55\iff 2x+3y=11\).
      \(\quad\)
    3. Justifier que le couple \((7~;~- 1)\) est une solution particulière de \((E)\) puis résoudre l'équation \((E)\) pour \(x\) et \(y\) appartenant à \(\mathbb{Z}\).
    4. \(2\times 7+3\times (-1)=14-3=11\).
      Par conséquent \((7;-1)\) est une solution particulière de \((E)\).
      On appelle \((x;y)\) une solution de \((E)\) : \(2x+3y=11\)
      Par différence on obtient :
      \(2(7-x)+3(-1-y)=0\)
      \(\iff 2(7-x)=3(1+y)\)
      \(2\) et \(3\) sont premiers entre eux. D’après le théorème de Gauss, il existe un entier relatif \(k\) tel que \(1+y=2k\) et \(7-x=3k\).
      Soit \(y=2k-1\) et \(x=7-3k\).
      Réciproquement, on considère un entier relatif \(k\) et le couple \((7-3k;2k-1)\).
      \(2(7-3k)+3(2k-1)=14-6k+6k-3=11\).
      Le couple \((7-3k;2k-1)\) est donc solution de l’équation \((E)\).
      Les solution de \((E)\) dans \(\mathbb{Z}\) sont donc les couples \((7-3k;2k-1)\) pour tout entier relatif \(k\).
      \(\quad\)
    5. Montrer qu'il existe exactement deux points appartenant au plan \(P\) et au plan d'équation \(z = 3\) et dont les coordonnées appartiennent à l'ensemble \(\mathbb{N}\) des entiers naturels. Déterminer les coordonnées de ces deux points.
    6. On cherche les entiers relatifs \(k\) qui vérifient :
      \(\begin{cases} 7-3k\geq 0 \\2k-1 \geq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} 7\geq 3k \\2k \geq 1 \end{cases} \iff \dfrac{1}{2} \leq p k \leq p \dfrac{7}{3}\).
      Par conséquent \(k=1\) ou \(k=2\).
      Si \(k=1\) alors les coordonnées du point du plan associé sont \((4;1;3)\).
      Si \(k=2\) alors les coordonnées du point du plan associé sont \((1;3;3)\).
  2. Dans cette question, on se propose de déterminer tous les points \(M(x~;~y~;~z)\) du plan \(P\) dont les coordonnées sont des entiers naturels. Soient \(x\), \(y\) et \(z\) des entiers naturels tels que \(10x + 15y + 6z = 73\).
    1. Montrer que \(y\) est impair.
    2. Soit \((x;y;z)\) une solution de l’équation \((E)\).
      \(10x+15y+6z=73 \iff 15y=73-10x-6z\)
      Si \(y\) est pair alors \(15y \equiv 0~~[2]\)
      et \(73-10x-6z \equiv 1~~[2]\).
      Ainsi \(y\) ne peut pas être pair. \(y\) est donc pair.
      \(\quad\)
    3. Montrer que: \(x \equiv 1 \quad[3]\). On admet que : \(z \equiv 3 \quad[5]\).
    4. On a \(10x=73-15y-6z\).
      On a \(10\equiv 1~~[3]\) et \(73-15y-6z\equiv 1~~[3]\).
      Par conséquent \(x\equiv 1~~[3]\).
      \(\quad\)
    5. On pose alors : \(x = 1 + 3p\), \(y= 1 + 2q\) et \(z = 3 + 5r\), où \(p\), \(q\) et \(r\) sont des entiers naturels. Montrer que le point \(M(x~;~y;~z)\) appartient au plan \(P\) si et seulement si \(p + q + r = 1\).

    6. \(\begin{align*} M(x;y;z)\in \mathcal{P}&\iff 10(1+3p)+15(1+2q)+6(3+5r)=73 \\
      &\iff 10+30p+15+30q+18+30r=73 \\
      &\iff 30p+30q+30r=30 \\
      &\iff p+q+r=1
      \end{align*}\)
      \(\quad\)
    7. En déduire qu'il existe exactement trois points du plan \(P\) dont les coordonnées sont des entiers naturels. Déterminer les coordonnées de ces points.
    8. D’après les questions B.2.a et B.2.b on sait que \(y\equiv 0~~[2]\), \(x\equiv 1~~[3]\) et \(z\equiv 3~~[5]\).
      Donc il existe trois entiers naturels \(p,q\) et \(r\) tels que \(x=1+3p\), \(y=1+2q\) et \(z=3+5r\).
      On sait que \(p+q+r=1\).
      Par conséquent :
      \(\bullet\) \(p=1\) et \(q=r=0\) : on a donc le point de coordonnées \((4;1;3)\).
      \(\bullet\) \(q=1\) et \(p=r=0\) : on a donc le point de coordonnées \((1;3;3)\).
      \(\bullet\) \(R=1\) et \(p=q=0\) : on a donc le point de coordonnées \((1;1;8)\).
      Les coordonnées des points du plan \(\mathscr{P}\) à coordonnées entières sont donc \((4;1;3)\), \((1;3;3)\) et \((1;1;8)\).

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