Baccalauréat S Antilles-Guyane. 7 septembre 2017 Spécialité

oui
non
S
Année 2017
Antilles Guyanne
Spécialité

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

 

  1. Soit \(p\) un entier relatif donné. On s'intéresse dans cette question à l'équation \(\left(E_p\right)\) \[3x + 4y = p\]où \((x~;~y)\) est un couple d'entiers relatifs.
    1. Vérifier que le couple \((-p~;~p)\) est une solution particulière de l'équation.
    2. Démontrer que l'ensemble des solutions de \(\left(E_p\right)\) est l'ensemble des couples de la forme \[(- p + 4k~;~p - 3k) \:\text{où }\:k \:\text{est un entier relatif.}\]
  2. Dans la suite de l'exercice, l'espace est muni d'un repère orthonormé \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)\). On considère le plan \(P\) d'équation cartésienne \[6x + 8y - z = 0.\]

  3. Soit \(M_0\) un point de coordonnées \(\left(x_0~;~y_0~;~z_0\right)\) qui appartient au plan \(P\) et dont les trois coordonnées sont des entiers relatifs.
    1. Démontrer que \(z_0\) est pair.
    2. On pose \(z_0 = 2p\) où \(p\) est un entier relatif. Prouver que le couple \(\left(x_0~;~y_0\right)\) est solution de l'équation \(\left(E_p\right)\).
    3. En utilisant la question 1., déterminer l'ensemble des points du plan \(P\) à coordonnées entières.
  4. À tout point \(M\) de coordonnées \((x~;~y~;~z)\), on associe le point \(M'\) de coordonnées \(\left(x'~;~y'~;~z'\right)\) avec \[\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}31&75&180\\56&41&- 144\\28&- 30&29 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}.\]
    1. Montrer que \(6x' + 8y' - z' = 101(6x + 8y - z)\).
    2. En déduire que si le point \(M\) est un point du plan \(P\), alors le point \(M'\) est aussi un point du plan \(P\).
    3. Soit \(\Delta\) la droite perpendiculaire à \(P\) passant par O. Montrer que si le point \(M\) appartient à \(\Delta\), alors le point \(M'\) appartient aussi à \(\Delta\).
 
 

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

  1. Soit \(p\) un entier relatif donné. On s'intéresse dans cette question à l'équation \(\left(E_p\right)\) \[3x + 4y = p\]où \((x~;~y)\) est un couple d'entiers relatifs.
    1. Vérifier que le couple \((-p~;~p)\) est une solution particulière de l'équation.
    2. \(3(-p)+4p=-3p+4p=p\)
      \(\quad\)
      Ainsi le couple \((-p~;~p)\) est une solution particulière de l'équation.
    3. Démontrer que l'ensemble des solutions de \(\left(E_p\right)\) est l'ensemble des couples de la forme \[(- p + 4k~;~p - 3k) \:\text{où }\:k \:\text{est un entier relatif.}\]
    4. Soit \((x;y)\) un couple solution de l’équation \(\left(E_p\right)\).
      \(3(-p)+4p=p\) et \(3x+4y=p\)
      Par différence :
      \(3(-p-x)+4(p-y)=0\) soit \(3(p+x)=4(p-y)\).
      \(3\) et \(4\) sont premiers entre eux. Donc d’après le théorème de Gauss, il existe un entier relatif \(k\) tel que :
      \(p+x=4k\) et \(p-y=3k\) soit \(x=4k-p\) et \(y=p-3k\).
      Réciproquement, on considère un entier relatif \(k\).
      \(3(-p+4k)+4(p-3k)=-3p+12k+4p-12k=p\).
      \(\quad\)
      Donc l’ensemble des solutions de \(\left(E_p\right)\) est l’ensemble des couples de la forme \((-p+4k;p-3k)\) où \(k\) est un entier relatif.
  2. Dans la suite de l'exercice, l'espace est muni d'un repère orthonormé \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)\). On considère le plan \(P\) d'équation cartésienne \[6x + 8y - z = 0.\]

  3. Soit \(M_0\) un point de coordonnées \(\left(x_0~;~y_0~;~z_0\right)\) qui appartient au plan \(P\) et dont les trois coordonnées sont des entiers relatifs.
    1. Démontrer que \(z_0\) est pair.
    2. On a donc \(6x_0+8y_0-z_0=0 \iff z_0=6x_0+8y_0 \iff z_0=2(3x_0+4y_0)\).
      Donc \(z_0\) est pair puisque \(3x_0+4y_0\) est un entier .
      \(\quad\)
    3. On pose \(z_0 = 2p\) où \(p\) est un entier relatif. Prouver que le couple \(\left(x_0~;~y_0\right)\) est solution de l'équation \(\left(E_p\right)\).
    4. \(6x_0+8y_0-2p=0 \iff 6x_0+8y_0=2p \iff 3x_0+4y_0=p\)
      Donc \(\left(x_0;y_0\right)\) est solution de l’équation \(\left(E_p\right)\).
      \(\quad\)
    5. En utilisant la question 1., déterminer l'ensemble des points du plan \(P\) à coordonnées entières.
    6. D’après la question 1.b. l’ensemble des points du plans \(P\) à coordonnées entières sont les points de coordonnées \((-p+4k;p-3k;2p)\) où \(k\) et \(p\) sont des entiers relatifs.
      \(\quad\)
  4. À tout point \(M\) de coordonnées \((x~;~y~;~z)\), on associe le point \(M'\) de coordonnées \(\left(x'~;~y'~;~z'\right)\) avec \[\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}31&75&180\\56&41&- 144\\28&- 30&29 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}.\]
    1. Montrer que \(6x' + 8y' - z' = 101(6x + 8y - z)\).
    2. On a donc :
      \(\begin{cases} x’=31x+75y+180z\\y’=56x+41y-144z\\z’=28x-30y+29z\end{cases}\)
      Par conséquent :
      \(\begin{array} 6x’+8y’-z’&=6(31x+75y+180z)+8(56x+41y-144z)-(28x-30y+29z) \\
      &=186x+450y+1~080z+448x+328y-1~152z-28x+30y-29z \\
      &=606x+808y-101z\\
      &=101(6x+8y-z)
      \end{array}\)
    3. En déduire que si le point \(M\) est un point du plan \(P\), alors le point \(M'\) est aussi un point du plan \(P\).
    4. Si \(M\) est un point du plan \(P\) alors \(6x+8y-z=0\).
      Par conséquent \(101(6x+8y-z)=0\) et \(M’\) est donc un point du plan \(P\).
      \(\quad\)
    5. Soit \(\Delta\) la droite perpendiculaire à \(P\) passant par O. Montrer que si le point \(M\) appartient à \(\Delta\), alors le point \(M'\) appartient aussi à \(\Delta\).
    6. Une représentation paramétrique de \(\Delta\) est alors \(\begin{cases} x=6t\\y=8t\\z=-t\end{cases} \quad, t\in \mathbb{R}\).
      Supposons que le point \(M\) appartienne à la droite \(\Delta\). Il existe un réel \(t\) tel que :
      \(\begin{cases} x’=31\times 6t+75\times 8t-180t\\y’=56\times 6t+41\times 8t+144t\\z’=28\times 6t-30\times 8t-29t\end{cases}\)
      soit \(\begin{cases} x’=606t\\y’=808t\\z’=-101t\end{cases}\)
      par conséquent \(\begin{cases} x’=6\times 101t\\y’=8\times 101t\\z’=-101t\end{cases}\)
      Le point \(M’\) est un point de \(\Delta\) de paramètre \(101t\).
      \(\quad\)

ImprimerE-mail

Statistiques

Visiteurs
173
Articles
1392
Compteur d'affichages des articles
8118639