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BAC S 2016 de Mathématiques : Métropole 20 juin 2016 , Probabilités

oui
S
Année 2016
Métropole Juin
Probabilités
Probabilités conditionnelles,Lois continues,Echantillonnage
 

Exercice 1 6 points


Commun à tous les candidats

 

Partie A


Une usine fabrique un composant électronique. Deux chaînes de fabrication sont utilisées. La chaîne A produit 40% des composants et la chaîne B produit le reste.
Une partie des composants fabriqués présentent un défaut qui les empêche de fonctionner à la vitesse prévue par le constructeur. En sortie de chaîne A, 20% des composants présentent ce défaut alors qu'en sortie de chaîne B, ils ne sont que 5%.
On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine. On note :

  • \(A\) l'évènement « le composant provient de la chaîne A »
  • \(B\) l'évènement « le composant provient de la chaîne B »
  • \(S\) l'évènement « le composant est sans défaut »
    1. Montrer que la probabilité de l'évènement \(S\) est \(P(S) = 0,89\).
    2. Sachant que le composant ne présente pas de défaut, déterminer la probabilité qu'il provienne de la chaîne A. On donnera le résultat à \(10^{-2}\) près.

    Partie B

    Des améliorations apportées à la chaîne A ont eu pour effet d'augmenter la proportion \(p\) de composants sans défaut.
    Afin d'estimer cette proportion, on prélève au hasard un échantillon de \(400\)~composants parmi ceux fabriqués par la chaîne A. Dans cet échantillon, la fréquence observée de composants sans défaut est de \(0,92\).
    1. Déterminer un intervalle de confiance de la proportion \(p\) au niveau de confiance de 95%.
    2. Quelle devrait être la taille minimum de l'échantillon pour qu'un tel intervalle de confiance ait une amplitude maximum de \(0,02\) ?

    Partie C

    La durée de vie, en années, d'un composant électronique fabriqué dans cette usine est une variable aléatoire \(T\) qui suit la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) (où \(\lambda\) est un nombre réel strictement positif). On note \(f\) la fonction densité associée à la variable aléatoire \(T\). On rappelle que :
    • pour tout nombre réel \(x \geqslant 0,\: f(x) = \lambda\text{e}^{-\lambda x}\).
    • pour tout nombre réel \(a \geqslant 0,\: p(T \leqslant a) = \displaystyle\int_0^a f(x)\:\text{d}x\).

    1. La courbe représentative \(\mathcal{C}\) de la fonction \(f\) est donnée ci-dessous.
      1. Interpréter graphiquement \(P(T \leqslant a)\) où \(a > 0\).
      2. Montrer que pour tout nombre réel \(t \geqslant 0 \::\: P(T \leqslant t) = 1 - \text{e}^{- \lambda t}\).
      3. En déduire que \(\displaystyle\lim_{t \to + \infty} P(T \leqslant t) = 1\).
    2. On suppose que \(P(T \leqslant 7) = 0,5\). Déterminer \(\lambda\) à \(10^{-3}\) près.
    3. Dans cette question on prend \(\lambda = 0,099\) et on arrondit les résultats des probabilités au centième.
      1. On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine. Déterminer la probabilité que ce composant fonctionne au moins 5 ans.
      2. On choisit au hasard un composant parmi ceux qui fonctionnent encore au bout de 2 ans. Déterminer la probabilité que ce composant ait une durée de vie supérieure à 7 ans.
      3. Donner l'espérance mathématique E(\(T\)) de la variable aléatoire \(T\) à l'unité près. Interpréter ce résultat.

Correction de l'exercice 1 (5 points)


Commun à tous les candidats

 

 

Partie A


Une usine fabrique un composant électronique. Deux chaînes de fabrication sont utilisées. La chaîne A produit 40% des composants et la chaîne B produit le reste.
Une partie des composants fabriqués présentent un défaut qui les empêche de fonctionner à la vitesse prévue par le constructeur. En sortie de chaîne A, 20% des composants présentent ce défaut alors qu'en sortie de chaîne B, ils ne sont que 5%.
On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine. On note :

  • \(A\) l'évènement « le composant provient de la chaîne A »
  • \(B\) l'évènement « le composant provient de la chaîne B »
  • \(S\) l'évènement « le composant est sans défaut »
    1. Montrer que la probabilité de l'évènement \(S\) est \(P(S) = 0,89\).
    2. On s'aide de l'arbre pondéré ci-dessous :
      Arbre
      D’après la formule des probabilités totales, on a :
      \(\begin{align*} P(S)&=P(S\cap A)+P(S\cap B) \\
      &= 0,4 \times 0,8+0,6\times 0,95 \\
      &=0,89
      \end{align*}\)
      \(\quad\)
    3. Sachant que le composant ne présente pas de défaut, déterminer la probabilité qu'il provienne de la chaîne A. On donnera le résultat à \(10^{-2}\) près.
    4. On veut calculer \(P_S(A)=\dfrac{P(S\cap A)}{P(S)}=\dfrac{0,4\times 0,8}{0,89}\approx 0,36\)
      \(\quad\)

    Partie B

    Des améliorations apportées à la chaîne A ont eu pour effet d'augmenter la proportion \(p\) de composants sans défaut.
    Afin d'estimer cette proportion, on prélève au hasard un échantillon de \(400\)~composants parmi ceux fabriqués par la chaîne A. Dans cet échantillon, la fréquence observée de composants sans défaut est de \(0,92\).
    1. Déterminer un intervalle de confiance de la proportion \(p\) au niveau de confiance de 95%.
    2. \(n=400 \geqslant 30\), \(f=0,92\) donc \(nf=368 \geqslant 5\) et \(n(1-f)=32 \geqslant 5\)
      Un intervalle de confiance est alors :
      \(\begin{align*} I_{400}&=\left[0,92-\dfrac{1}{\sqrt{400}};0,92+\dfrac{1}{\sqrt{400}}\right] \\
      &=[0,87;0,97]
      \end{align*}\)
    3. Quelle devrait être la taille minimum de l'échantillon pour qu'un tel intervalle de confiance ait une amplitude maximum de \(0,02\) ?
    4. Un intervalle de confiance est de la forme \(\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]\).
      Donc son amplitude est :
      \(\begin{align*} a&=f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right) \\
      &=\dfrac{2}{\sqrt{n}}
      \end{align*}\)
      On veut donc que \(\dfrac{2}{\sqrt{n}}\leqslant 0,02 \iff \dfrac{2}{\sqrt{0,02}} \leqslant\sqrt{n} \iff n \geqslant 10~000\)
      On doit donc avoir un échantillon d’au moins \(10~000\) individus.
      \(\quad\)

    Partie C

    La durée de vie, en années, d'un composant électronique fabriqué dans cette usine est une variable aléatoire \(T\) qui suit la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) (où \(\lambda\) est un nombre réel strictement positif). On note \(f\) la fonction densité associée à la variable aléatoire \(T\). On rappelle que :
    • pour tout nombre réel \(x \geqslant 0,\: f(x) = \lambda\text{e}^{-\lambda x}\).
    • pour tout nombre réel \(a \geqslant 0,\: p(T \leqslant a) = \displaystyle\int_0^a f(x)\:\text{d}x\).

    1. La courbe représentative \(\mathcal{C}\) de la fonction \(f\) est donnée ci-dessous.
      1. Interpréter graphiquement \(P(T \leqslant a)\) où \(a > 0\).
      2. \(P(T\leqslant a) = \displaystyle \int_0^a f(x) \mathrm{d}x\) correspond donc à l’aire comprise entre la courbe \(\mathscr{C}\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x=0\) et \(x=a\) quand \(a>0\)
        \(\quad\)
      3. Montrer que pour tout nombre réel \(t \geqslant 0 \::\: P(T \leqslant t) = 1 - \text{e}^{- \lambda t}\).
      4. Pour tout \(t \geqslant 0\),
        \( \begin{align*} P(T\leqslant t) &= \displaystyle \int_0^t f(x) \mathrm{d}x \\
        &=\big[-\text{e}^{\lambda x}\big]_0^t \\
        &=-\text{e}^{-\lambda t}-(-1) \\
        &=1-\text{e}^{-\lambda t}
        \end{align*}\)
      5. En déduire que \(\displaystyle\lim_{t \to + \infty} P(T \leqslant t) = 1\).
      6. \(\lim\limits_ {t \to +\infty} -\lambda t = -\infty\) donc, par composition, \(\lim\limits_{t \to +\infty} \text{e}^{-\lambda t}=0\)
        Ainsi \(\lim\limits_{t \to +\infty} P(T \leqslant t) = 1\).
    2. On suppose que \(P(T \leqslant 7) = 0,5\). Déterminer \(\lambda\) à \(10^{-3}\) près.
    3. On veut résoudre :
      \(\begin{align*} P(T \leqslant 7)=0,5 &\iff 1-\text{e}^{-7\lambda }=0,5 \\
      &\iff -\text{e}^{-7\lambda } = -0,5 \\
      &\iff \text{e}^{-7\lambda}=0,5 \\
      &\iff -7 \lambda = \ln 0,5 \\
      &\iff \lambda = \dfrac{\ln 0,5}{-7}
      \end{align*}\)
      Donc \(\lambda \approx 0,099\)
      \(\quad\)
    4. Dans cette question on prend \(\lambda = 0,099\) et on arrondit les résultats des probabilités au centième.
      1. On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine. Déterminer la probabilité que ce composant fonctionne au moins 5 ans.
      2. On veut calculer \(P(T \geqslant 5) = 1 -P(X <5) = \text{e}^{-0,099 \times 5} \approx 0,61\)
        \(\quad\)
      3. On choisit au hasard un composant parmi ceux qui fonctionnent encore au bout de 2 ans. Déterminer la probabilité que ce composant ait une durée de vie supérieure à 7 ans.
      4. \(\begin{align*} P_{T\geqslant 2}(T \geqslant 7) &=P_{T\geqslant 2}(T \geqslant 5+2) \\
        &=P(T \geqslant 5) \\
        &\approx 0,61
        \end{align*}\)
        Car il s’agit d’une variable aléatoire à durée de vie sans vieillissement.
        \(\quad\)
      5. Donner l'espérance mathématique E(\(T\)) de la variable aléatoire \(T\) à l'unité près. Interpréter ce résultat.
      6. \(E(T) = \dfrac{1}{\lambda} =\dfrac{1}{0,099} \approx 10\).
        Cela signifie que la durée de vie moyenne d’un tel composant électronique est de \(10\) ans.

     

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