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Baccalauréat S Liban 29 mai 2018 Probabilités et Suites

oui
non
S
Année 2018
Liban
Suites,Probabilités

Exercice 5 : 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Un jeu de hasard sur ordinateur est paramétré de la façon suivante :

  • Si le joueur gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante est \(\dfrac{1}{4}\) ;
  • Si le joueur perd une partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est \(\dfrac{1}{2}\) ;
  • La probabilité de gagner la première partie est \(\dfrac{1}{4}\) .


Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note \(G_n\) l'évènement  " la \(n^\text{e}\) partie est gagnée "  et on note \(p_n\) la probabilité de cet évènement. On a donc \(p_1 = \dfrac{1}{4}\).

  1. Montrer que \(p_2 = \dfrac{7}{16}\).
  2. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(p_{n+1} = - \dfrac{1}{4}p_n + \dfrac{1}{2}\).
  3. On obtient ainsi les premières valeurs de \(p_n\) : \[\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline p_n & 1 & 0,4375 & 0,3906 & 0,4023 & 0,3994 & 0,4001 & 0,3999 \\ \hline \end{array}\]Quelle conjecture peut -on émettre ?
  4. On définit, pour tout entier naturel \(n\) non nul, la suite \(\left(u_n\right)\) par \(u_n = p_n - \dfrac{2}{5}\).
    1. Démontrer que la suite \(\left(u_n\right)\) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
    2. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(p_n = \dfrac{2}{5} - \dfrac{3}{20}\left(- \dfrac{1}{4}\right)^{n-1}\).
    3. La suite \(\left(p_n\right)\) converge-t-elle ? Interpréter ce résultat.
 
 

Correction de l'exercice 5 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Un jeu de hasard sur ordinateur est paramétré de la façon suivante :

  • Si le joueur gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante est \(\dfrac{1}{4}\) ;
  • Si le joueur perd une partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est \(\dfrac{1}{2}\) ;
  • La probabilité de gagner la première partie est \(\dfrac{1}{4}\) .


Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note \(G_n\) l'évènement  " la \(n^\text{e}\) partie est gagnée "  et on note \(p_n\) la probabilité de cet évènement. On a donc \(p_1 = \dfrac{1}{4}\).

  1. Montrer que \(p_2 = \dfrac{7}{16}\).
  2. On utilise l'arbre pondéré ci-dessous :
    arbre
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    \(\begin{align*} p_2&=p\left(G_2\right) \\
    &=p\left(G_1\cap G_2\right)+p\left(\overline{G_1}\cap G_2\right) \\
    &=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\times \dfrac{1}{2} \\
    &=\dfrac{7}{16}
    \end{align*}\)
  3. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(p_{n+1} = - \dfrac{1}{4}p_n + \dfrac{1}{2}\).
  4. On utilise l'arbre pondéré ci-dessous :
    arbre
    ’après la formule des probabilités totales on a :
    \(\begin{align*} p_{n+1}&=p\left(G_{n+1}\right) \\
    &=p\left(G_n\cap G_{n+1}\right)+p\left(\overline{G_n}\cap G_{n+1}\right) \\
    &=\dfrac{1}{4}\times p_n+\dfrac{1}{2}\times \left(1-p_n\right) \\
    &=\dfrac{p_n}{4}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{p_n}{2} \\
    &=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}
    \end{align*}\)
    \(\quad\)
  5. On obtient ainsi les premières valeurs de \(p_n\) : \[\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline p_n & 1 & 0,4375 & 0,3906 & 0,4023 & 0,3994 & 0,4001 & 0,3999 \\ \hline \end{array}\]Quelle conjecture peut -on émettre ?
  6. Il semblerait que la limite de la suite \(\left(p_n\right)\) soit \(0,4\).
  7. On définit, pour tout entier naturel \(n\) non nul, la suite \(\left(u_n\right)\) par \(u_n = p_n - \dfrac{2}{5}\).
    1. Démontrer que la suite \(\left(u_n\right)\) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
    2. Pour tout entier naturel \(n\) non nul on a \(u_n=p_n-\dfrac{2}{5}\) soit \(p_n=u_n+\dfrac{2}{5}\).
      \(\begin{align*} u_{n+1}&=p_{n+1}-\dfrac{2}{5} \\
      &=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{5} \\
      &=-\dfrac{1}{4}\left(u_n+\dfrac{2}{5}\right)+\dfrac{1}{10} \\
      &=-\dfrac{1}{4}u_n-\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10} \\
      &=-\dfrac{1}{4}u_n
      \end{align*}\)
      La suite \(\left(u_n\right)\) est donc géométrique de raison \(-\dfrac{1}{4}\) et de premier terme \(u_1=p_1-\dfrac{2}{5}=-\dfrac{3}{20}\).
      \(\quad\)
    3. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(p_n = \dfrac{2}{5} - \dfrac{3}{20}\left(- \dfrac{1}{4}\right)^{n-1}\).
    4. Ainsi, pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a \(u_n=-\dfrac{3}{20}\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}\).
      Or \(p_n=u_n+\dfrac{2}{5}=-\dfrac{3}{20}\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}+\dfrac{2}{5}\).
      \(\quad\)
    5. La suite \(\left(p_n\right)\) converge-t-elle ? Interpréter ce résultat.
    6. On a \(-1<-\dfrac{1}{4}<1\) donc \(\lim\limits_{n \to +\infty} \left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}=0\).
      Donc la suite \(\left(p_n\right)\) converge vers \(\dfrac{2}{5}=0,4\).
      Sur le long terme, la probabilité qu’un joueur gagne une partie est \(0,4\).
      \(\quad\)

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