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Baccalauréat S Liban 29 mai 2018Calcul intégral et ln ...

oui
non
S
Année 2018
Liban
Fonction ln,Calcul intégral

Exercice 4 5 points


Commun à tous les candidats


On considère, pour tout entier \(n > 0\), les fonctions \(f_n\) définies sur l'intervalle \([1~;~5] \)par: \[f_n(x) = \dfrac{\ln x}{x^n}.\]. Pour tout entier \(n > 0\), on note \(\mathcal{C}_n\) la courbe représentative de la fonction \(f_n\) dans un repère orthogonal. Sur le graphique ci-dessous sont représentées les courbes \(\mathcal{C}_n\) pour \(n\) appartenant à \(\{1~;~2~;~3~;~4\}\).
Ex4 Liban

  1. Montrer que, pour tout entier \(n > 0\) et tout réel \(x\) de l'intervalle \([1~;~5] \): \[f'_n(x) = \dfrac{1- n\ln (x)}{x^{n+1}}.\]
  2. Pour tout entier \(n > 0\), on admet que la fonction \(f_n\) admet un maximum sur l'intervalle [1~;~5]. On note \(A_n\) le point de la courbe \(\mathcal{C}_n\) ayant pour ordonnée ce maximum. Montrer que tous les points \(A_n\) appartiennent à une même courbe \(\Gamma\) d'équation \[y = \dfrac{1}{\text{e}} \ln (x).\]
    1. Montrer que, pour tout entier \(n > 1\) et tout réel \(x\) de l'intervalle \([1~;~5] \): \[0 \leqslant \dfrac{\ln (x)}{x^n} \leqslant \dfrac{\ln (5)}{x^n}.\]
    2. Montrer que pour tout entier \(n > 1\) : \[\displaystyle\int_1^5 \dfrac{1}{x^n} \:\text{d}x = \dfrac{1}{n - 1}\left(1 - \dfrac{1}{5^{n - 1}} \right).\]
    3. Pour tout entier \(n > 0\), on s'intéresse à l'aire, exprimée en unités d'aire, de la surface sous la courbe \(f_n\), c'est-à-dire l'aire du domaine du plan délimité par les droites d'équations \(x = 1\), \(x = 5\), \(y = 0\) et la courbe \(\mathcal{C}_n\). Déterminer la valeur limite de cette aire quand \(n\) tend vers \(+ \infty\).

 

Correction Exercice 4 5 points


Commun à tous les candidats
On considère, pour tout entier \(n > 0\), les fonctions \(f_n\) définies sur l'intervalle \([1~;~5] \)par: \[f_n(x) = \dfrac{\ln x}{x^n}.\]. Pour tout entier \(n > 0\), on note \(\mathcal{C}_n\) la courbe représentative de la fonction \(f_n\) dans un repère orthogonal. Sur le graphique ci-dessous sont représentées les courbes \(\mathcal{C}_n\) pour \(n\) appartenant à \(\{1~;~2~;~3~;~4\}\).
Ex4 Liban

  1. Montrer que, pour tout entier \(n > 0\) et tout réel \(x\) de l'intervalle \([1~;~5] \): \[f'_n(x) = \dfrac{1- n\ln (x)}{x^{n+1}}.\]
  2. Pour entier naturel \(n\) non nul, la fonction \(f_n\) est dérivable sur l’intervalle \([1;5]\) en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
    \(\begin{align*} f’_n(x)&=\dfrac{\dfrac{1}{x}x^n-nx^{n-1}\ln(x)}{x^{2n}} \\
    &=\dfrac{x^{n-1}-nx^{n-1}\ln(x)}{x^{2n}} \\
    &=\dfrac{x^{n-1}\left(1-n\ln(x)\right)}{x^{2n}} \\
    &=\dfrac{1-n\ln(x)}{x^{n+1}}
    \end{align*}\)
  3. Pour tout entier \(n > 0\), on admet que la fonction \(f_n\) admet un maximum sur l'intervalle [1~;~5]. On note \(A_n\) le point de la courbe \(\mathcal{C}_n\) ayant pour ordonnée ce maximum. Montrer que tous les points \(A_n\) appartiennent à une même courbe \(\Gamma\) d'équation \[y = \dfrac{1}{\text{e}} \ln (x).\]
  4. Pour tout entier naturel \(n\) non nul, le maximum est atteint quand \(f’_n(x)=0\)
    \(\iff 1-n\ln(x)=0\)
    \(\iff \ln(x)=\dfrac{1}{n}\)
    \(\iff x=\text{e}^{1/n}\)
    L’ordonnée du maximum est alors :
    \(\begin{align*} f_n\left(\text{e}^{1/n}\right)&=\dfrac{~~\dfrac{1}{n}~~}{\text{e}^{n\times 1/n}} \\
    &=\dfrac{~~\dfrac{1}{n}~~}{ \text{e}} \\
    &=\dfrac{\ln\left(\text{e}^{1/n}\right)}{\text{e}}
    \end{align*}\)
    Les points \(A_n\) appartiennent donc à la courbe \(\Gamma\).
    1. Montrer que, pour tout entier \(n > 1\) et tout réel \(x\) de l'intervalle \([1~;~5] \): \[0 \leqslant \dfrac{\ln (x)}{x^n} \leqslant \dfrac{\ln (5)}{x^n}.\]
    2. La fonction \(\ln\) est strictement croissante sur l’intervalle \([1;5]\).
      par conséquent :
      \(\begin{align*} 1\leq x\\5 &\iff \ln(1) \leq \ln(x) \leq \ln(5) \\
      &\iff 0 \leq \ln(x) \leq \ln(5) \\
      &\iff 0\leq \dfrac{\ln(x)}{x^n}\leq \dfrac{\ln(5)}{x^n}
      \end{align*}\)
      \(\quad\)
    3. Montrer que pour tout entier \(n > 1\) : \[\displaystyle\int_1^5 \dfrac{1}{x^n} \:\text{d}x = \dfrac{1}{n - 1}\left(1 - \dfrac{1}{5^{n - 1}} \right).\]
    4. \(\begin{align*} \displaystyle \int_1^5 \dfrac{1}{x^n}\:\text{d}x &=\int_1^5 x^{-n}\:\text{d}x \\
      &=\left[\dfrac{x^{-n+1}}{-n+1}\right]_1^5 \\
      &=\dfrac{5^{-n+1}-1^{-n+1}}{-n+1} \\
      &=\dfrac{1-5^{-n+1}}{n-1} \\
      &=\dfrac{1}{n-1}\left(1-\dfrac{1}{5^{n-1}}\right)
      \end{align*}\)
      \(\quad\)
    5. Pour tout entier \(n > 0\), on s'intéresse à l'aire, exprimée en unités d'aire, de la surface sous la courbe \(f_n\), c'est-à-dire l'aire du domaine du plan délimité par les droites d'équations \(x = 1\), \(x = 5\), \(y = 0\) et la courbe \(\mathcal{C}_n\). Déterminer la valeur limite de cette aire quand \(n\) tend vers \(+ \infty\).
    6. Pour tout entier naturel \(n\) non nul, la fonction \(f_n\) est positive sur l’intervalle \([1;5]\) comme quotient de fonction positive sur cet intervalle.
      Ainsi l’aire cherchée est \(I_n=\displaystyle \int_1^5 \dfrac{1}{x^n}\:\text{d}x \).
      Or, d’après la question précédente \(I_n=\dfrac{1}{n-1}\left(1-\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n-1}\right)\)
      On a \(-1<\dfrac{1}{5}<1\) donc \(\lim\limits_{n \to +\infty}\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n-1} = 0\).
      De plus \(\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n-1}=0\).
      Donc \(\lim\limits_{n \to +\infty} I_n=0\).
      \(\quad\)

 

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